книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

222

да таких композитов найдены точные значения эффективных модулей упругости. Поэтому здесь появляется возможность детального исследования погрешности рассматриваемого при­ ближенного метода.

Пусть идентичные включения образуют регулярную ре­ шетку в однородной матрице. Тензор эффективных модулей упругости регулярных композитов определим соотношением,

где s(x),<J ( X ) - упругие поля деформаций и напряжений в композитной среде при действии постоянного внешнего поля

Осреднение здесь проводится по объему элементарной ячейки периодической решетки, что, очевидно, эквивалентно осреднению по всему пространству. В свою очередь среднее от е(х) и о(х) по всему пространству совпадает со средними в фиксированной точке х при всевозможных трансляциях ре­ гулярной решетки неоднородностей. Таким образом, осредне­ ние в (5.6.1) можно понимать как осреднение по ансамблю случайных функций V(дг), который задается соотношением

(5.6.2)

где Vo (х) - характеристическая функция области, занятой фик­ сированной решеткой включений, г - случайный вектор, рав­ номерно распределенный во всем пространстве. Заметим, что при осреднении по ансамблю (5.6.2) эргодическое свойство полей е(х) и ст(х) выполняется автоматически. Таким обра­ зом, схема метода эффективного поля, развитая в предыдущих пунктах, может быть перенесена на случай регулярных струк­ тур без каких-либо изменений.

Начнем с построения среднего *Р(дг) (5.5.18) для регуляр­ ной решетки неоднородностей. Пусть все включения имеют эллипсоидальную форму, причем невырожденным линейным

преобразованием х - пространства (а-1) эти эллипсоиды пере­ водятся в шары единичного радиуса.

Рассмотрим выражение (5.5.14) для среднего <V(x’+x)V(x')> в случае регулярной решетки эллипсоидов. Как уже отмеча­ лось, входящий в выражение для этого среднего интеграл

223

\v,{x' + x)V(x')dxf есть объем пересечения двух одинаковых

эллипсоидов Vn центры которых сдвинуты на вектор х . От­ сюда имеем

где v(a) - у m ia2a3- объем эллипсоидов с полуосями а,,а2,а3,

которые образуют регулярную решетку.

Для регулярной решетки одинаковых включений среднее <V(x')V(x' + х)> есть периодическая функция X, причем период ее равен вектору решетки, образованной центрами включений. В окрестности точки х = 0 вид этой функции оп­ ределяется первым слагаемым в (5.5.14). Отсюда и из (5.6.4) следует, что среднее < V(x’)V(х' + х)> имеет вид

т

где р - объемная концентрация включений, т - вектор ре­ шетки, образованный центрами включений. Но тогда функ­ ция Ч'(х) (5.5.15) в случае регулярной решетки включений определяется соотношением

где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого т - 0, а функция J(x) имеет вид (5.6.4).

Отсюда следует, что интеграл в уравнении (5.5.12) для эф­

фективного поля деформаций е представляется в виде следу­ ющего сходящегося ряда

225

^(Х)=3 2 ^ [ _3+5Р " ’е(,^4+^ ’е(2)^ " ’е(3)П , п=х!\х\,

где функция J(x) имеет вид (5.6.4) при aafi —Sap- Здесь ис­

пользовано явное выражение для функции К (х): формула

(П2.2.3) Приложения П2.2. График функции <х(р), получен­ ный численным суммированием этого ряда, представлен на рис.5.2.

Перейдем к плоской зада­ че. В этом случае все построе­ ния проводятся аналогично трехмерной ситуации. Выра­ жение для тензора эффек­ тивных модулей упругости попрежнему будет иметь вид (5.6.11), в котором все тензоры следует заменить их двумер­ ными аналогами. В случае изотропной среды выражение

ае„ = (1+ vo) /2 для плоского напряженного состояния, Е '(«)-

элементы Е-базиса в плоском случае (см.Приложение I.I). Пусть круговые изотропные включения образуют правиль­

ную треугольную решетку на плоскости. Представим интеграл (5.6.7) в виде

226

jK (x - x ')'P (x - x ')f i^ '= -Л °+ |к (д г)[Ч /(дг)-1]й5с, (5.6.16)

где интегрирование проводится по всей плоскости, функция ЧР(х) обладает свойствами (5.5.16), (5.5.17), a ipynna симмет­

рии 'Р(х) совпадает с группой симметрии треугольной ре­ шетки.

Интеграл в правой части (5.6.16) есть тензор, группа сим­ метрии которого совпадает с группой симметрии Ч'(х). Из­ вестно [97], что базис четырехвалентных тензоров, обладаю­ щих симметрией правильной треугольной peinetKH, состоит только из изотропных тензоров. Поэтому имеет место равен­ ство

(5.6.17)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что пол­ ное свертывание тензора К (х) (5.6.14) сначала по первой, а затем по второй паре индексов, а также сперва по внутрен­ ней, а затем по внешней парам равно нулю.

Отсюда и из (5.6.17) следует, что а = /3= 0 и интеграл в правой части (5.6.16) для правильной треугольной решетки круговых включений исчезает.

Учитывая (5.6.10) и решение задачи для кругового вклю­ чения в постоянном внешнем поле, получим выражение для

тензора эффективных модулей упругости С* среды с треу­ гольной решеткой включений

где тензор А° имеет вид (5.6.15).

Если круговые включения образуют квадратную решетку, то интеграл (5.6.17) не равен нулю. Аналогом функции J(х) (5.6.4) в плоском случае будет функция

На рис.5.4, 5.5 дано сравнение точных значений эффекти­ вных модулей упругости с подсчитанными методом эффекти­ вного поля для правильной треугольной решетки из соотно­

шения (5.6.19). Здесь Еo,juQи E,ju - модули Юнга и сдвига

матрицы и включений, Е*,//* - те же величины для всего композита. Сплошные кривые - точные решения, штриховые линии с кружками соответствуют формуле (5.6.19).

На рис.5.6-5.8 приведены 1рафики относительных величин эффективных параметров упругости для квадратной решетки круговых включений, подсчитанные по формуле (5.6.24). Здесь же приведены точные зависимости, данные в [30] (сплошные кривые).

229

Анализ приведенных здесь графиков показывает, что для рассмотренных регулярных структур решение по методу эф­ фективного поля практически совпадает с точным решением, когда отношение модуля упругости среды к модулю упругости включения лежит в пределах

§ 5.7. Тонкие включения в однородной упругой среде

Перейдем к рассмотрению однородной упругой среды с множеством включений, у которых один из характерных раз­ меров много меньше двух других. Для приложений наиболь­ ший интерес представляют тонкие включения, модули упру­