книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf101
H(r) = А, (г) ® А, (г) ® И2(г) <8> И2(г) . |
(2.9.14) |
Здесь символом ® обозначено прямое (декартово) произ ведение матриц А, и А2, определенных равенствами
1 г2 г-3 г"5
0 |
2г2 -ЪГг |
-5 Г 5 |
(2.9.15) |
|
0 |
4г2 9Г 3 |
25г~5 |
||
|
||||
0 |
8г2 -21г~г -125г' |
|
||
Таким |
образом, по |
значению вектора |
(г) в точке /* |
|
(ai_t <r <at) однозначно определяется вектор Y', а следова тельно, и решение (2.9.2) внутри г -го интервала.
Если значение вектора X (г) известно в точке г = а,_, + 0 (на левом конце i -го интервала), то его значение на правом
конце при г —ai —0 определяется в силу (2.9.13) формулой
ХИа^КХЧа^-), R = Д (а ,)Я -'(ч .,), (2.9.16)
где матрицу R назовем матрицей переноса.
Из соотношений (2.9.9)-(2.9.11) следует, что векторы X и
X +l в точке г = at на 1ранице |
/ -го и (/ + 1)-го интервалов |
связаны равенством |
|
X +l(q) = F + F X (a i). |
(2.9.17) |
Вид вектора F и матрицы Г' (вектора и матрицы перехода) нетрудно восстановить из (2.9.9)-(2.9.11). Явные выражения для этих объектов приведены в Приложении П4.1.
Пусть вектор решения на первом интервалеХ(а^) известен.
Тогда вектор Х '+|(а(), определяющий решение на (/ + 1)-м интервале в силу (2.9.16) и (2.9.17) выражается через вектор
X(а,) следующим образом
Хм(а>) = £ + 0 1Х\ах), / = 2 , 3 ( 2 . 9 . 1 8 )
102
>« Л
g l =F \ gl = F + У Ш Ч F \ c? = m *> Q = T kR k,
)=1 V*r=l ) k=i
где Rl- единичная матрица, a Rk(k = 2,3,...,N) - матрицы переноса - определены выше в (2.9.16).
Для построения вектора ^'(аг,) воспользуемся граничными условиями задачи. Из ограниченности решения при г= 0 сле дует, что на первом интервале выражения (2.9.2) для функций
а ,,а 3 и р не должны содержать отрицательных степеней г , т.е.
Х'к=0 |
при |
к = 3,4,7,8,10,12. |
(2.9.19) |
||
Тогда между компонентами вектора Xх существует связь, |
|||||
которую можно представить в форме |
|
||||
Х] = Ш 1, ? = Р гХ , |
/ = 1,2,...,#+1 . |
(2.9.20) |
|||
Здесь |
Т - |
вектор-столбец с компонентами |
{Х'^Х'^Х^, |
||
Х ‘9,х ‘п}, |
а матрицы М(12x6) |
и Р, (6 х 12) определяются вы |
|||
ражениями |
|
|
|
|
|
M = |
|
<S>m2 ®m2 , |
Рх-ш г<8>/я3 ®mA®тпл, |
(2.9.21) |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
щ = |
0 |
1 |
щ = |
loll |
1 0 |
0 0 |
о |
т4 = ||1 |
1 0 2 |
|
щ - но |
1 |
о |
||||
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Из стремления функций |
ах,а г,Р и Ртк нулю на беско |
|||||||
нечности следует, что их выражения (2.9.2) на (N + 1) интер вале (вне включения) содержат только отрицательные степе ни Г , т.е.
YtN+] = 0 |
при |
i = 1,2,5,6,9,11. |
(2.9.22) |
103
Отсюда следует зависимость между компонентами вектора
Xм , которую можно представить в форме
P2XN+l = LPlXN+x. |
|
|
|
(2.9.23) |
|||
Здесь матрицы L(6 х 6) |
и Р2(6 х 12) имеют вид |
||||||
L = /, <8>/, <8>/2 ® /2, |
Р2 |
|
|
|
(2.9.24) |
||
-15 -8 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
1 0 |
||
120 |
49 > h ~ |
0 |
-3 , т5 = 0 |
0 |
0 |
1 |
|
Для определения |
компонентов |
вектора |
Z 1 подставим в |
||||
(2.9.23) |
выражение для XN+x (aN) из (2.9.18). С учетом (2.9.20) |
||||||
приходим в результате к линейному алгебраическому уравне нию относительно вектора Z 1= Р^Х':
BZ' = / , В = {Р2LP])GNM , f = (LP,-P2)gN, (2.9.25)
где матрица GNvi вектор g** определены в (2.9.18). Разрешив это уравнение, из соотношений (2.9.18) и (2.9.20) найдем все
векторы X’+x(ai) (/ = \,2,...,N), а затем из (2.9.13) - векторы
Y', которые определяют решение задачи внутри всех слоев в соответствии с (2.9.2).
В качестве примера расчета рассмотрим включение еди ничного радиуса, состоящее из N сферических слоев толщи
ной I/N. Модуль Юнга Et внутри / -го слоя зададим фор мулой
Ej - E(at) , i = 1,2,..., JV + 1,
Г |
Аг2 |
\ |
E(r) = £, 1 + Sехр - Г - г |
при r < 1, (2.9.26) |
|
V |
- 1 |
/ |
E(r) = E0 при r > l ,
где а - внешний радиус /' -го слоя. Коэффициент Пуассона для среды и всех слоев был принят равным (0.4). Внешняя нагрузка представляла собой одноосное растяжение вдоль оси
*з•
104
На рис.2.1,2.2 по
казано |
распреде |
||||
ление |
напряже |
||||
ний |
|
<т33 |
|
вдоль |
|
оси, |
ортогональ |
||||
ной х3, с началом |
|||||
в центре |
включе |
||||
ния. |
Расчет |
про |
|||
водился при £=-1, |
|||||
X =0, |
0.1, |
1, |
10 |
||
(податливое |
|
|
|||
включение, |
рис. |
||||
2.1) |
и |
£=100 |
и |
||
тех же |
значениях |
||||
X |
|
(жесткие |
|||
включения, |
рис. |
||||
2.2) |
, |
в |
|
обоих |
|
случаях N=60. |
|||||
Очевидно, |
что |
||||
при |
N —>оо |
|
мо |
||
дуль Юнга внутри |
|||||
включения |
стре |
||||
мится |
к |
непре |
|||
рывному |
распре |
||||
делению |
(2.9.26). |
||||
Для проверки воз можностей алгоритма расчет проводился при возрастающих значениях N до получения устойчивой картины распределе ния напряжений. Оказалось, что при N > 40 указанное рас пределение практически не менялось с ростом N.
§2.10. Цилиндрически симметричная неоднородность в упругой среде
Рассмотрим теперь однородную упругую среду с включе нием в форме бесконечного кругового цилиндра. Будем счи тать, что модули упругости и коэффициенты температурного
105
расширения материала включения являются функциями г - расстояния до его оси.
Положение произвольной точки X в среде с цилиндри ческим включением будем описывать с помощью декартовой
(х,,х2,х3) и цилиндрической (r,n,z) систем координат, при
чем оси х3 и z совпадают с осью включения, п - орт оси Г .
Если температура среды Ти внешнее поле деформаций явля ются постоянными, то тензоры деформаций и напряжений в
среде с включением не зависят от координаты х3 (или z ).
Начнем с рассмотрения упругой задачи (Т = 0 ). Посколь ку возмущение тензора модулей упругости внутри включения
С1 и тензор деформацийе (в случае постоянного внешнего поля) зависит только от координат х,,х2, то интегральное
уравнение для функции f(x ) (2.1.9) принимает вид
f ( x ) + | К (х -х ')С '(х ')е(х ')й й с' = е , |
х = х(х,,х2), |
||
Л |
|
|
(2. 10. 1) |
|
(2.1.10) соотношени |
||
где ядро К (х) связано с функцией К (х) |
|||
ем |
|
|
|
|
00 |
|
|
К (х,,х2)= |
| к (х ,,х 2,х3)<&з. |
|
(2.10.2) |
Отсюда следует, что символ оператора К |
(преобразование |
||
Л. _ |
Л. |
|
|
Фурье К*(А) функции К (х) определяется выражением |
|||
|
* = * ( * „ * :) . |
(2.10.3) |
|
где функция К ’ (£) определена в (1.1.35).
В силу линейности задачи решение уравнения (2.10.1) представляется в форме
е(х) = [Е' + А(х)]е°, |
(2.10.4) |
где исчезающий на бесконечности тензор А(х) удовлетворяет уравнению, которое следует из (2.10.1) после подстановки в него (2.10.4):
106
А(х) + [ К (х - х ')С ' (х ')А(х ')dx' = - [ К (х - х ')С ' (х ')dx
(2.10.5) Для удобства представления тензорных функций, которы
ми описывается решение рассматриваемой задачи, введем три тензорных базиса, построенных с помощью единичных векто ров т и п (ортов осей z и г , соответственно) и двухвалент
ного тензора Oa^=(Safi-mjnfi) - проектора на плоскость в,
ортогональную оси z .
Первый из этих базисов (Р -базис) был уже введен ранее (п.2.4) и определен соотношениями (2.4.7). Заметим, что стру ктура тензоров в (2.4.7) аналогична структуре тензоров основ
ного базиса (2.8.8), причем роль единичного тензора 8ф игра
ет проектор бар. Тензоры Р', так же как и Е', образуют замк
нутую алгебру относительно операции умножения, определен
ной формулой (2.8.9). Таблица умножения для тензоров Р', а также формула обращения для тензора, принадлежащего ли
нейной оболочке базиса Р', приводится в Приложении П1.1. Базис Р' удобен для представления тензора модулей упру
гости С° трансверсально-изотропного тела, направление оси симметрии которого определяется ортом Ш. Это представле ние имеет вид
С = 2та(Р 1- 1 Р 2) + к0Р2+ /0 (Р 3 + Р 4) + 4МоР5+ п0Р 6.
(2. 10. 6)
Здесь juo и то - модули продольного и поперечного сдвига,
ко - объемный модуль при плоской деформации, по - модуль
продольного одноосного удлинения, /с- соответствующий ему поперечный модуль - пять независимых упругих модулей трансверсально-изотропной среды. Связь этих модулей с "тех ническими" упругими постоянными трансверсально-изотроп ного тела дается равенствами
т„ = |
, ^ = ( А Л з Г '. |
4 = |
к013 |
(2.10.7) |
|
А Е,03 |
|||||
1+ К012 |
|
107
и. = 1 - 4 012 |
Д = 1-^012 - 2 |
к013 |
Д А 01 |
‘ £ о А 3 |
V оз |
Здесь Ет- модуль Юнга среды в плоскости в, перпендику
лярной оси z, Ею- тот же модуль в направлении оси z, v012,v013- коэффициенты Пуассона. В случае полной изотропии среды
т',=М°> К - К +М. >К=К , «о = К +2/V
В дальнейшем материал включения будет предполагаться трансверсально-изотропным, так что тензор его модулей уп ругости С имеет вид, аналогичный (2.10.6) с параметрами т,к,1,/л,п, которые являются функциями координаты г .
Введем теперь в -базис, состоящий из шести тензоров в , принадлежащих плоскости в:
&<ФЛМ= |
@o0X/t= @сф@Х/л ’ |
= |
’ ( 2. 10. 8) |
&сфАм = ПаПр |
~ П(а @Р)(ХПМ) > ^(фХм = П аП/ |
1ХП(1 • |
|
Множество этих тензоров замкнуто относительно операции умножения (2.8.9), соответствующая таблица умножения при ведена в Приложении П1.1.
Рассмотрим, наконец, Л-базис, состоящий из следующих
пяти тензоров: |
|
|
& фХ„ = "аП/Рх"» , Крх„ = mJniPtXmM, |
KfiX, = ma™fPxn, , |
|
Kpx, = ПсР/Рх™ ,, Крх, = |
. |
(2.10.9) |
Существенно, что множество элементов Р, 9 и R-базисов замкнуто относительно операции умножения (2.8.9).
Используя выражения (2.10.3) и (2.1.35), можно показать, |
|
Л. — |
Л, |
что символ К *(£ ) оператора К в (2.10.1) представляется в ви де
К*(/я,/) = — |
бР(т,Г)-яо&(т,1)+— Е5(>п,0 |
к |
|
к |
|||
Мо |
|
||
|
|
(2.10.10) |
108
При этом среда предполагается трансверсально изотроп
ной с тензором модулей упругости (2.10.6), эео = к0/по. Приступим к решению уравнения (2.10.5). Введем в плос
кости хх,х2 полярные координаты г,п и осуществим преоб
разование Меллина (2.10.5) по переменной г . Поскольку К - сингулярный интегральный оператор, символ которого - од нородная функция нулевой степени (2.10.10), то его действие на кусочно-гладких функциях определяется соотношениями вида (2.8.6) и (2.8.7) при d= 2. Таким образом, из (2.8.5) - (2.8.7) следует, что после преобразования Меллина уравнение (2.10.5) примет вид
A -(s,n)+K s(C ,Ay(s,n) = - (K sC ,')(s,n), |
(2.10.11) |
|
где действие оператора |
на преобразование |
Меллина ку |
сочно-гладкой финитной функции f(r,n) определяется фор мулой:
( K ,/- ) ( i ,« ) = - - г Ц т ( 2 |
- *)Г(«) I ( - » v |
+io)-dl ж |
12я) |
а, |
|
xjK \ l)/ \ s,e)(el+ io)‘~2de. |
(2.10.12) |
|
Здесь n,l,e - векторы на единичной окружности Q,, а
тензор К*(тга,/) определен в (2.10.10).
А
Рассмотрим результат действия оператора К 5 на элементы
Р,в и 7?-базисов. Для вычисления интегралов в (2.10.12) вос
пользуемся следующими формулами (Re s < 1):
Qi
Ol
109
- s ( 0 (и )+ & (n) + 4 &(n) + s(s + 2) 0 (w)],
j№ = |
г Щ г р ? ) |
(2.10.13) |
||
|
(1+ «"'*). |
|||
|
|
Г (2 ^ ) |
|
|
Используя эти формулы и алгебру элементов Р,в и R-ба |
||||
зисов, получим следующие соотношения: |
|
|
||
К ,Р' = |
1 |
— [j^+a-e.)^], к,р г= |
1-ае„ |
*2 > |
W. ( 2 - S) ( 4 - J) |
шо(2 -5 ) |
г |
||
|
||||
к , р г= l -~ ? г ;, к sp 5= — -— t , K ,P 4= K ,P 6 = 0 .
m .(2-s) |
' |
2mo(2 -s ) |
(2.10.14) |
||
|
|
|
|
|
|
Входящие сюда пять тензоров Т* имеют вид |
|
||||
7 ^ = (4 - S) { 0 - S& )-T ; , |
= |
(2.10.15) |
|||
т; = & + 2 0 - s(& + # + * & ) + s(2 + s)&, |
|
||||
% = |
P 3- S P \ |
T ; = |
P 5- S R 5 , |
|
|
где тензоры |
P'(m),0(m) |
и R («, tn) |
определены |
формулами |
|
(2.4.7), (2.10.8) и (2.10.9).
Л
Действие оператора K J на элементы в -базиса выражается
Л
через три из пяти тензоров Т* (2.10.15):
М = к / ' к,<? = к ,р\ |
(2.10.16) |
mos(2~s)
п о
2moj(2 - л)(4 - s)
И, наконец, действие оператора Ks на элементы R-бази са определяется соотношениями
£ ,R '=K ,6f, К ,Я ! = К ,Л > = 0, |
(2.10.17) |
Обратимся теперь к уравнению (2.10.11). Для трансверсаль-
но изотропного включения тензор С 1* (s) в его правой части имеет вид, аналогичный (2.10.6)
C]\ s ) = k;(s)P 2 +2m;(s)(P' ~ j P 2)+ |
(2.10.18) |
+/,*(J)(P 3+ P 4)+ 4 ^ ;(5 )P 5+ »;(S)P 6,
где т{(г), кх(г), 1Х(г),/лх(г) и и, (г) - возмущения модулей упру гости во включениях. Отсюда и из соотношений (2.10.14) сле дует, что правая часть уравнения (2.10.11) есть линейная ком
бинация тензоров Т*, определенных в (2.10.15).
Если тензор А(г,п) в (2.10.11) искать в виде линейной комбинации элементов Р,в и R-базисов с коэффициентами,
зависящими от г , то произведение С 1А представляется в ви-
л.
де аналогичного разложения. Поэтому тензор КД С /1)* будет линейной комбинацией тех же пяти тензоров Т*. Но тогда тензор A*(s,n) - решение уравнения (2.10.11) - естественно
искать в виде линейной комбинации не всех элементов Р,9 и
Л
R-базисов, а лишь пяти тензоров Т*: