книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

11

слоистыми включениями, тонкими чешуйками и лентами, короткими жесткими волокнами различной формы, однона­ правленными слоистыми цилиндрическими волокнами бес­ конечной длины. Найдены модули упругости сред, содержа­ щих множество трещин или тонких податливых включений. Предложенный метод позволяет учесть особенности прост­ ранственного распределения включений в объеме композита.

В шестой главе метод эффективного поля получает даль­ нейшее развитие. Здесь построен эффективный нелокальный оператор, связывающий осредненные напряжения и деформа­ ции в композитном материале в случае быстро изменяющихся внешних полей. Получены уравнения для определения корре­ ляционных функций упругих полей в матричных композитах. Решение этих уравнений исследуется на примере среды со случайным множеством точечных дефектов.

Главы VII-X посвящены распространению упругих волн в матричных композитных материалах. Известно, что даже в идеально упругих композитах распространение волн сопро­ вождается пространственно-временной дисперсией и затуха­ нием. В главе VII метод эффективного поля применен для описания всей совокупности явлений, связанных с распрос­ транением длинных акустических волн в средах с эллипсо­ идальными включениями. Здесь построен эффективный вол­ новой оператор, описывающий распространение волн в некоторой однородной среде, эквивалентной композитному материалу и обладающей дисперсией и затуханием. Анализи­ руется роль поправки, связанной с учетом парного взаимо­ действия между включениями в композите.

Глава VIII посвящена решению в длинноволновом при­ ближении задачи дифракции упругих волн на включениях различной формы. Результаты этой главы используются затем (гл.1Х) для вычисления скоростей распространения и коэф­ фициентов затухания упругих волн в матричных композитах, армированных различными типами наполнителей.

Глава X посвящена распространению упругих волн в сре­ дах, армированных однонаправленными волокнами. Волновые поля в таких композитах обладают рядом характерных осо­ бенностей. В частности, имеет место сильная дисперсия волн, распространяющихся вдоль волокон, а затухание волн сильно зависит от направления их распространения.

12

Основное содержание монографии составляют результаты, полученные авторами. Однако развиваемый подход возник не на пустом месте. Идея метода эффективного поля восходит еще к Рэлею и неоднократно использовалась многими автора­ ми для решения задач осреднения и построения различных эффективных характеристик неоднородных сред. Краткий об­ зор работ, посвященных использованию самосогласованных схем в механике композитов, можно найти в разделе «Ком­ ментарии и литературные ссылки» в конце книги.

Отметим большое влияние, которое оказала на авторов монография И. А. Кунина [195,196]. При формулировке основ предложенного варианта метода эффективного поля и рожде­ нии замысла данной книги весьма полезными оказались кри­ тические замечания И. А. Кунина, высказанные по поводу полученных авторами результатов.

При обсуждении различных задач, вошедших в книгу, ряд ценных замечаний и предложений был сделан А. А. Вакулен­ ко, В. А. Козловым, В.Г. Мазьей, С. Г. Михлиным, В.А. Паль­ мовым, Г. И. Петрашенем. Численная реализация практичес­ ки всех предложенных в книге алгоритмов выполнена Л. Т. Кудрявцевой. Она также оказала неоценимую помощь в оформлении рукописи. Большая техническая работа при под­ готовке рукописи к печати была выполнена В. А. Харсиа.

Всем этим лицам авторы выражают свою искреннюю бла­ годарность.

Авторы благодарны также Петрозаводскому университету и Институту проблем машиноведения РАН, без материальной поддержки которых эта книга не могла бы увидеть свет.

Г Л А В А I

ОДНОРОДНАЯ УПРУГАЯ СРЕДА

СИСТОЧНИКАМИ ВНЕШНИХ

ИВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Данная глава является вспомогательной, однако получен­ ные в ней результаты имеют важное значение для всего даль­ нейшего изложения. В этой главе исследуются поля переме­ щений, деформаций и напряжений, которые возникают в неограниченной однородной упругой среде под действием источников внешних и внутренних напряжений. Получены интегральные представления указанных полей через плотнос­ ти источников. Исследуются разрывы упругих полей в среде с распределенными источниками типа силовых и дислокацион­ ных моментов. Рассмотрена асимптотика полей вдали от по­ рождающих их источников.

§1.1. Источники внешних напряжений

воднородной упругой среде

Начнем рассмотрение с однородной идеально упругой сплошной среды, занимающей все трехмерное пространство. Физические свойства такой среды описываются постоянным

четырехвалентным тензором модулей упругости С^я^. Для

положительный тензор, симметричный как по первой и вто­ рой паре индексов, так и по перестановке пар. В дальнейшем компоненты тензоров будут рассматриваться в ортогональной декартовой системе координат, по повторяющимся индексам предполагается суммирование.

14

Одной из причин появления напряжений в упругой среде являются внешние (массовые) силы. Пусть распределение этих сил в пространстве описывается векторной плотностью

qa(X), х(х,,х2,х3) - точки среды. Будем считать, что qa(X) -

обобщенная финитная в смысле [26] функция. В рамках клас­ сической теории упругости вектор перемещения и(х) точек среды под действием указанных сил удовлетворяет следующей системе линейных дифференциальных уравнений

Соответствуюпдае вектору иа(Х) поля тензоров деформации

еар(Х) и напряжений с ^ Х ) определяются соотношениями

e^(x) = de£aufi(x)t (Tafi(x) = C°afiiMeXfJ(x), (1.1.2)

d e f > /x ) = У(аи#(х) = \ (v aup{x) + V ^ a(x)).

Здесь круглые скобки в индексах означают операцию симмет­ рирования.

Поля напряжений и деформаций могут быть найдены также из системы уравнений, эквивалентной (1.1.1)

V a<r^(x) = ~qa(х ), ст^(х) = С1рХмеЛм(х ), K o t ^ e ^ (х) = 0,

(1.1.3)

где оператор несовместности Rot определяется соотношением

еауЛ - антисимметричный тензор Леви-Чивита. Следуя [80],

систему (1.1.3) будем называть системой уравнений теории уп­ ругости для внешних напряжений.

В число источников внешних напряжений целесообразно ввести также силы, приложенные на бесконечности. Соответ­ ствующие поля деформаций и напряжений удовлетворяют

однородной системе уравнений (1.1.3) (q(x) = 0).

Пусть на1ружение на бесконечности отсутствует, а функ­ ция qa(х) отлична от нуля в конечной области пространства.

15

При этом исчезающее на бесконечности решение системы (1.1.1) представляется в следующем виде:

Кронекера, G(x) —> 0 при |х|—> оо.

Известно [95], что для произвольной однородной анизо­ тропной среды G(x) - четная однородная функция степени

Явное выражение для функции G(X) может быть получе­ но только для изотропной и трансверсально-изотропной сред,

атакже для среды, обладающей гексагональной симметрией

[95].В случае изотропной среды с коэффициентами Ляме Л0

и //0 тензор G^(X) имеет вид

Рассмотрим примеры источников внешних напряжений некоторых частных видов.

где Qa - постоянный вектор. Такая плотность соответствует

сосредоточенной силе Qa, приложенной в начале координат

16

(х = 0). Из (1.1.5) следует, что поле смещений от такого ис­ точника внешней нагрузки определяется выражением

2\ Силовой диполь. Рассмотрим источник внешних нап­ ряжений более сложной структуры, который называют сило­ вым диполем. Пусть в точке х = 0 приложена сосредоточен­

ная сила величины Qea, направление которой определяется

единичным вектором еа, а в точке с координатами ха = Иеа

приложена такая же, но противоположно направленная сила

(-Qea). Тогда, в силу (1.1.9), (1.1.10) поле смещений от суммар­

ного воздействия этих сил имеет вид

перейдем в (1.1.11) к пределу при h —>0. В результате полу­ чим

функции [26] следует, что полю смещений (1.1.12) соответст­ вует обобщенная нагрузка вида

(1.1.13), называется элементарным силовым диполем интен­

сивности Q0.

Пусть теперь плотность внешних сил определена соотно­

гДе Qafi - постоянный тензор. Заметим, что главный вектор

Qa такой нагрузки равен нулю. Действительно,

17

Если Qap - симметричный тензор, то существует орто-

нормированный базис е^ (i= 1,2,3,), в котором выражение для

где Q (i=I,2,3) - собственные значения тензора Q^. Отсюда и

из (1.1.13) следует, что источник (1.1.14) соответствует трем элементарным диполям, действующим вдоль главных осей

тензора Q^ с интенсивностями Qx, Q2, Q3.

Найдем теперь главный момент Ма внешней нагрузки

(1.1.14)

определяет сосредоточенный момент нагрузки вида (1.1.14). В

Введем теперь плотность обобщенных силовых моментов

Чар(х) , распределенных в конечной области пространства. Поле смещений от такой на!рузки определим формулой

»«(* ) = JV (*')<&'> (1.1.19)

которая совпадает с (1.1.18) при <]ар(х) = QatfS(x). Применив

теорему Гаусса, можно убедиться, что поле смещений (1.1.18) возникает под действием массовой силы вида

18

<la(x)=Vflapix). (1.1.20)

В этом смысле плотность 4qa (X) (1.1.20) эквивалентна

плотности силовых моментов qap (X ). Наоборот, всякому фи­

нитному распределению массовых сил можно сопоставить эквивалентное распределение силовых моментов. Из (1.1.20)

следует, что плотность q ^ X ) определяется по заданному

вектору qa(X) не однозначно, но с точностью до слагаемого

Взяв теперь два близко расположенных диполя и осущес­ твив предельный переход, аналогичный рассмотренному вы­ ше, можно получить источник еще более сложной структуры (квадруполь). Повторяя указанную процедуру, придем к пос­ ледовательности источников, называемых мультиполями. При этом мультиполю n-го порядка соответствует обобщенная плотность нагрузки вида

3". Источники внешних напряжений, распределенные по поверхностям и по линиям. Пусть Q - гладкая поверх­ ность Ляпунова в трехмерном пространстве. Введем дельта­

функцию О (х), сосредоточенную на поверхности О и дейст­ вующую на любую гладкую функцию у/(х) следующим обра­ зом [26,80]:

Q

где инте1рал слева вычисляется по всему пространству R3. Распределению массовых сил с плотностью Qa(x) по по­

верхности Q соответствует объемная плотность qa(x), имею­ щая вид