книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

141

непрерывно дифференцируемую ограниченную функцию b(t) по формуле

которая является следствием регуляризации (3.2.26).

Вид асимптотики решения уравнения (3.6.4) при Н О и асимптотики (3.6.1) в окрестности контура Г совпадают [148].

Для построения асимптотики b(t) подействуем на обе час­ ти (3.6.4) оператором преобразования Меллина (2.8.5). Учиты­

tg(*s— 1) Я"

где интеграл понимается в смысле (3.6.5) и существует при О < R e5< 2, из (3.6.4) получим соотношение

правой части уравнения (3.6.4).

Будем рассматривать непрерывные ограниченные решения (3.6.4), убывающие на бесконечности быстрее любой положи­

тельной степени Г 1. Преобразование Меллина b*(s) такого решения является аналитической функцией в правой полу­

плоскости (Re5>0) комплексной плоскости S. Функцию f*(s)

в (3.6.7) будем считать аналитической в полосе q < Re5 < 2

(q < 2). Тогда в полосе q< Re5 < 2 интегралы Меллина (2.8.5) от общих частей (3.6.4) имеют смысл.

Далее ограничимся исследованием асимптотики (3.6.4) при t-+0. Множество краев включений, которые описываются функцией h(x) вида (3.6.2), можно разделить на три качест­ венно разных класса: затупленный край, для которого 0<<7<1,

142

остроконечный край q= 1 и край, имеющий точку возврата

?>1 .

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1°. Затупленный край (0 <<7< 1). Введем замену перемен­ ных (s - q ) —>s и перепишем соотношение (3.6.7) в форме

* > ) = — ( r r ’ t / ’ C s + O - ^ - t f + i ) ] - (3.6.8)

S7C

Для выяснения вида асимптотики функции b(t) при t —>О контур интегрирования в формуле обращения преобразования Меллина (2.8.5) возьмем в виде прямой Re5 = т(0 < т< 1/2), параллельной мнимой оси комплексной плоскости S . Как из­ вестно [135], поведение функции b(t) при / - > 0 определяется

особыми точками b*(s), лежащими слева от контура интегри­ рования и имеющими наименьшие по абсолютной величине вещественные части. Ближайшей к контуру интегрирования особой точкой множителя (tgS7t)/S7t в правой части (3.6.8) является простой полюс при 5=-1/2. Нетрудно убедиться, что

в полуплоскости Re s >-1/2 функция b*(s) не имеет особых точек. Действительно, если предположить, например, наличие

полюса у функции b*(s) при s = so, где -l/2 < R eso<0, то из

соотношения (3.6.8) следует, что полюса b*(s) должны быть также в точках

ция, то в полуплоскости Re 5 < 0 ее преобразование Меллина f*(s) имеет простые полюса в точках s - 0 ,-1 ,-2 ,.... Таким образом, полюса функции /*(5 + 1) в (3.6.8) расположены в точках s= -1 ,-2,... и компенсируются нулями функции tg5^.

Поскольку в рассматриваемом случае (1 -д )> 0, то все эти

полюса расположены в полуплоскости Re s < - 1 / 2.

Итак, поскольку ближайшие к контуру интегрирования Res= тполюса b’ (s) находятся в точках s = - 1/2 и s= q -(3/2),

то решение уравнения (3.6.4) при »0 представляется в фор­ ме

2*. Остроконечный край (q=l). В этом случае соотноше­

ния (3.6.8) можно разрешить относительно К (s):

144

изотропных матрицы и включений полюсами функции К (s) в

полуплоскости R e J < 0 являются ненулевые корни независи­ мых уравнений

Первые два корня Sjk)(/ = 1,2) каждого из этих трех (£=1Д 3) уравнений, расположенные в левой полуплоскости, удовлет­ воряют условиям

жащие в левой полуплоскости и наиболее близкие к мнимой оси, Рк - некоторые коэффициенты.

3\ Края, имеющие точку возврата (\<q<2). Введем за­ мену ( s - q ) —>s и перепишем (3.6.8) в виде

b\s) = f \ s + q ) - ( S- l + <l)* Г У ( д - 1 + ? ) . (3.6.18)

t g ( s - l + q)7r

Рассмотрим особые точки правой части слева от контура интегрирования Res= г, 0 < г < 1 /2 . Очевидно, полюсом яв­ ляется точка s - —q, а в силу (3.6.8), полюса имеются только в точках

146

дентных уравнений вида (3.6.15), /?(хо) - гладкая на Г функ­ ция. Аналогичные значения для частных значений параметра q в (3.6.2) получены в [130].

Рассмотрим теперь асимптотику решения уравнения (3.3.18) у края тонкого жесткого включения, предполагая, что

асимптотика функции h(x) определена в (3.6.8). Модельное уравнение, аналогичное (3.6.4) будет в данном случае иметь вид

М=К'0(п)ВЩп), /а,(О = (м)а0хм® ^ г Ш рХ(),

где интегральный оператор в (3.6.24) определен правой частью (3.6.5).

Тем же путем, что и выше, можно показать, что для затуп­

ленных краев (0 < q < 1) асимптотика <т(/) при t —> О имеет вид

ст(/)=Д|'я+а,(0, Д(О =0(/м1пО, <? =о,

где 5,(,), s(p - ближайшие к мнимой оси и лежащие в левой по­ луплоскости R es< 0 корни трансцендентного уравнения

147

В случае изотропных среды и включения это уравнение эквивалентно следующим двум независимым уравнениям

Перейдем к рассмотрению асимптотики поля напряжений в среде в окрестности краев тонких включений. При этом воспользуемся интегральными представлениями (3.3.11), (3.3.18) полей напряжений в среде с тонким включением. Поскольку указанные представления являются внешним пре­

делом решения задачи о тонком включении при дх, д2—>0, то имеется в виду промежуточная асимптотика на расстояниях от контура Г , больших по сравнению с характерным попереч­ ным размером включения И, но малых по сравнению с ос­ тальными его линейными размерами.

Начнем с выражения (3.3.11) для напряжения в среде с тонким податливым включением и рассмотрим асимптотику ст(х) вне поверхности Q в окрестности ее кромки Г. Пусть

У\>Уг>Уз - локальные декартовы координаты в точке причем ось уг направлена по предельной к П нормали в точ­

ке хе, ось у2- по касательной к Г, тогда ось у, лежит в каса­

тельной к Q плоскости в точке хо. Учитывая (3.6.22), имеем асимптотику вектора Ь(Х) в окрестности точки хое Г

у2~ 0, уг = -г sin (р, где г - расстояние от точки у до хо, (р - полярный угол в плоскости (у,,Уз):

148

<Ку) = гГ~' J ^ (co s^ + ^ ,^ 2,sin ^ + ^ 3) x (3.6.32)

0 (0

хп(г£)/3(х0)%с1П4+ 0(cro), £ =y,/r.

Здесь учтено, что S(X) - однородная степени (-3) четная функция. При т—> 0 интеграл в (3.6.32) стремится к конечно­

му пределу и, следовательно, при у < 1 напряжения на Г име­

ют особенность типа гу~х. Если у> 1, то в окрестности края напряжения ограничены.

Аналогично случаю трещины (см. §2.6), введем тензорный коэффициент интенсивности напряжений J(<p,x0) соотноше­ нием

s(<p) = J J S ( c o s , ^2,sin <p)d%2 , (3.6.35)

О—оо

где п(хо) - предельное значение нормали к Q в точке хо е Г .

Таким образом, функция J((p,xo) представима в виде двух

сомножителей, первый из которых S (<р)П(хо) определяется только локальной формой и ориентацией края тонкого вклю­ чения в точке хо. Второй сомножитель - вектор /?(хо) есть функционал всей поверхности Q , формы включения и внеш­

него поля cr(x).

Аналогичным путем из (3.3.18) можно получить вид асим­ птотики напряжений в окрестности края тонкого жесткого

149

где у - показатель степени, определяющий вид асимптотики

Ь(х) в окрестности края Q . Тензор интенсивности напряже­

где тензор S (<р) определен соотношением (3.6.35), а коэффи­

циент Р(хо) определяет асимптотику ст(Х) в окрестности точ­

ки е Г (д(х) = Р(хо)гг+...).

§ 3.7. Тонкие включения эллипсоидальной формы

Рассмотрим случай тонких включений эллипсоидальной формы. При этом срединная поверхность включения имеет

форму эллипса с полуосями ах,а2, а функция h(X) - пред­ ставляется в виде

h(x) = 2hz(x), z(xi,x2) = yj l - { x l/а, f ~{x2/a2f , (3.7.1)

где хх,х2 - декартовы координаты, связанные с главными ося­ ми эллипса Q , ах,а2 - его полуоси.

Обозначим через Vh(X) - характеристическую функцию эл­

липсоидальной области с полуосями занятую включе­

нием, и пусть Рт(Х) - есть полином степени т по координа­ там хх,х2,хг. В силу теоремы о полиномиальной консерватив­

ности эллипсоида [82] интегральный оператор К с ядром К(Х) (2.1.10), переводит функцию

150

где п - нормаль к срединной поверхности эллипсоида, 0 (и )- проектор (2.2.7). Операторы Ти U в уравнениях (3.3.15),

(3.3.24) для тонких включений связаны с операторами Т и U соотношениями

(ТЬ)(х) = (ТЬП)(х) = | Г (х -х 'Ж л :')П (х ')^ ', х еП,

(Ua)(x) = (UoQ)(x) = J U (х - x')a(x')Q(x')dx'. (3.7.4) Символы U и Т имеют вид

С/*(£) = 0(л)К *(к)0(п), Г (к ) = -nS*(к)п, (3.7.5)

и являются однородными функциями нулевой степени по к.

Поэтому U и Т ограничены, а следовательно, и замкнуты в пространстве обобщенных функций Соболева-Слободецкого

H(R3) [148]. Отсюда следуют равенства

Поскольку в области Vhлевые части (3.7.6) являются поли­ номами степени тп для всех h , то правые части для предель­ ного образа функции Pmh являются полиномами на П . Отсю­

да и из (3.7.4) получаем следующее свойство операторов Ти U в уравнениях (3.3.15), (3.3.24).

Если Q - эллиптическая поверхность, то операторы Ти U переводят полином степени ш, домноженный на функцию

z(x) вида (3.7.1), в полином той же степени на Q .

Отсюда следует, что в случае тонкого эллиптического включения и полиномиального внешнего поля решения урав­ нений (3.3.15), (3.3.24) определяются выражениями

где В(х) и Q(x) - полиномы той же степени Ш, что и внеш­ нее поле. В частности, если сг (или е ) - постоянный тензор,