книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf
|
|
|
191 |
Л =2 <5' [ Ф 1' )( - |
| - ф |
- Ш2 г ' Ф 0' (^ г |
-+ ( < ) ) + с ] ' |
+005? In ^ о ^ ) , |
р -Р _ |
,с = С]. |
(4.3.36) |
Отсюда и из (4.3.35) видно, что главный член невязки при удалении от середины стержня затухает с асимптотикой
|£/<5,Г'. Если постоянную С выбрать из условия равенства нулю коэффициента при этой асимптотике, то
с = -----— о-^ЧО). |
|
|
(4.3.37) |
||
2+ р |
тw |
|
|
|
|
При этом асимптотика затухания главного члена невязки |
|||||
определяется функцией |£/ ^J"3, а выражение для |
при |
||||
мет вид |
|
|
|
|
|
°т ( 4) = ° т |
( #) - |
|
(0>(:1 ~ | |
(4.3.38) |
|
В частности, если поле е |
- постоянное вдоль стержня, то |
||||
q - i |
2+Р |
(H# |
Етет, q * 1, |
||
< * М = — |
1 — |
|
|||
° ‘; )(^) = - i[l - 2 1 n (l - | « | )] £ A . « =1. |
(4JJ9) |
Из (4.3.38), (4.3.32), (4.3.33) следует, что в окрестности концов стержня невязка R в (4.2.28) имеет как минимум лога
рифмическую особенность: R ~ <5? |
Для ком |
пенсации этой части невязки к а ^ (£ ) следует добавить функ ции типа пограничного слоя, которые определяют главный член решения в окрестности концов стержня. Уравнение для этих функций можно получить аналогично (4.3.11).
Сравним (4.3.39) с численным решением интегрального уравнения (4.3.30). Проведем такое сравнение на примере мо дельного уравнения, аналогичного (4.2.30).
192
amcr-M lcr= - y £ , I n <5,, |
am= \-qS2l \nSl, |
(4.3.40) |
где оператор Mx определен |
соотношениями |
(4.2.12), (4.2.13) |
при £, (£) = £,(1-|<£|). Применяя изложенную выше схему, по лучим, что выражение для главного члена </о)(£) разложения решения этого уравнения в ряд по £, имеет вид (4.3.39) при
Ете = \ П .
Численные решения уравнения (4.3.40) представлены на рис.4.4 (£,=0.1) и 4.5 (£,=0.01) сплошными линиями, штри ховые линии - функции (/о)(<^) вида (4.3.39). Кривым 1-4 со ответствуют значения параметра <7=0.4, 1.2, 2, 10. Расхожде ние между сплошными и штриховыми кривыми можно
уменьшить, добавляя к а*о)(£) функции типа пограничного слоя, локализованные в окрестности середины стержня и его концов.
В заключение этого параграфа рассмотрим "поперечную"
компоненту главного члена асимптотики поля напряже
ний внутри жесткого стержня с прямолинейной осью. Учиты вая оценки (4.2.25)
0м = о ? + о ? , |
= 0(1), |
= 0{Г2'), |
(4.3.41) |
193
подействуем на соотношение (4.2.18) оператором 0 '. В ре зультате получим равенство
- A v ) c - W ? ( $ - ( S i in г,) x
s@'A'D‘ [a‘ 0;)<Tj!;)] = &'e'(4). |
(4.3.42) |
Из уравнения (4.2.27) для П'-компоненты функции ст*о)(£) имеем
<5? In а , П ^ Ш М ] = |
- E -J J M ] (4.3.43) |
Подставляя это соотношение в (4.3.42) и разрешая его от
носительно c^g, найдем
(4.3.44)
где обращение тензора А° производится в ©-подпространст ве.
В случае постоянного внешнего поля продольная компо
нента поля напряжений а ^ (£ ) имеет вид
* & * ( $ = |
(4.3.45) |
где вид функции / ( £ ) зависит от формы стержня. Для стерж ней, рассмотренных выше, эта функция определяется соотно шениями
цилиндр: |
f U ) = 1~С*!5 ~> |
|
|
|
|
сп<7 |
|
эллипсоид: |
Л ? ) = |
2 + q 2 > |
(4.3.46) |
|
|
194
остроконечное веретено:
(•-I <0*
fi =i ( y/ i + V -з)-
Подставляя (4.3.45) в (4.3.44), получим выражение для тен
зора </во)(£). Суммируя (4.3.44), (4.3.45) найдем
(4.3.47)
= [(л ° Г + Л & Р 1(т) + Р\т)) + E J(Z )P ‘ (т)\е. ,
(а ‘ У'= |
+ |
(m )-lp - (m))+Sfi.P‘ (m) , |
1-ае0 |
2 -а г0 |
L |
Здесь |
- параметры Ламе стержня. |
Соотношением (4.3.47) определяется главный член асимп тотики поля напряжений внутри стержня всюду, за исключе нием, быть может, концов стержня или точек излома на его внешней поверхности.
§ 4.4. Включение в виде криволинейного стержня
Пусть теперь срединная линия стержня Г - гладкая кри вая, а радиус поперечного сечения a ( z )- непрерывная, кусоч но-гладкая функция, удовлетворяющая условиям (4.1.1), (4.1.2). Формальная схема построения главных членов асимп тотики поля напряжений внутри жесткого стержня по малым
параметрам 8Х, 8г аналогична случаю осесимметричного стер жня. Считая поле напряжений постоянным в каждом сечении
стержня Q (z ) ,z e r , проинтегрируем в (4.2.1) по сечениям и
195
рассмотрим полученное соотношение в точках кривой Г. В относительных координатах =*, //, где 2/ - длина Г, полу чим уравнение для сг(£), аналогичное (4.2.4)
С-'о(4) + \Ш ?)С'С -'о(?)<1Г' = е-(4), |
Г , (4.4.1) |
Г |
|
|
к(4,4')= jK(f-f-i7'W. |
(4.4.2) |
|
а(4') |
|
где |
€ Г , £' + rf - вектор точки в сечении стержня Г2(£'). |
|
|
Опуская громоздкие выкладки, выпишем главные члены |
|
разложения ядра К (£ ,£ ') в ряд по параметру 8Х |
|
|
|
к ( г ,? ) = ^ - ( » > ) 4 г - г ) + |
(4.4.3) |
+(г? In 6, )Л' (m)a2( f ) jjr - S t e - ? ) + 0 ( 4 )
Здесь |
т-т(^) - орт касательной к Г |
в точке |
тензоры |
А°(т) |
и А](т) имеют вид (4.1.11), (4.2.17) |
|
|
|
8, а{%) = а{ 4) /1, <?, « 1, а( £) = 0 (1 ). |
(4.4*4) |
|
Подставляя (4.1.3) в (4.4.1), получим следующее уравнение |
|||
для функции сг(£) |
|
|
|
|
С~'о{$ + А°(т)С'С-'о($+ |
|
(4.4.5) |
|
+(<*? In ^ ^ ’ ( ^ ^ - [ o r 2!^ )^ ^ )] = е{%). |
|
|
В случае жесткого стержня (С°С~'=0(82) |
1) отсюда |
||
следует, что функция а(£) допускает оценку |
|
||
|
= <%К$та(£)т№ ) + 0(1), |
= 0(8~2 ). |
(4.4.6)
196 |
|
Уравнение для "осевой" компоненты |
поля напряже |
ний внутри жесткого криволинейного стержня следует из
(4.4.5) и имеет вид, аналогичный (4.2.27) |
|
||
|
|
|
(4.4.7) |
<Г = - |
2£ - |
, <,(<?) = |
(4.4.8) |
и» |
1 |
I |
|
Здесь дифференцирование проводится по |
координате £ |
вдоль оси Г криволинейного стержня.
Граничные условия для определения постоянных в общем решении этого уравнения следуют из требования минимиза ции невязки с правой частью исходного уравнения (4.2.1) при
подстановке в его левую часть функции <т(£) из (4.4.6), (4.4.7). В частности, если a(z) удовлетворяет условию (4.1.1)
на Г и а(^о)^ 0 ,а (^ ;)^ 0 , ( £ , £ - точки, соответствующие концам стержня), то условия минимума приводят к соотноше
ниям, аналогичным (4.3.19) |
|
( £ ) = ( £ ) = 0 . |
(4.4.9) |
В заключение этого пункта выпишем главные члены внешних разложений полей деформаций и напряжений в сре де с жестким стержнем. С учетом соотношения
C V = С 1С 1а+ = сг+ +0(S2), |
(4.4.10) |
из (4.1.3), (4.1.4) следуют равенства |
|
£ (* )= е (х) - J К (х - z) a(z)dTz , |
(4.4.11) |
г |
|
<т(х) = сг° (х) - J S(x - z)(C° )_1 a(z)dT2 , |
(4.4.12) |
г |
|
где функция cr(z) с точностью до главных членов асимптоти ки поля напряжений внутри жесткого стержня имеет вид
197
<Kz) = s(z)c/c\z), s(z )= m 2(z), е£о)(г) = </?(z) + <$(z),
^ o)= 0(S 2*),- ^ = 0 ( 1 ) . |
(4.4.13) |
Заметим, что функции типа пограничного слоя, входящие
в выражение для c/o)(z), дают малый вклад в величину о(х) и е(х) по сравнению с медленно изменяющейся вдоль Г сос
тавляющей </°\z), если точка X удалена от концов стержня на расстояния, превышающие величину характерного радиуса
а. Поэтому для вычисления o(z) в (4.4.11), (4.4.12) можно
воспользоваться выражениями для главного члена </o)(z) асимптотики поля напряжений внутри стержня, полученными
⧧ 4.3, 4.4.
Вслучае прямолинейного стержня и постоянного внешне го поля деформации и напряжения вне стержня определяются теми же соотношениями (4.4.11), (4.4.12), в которых функция
o(z) имеет вид
cr(z) = A(z)e°, A(z) = m 2(z)B(z,m), |
(4.4.14) |
B(z,m) = { A - y '+ r(^P \'") + P4('n))+Ej(4)P‘(m),
где тензор (A°)~', а также функции /(£ ),/(< £ ) определены в (4.3.47), (4.3.46).
Г Л А В А V
МНОЖЕСТВО ИЗОЛИРОВАННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
В данной главе рассматривается равновесие бесконечной однородной упругой среды, содержащей равномерно распре деленное множество изолированных включений (матричный композит). Основной целью при этом является решение зада чи осреднения (гомогенизации) и вычисление эффективных модулей упругости матричных композитов с включениями различного типа. Для решения этой задачи используются са мосогласованные схемы - методы эффективной среды и метод эффективного поля. Путем сравнения теоретических предска заний с точными решениями (для регулярных композитов) и экспериментальными данными исследуется погрешность раз личных методов самосогласования.
§ 5.1. Постановка задачи осреднения
Матричными композитами называют неоднородные мате риалы, состоящие из однородного связующего (матрицы), в котором распределено множество изолированных включений другого компонента (наполнителя).
Размеры и свойства включений, а также их распределение в объеме матрицы, как правило, являются случайными.
Задача описания упругих, термоупругих и других физи ческих полей в стохастических материалах имеет ряд специ фических особенностей и отличается от постановки класси ческих задач математической физики и механики твердого тела [120].
Прежде всего отметим, что во многих прикладных задачах механики композитов характерный масштаб флуктуаций фи
199
зических свойств среды существенно меньше размеров тела, а случайные функции, описывающие эти свойства, являются однородными в широком смысле [125]. Поэтому если отбро сить специфические краевые эффекты, то основную инфор мацию о структуре физических полей в стохастически неод нородном твердом теле можно получить из решения задачи для бесконечной (занимающей все пространство) среды, фи зические свойства которой являются статистически однород ными случайными функциями координат.
Известно [27,125], что исчерпывающую информацию о случайной функции несут ее характеристический функционал или же счетная последовательность статистических моментов конечного порядка. Следовательно, полным решением задачи теории упругости для стохастического композита является бесконечная совокупность статистических моментов случай ных функций - вектора перемещений и ( Х ) 9 тензоров дефор маций и напряжений е (X) и <у(х )9выраженная через статис тические моменты тензора модулей упругости С(Х), и задан
ные детерминированные внешние нагрузки (^ (х ),Г (х )). Найти в этом смысле полное решение задачи теории упру гости для стохастически неоднородной среды можно лишь в редких частных случаях. Основная трудность здесь состоит в том, что, несмотря на линейность исходной системы уравне ний, рассматриваемая задача является стохастически нели нейной. Действительно, дифференциальное уравнение имеет вид
UapUfi)(x) = qa(x), Lap = - V xCXa/3M(x)VM, (5.1.1)
и в его левую часть входит произведение статистически зави симых случайных функций С ( Х ) и Vw(xr). Вследствие такой нелинейности любой статистический момент конечного по рядка случайной функции и(х) или е(х) выражается через всю бесконечную совокупность моментов более высокого по рядка [96] и, чтобы сделать задачу обозримой, приходится вводить упрощающие предположения, смысл которых зависит от конкретных особенностей микроструктуры композита. Следует отметить, однако, что для приложений полная ин формация о случайных физических полях в неоднородной среде, как правило, не нужна и основной интерес представля ют лишь несколько первых моментов решения.
200
Важной характеристикой физических полей в стохастичес ки неоднородной среде являются их первые статистические моменты или математические ожидания. Эти величины ха рактеризуют осредненную реакцию микронеоднородного ма териала на внешнее воздействие. Если такая реакция извест на, то реальный статистически однородный композитный ма териал можно заменить детерминированной однородной сре дой, отклик которой на внешнее воздействие эквивалентен отклику рассматриваемого микронеоднородного материала. Построение математической модели однородной среды, экви валентной реальному композитному материалу, является од ной из центральных проблем механики сред с микрострукту рой (проблема гомогенизации). Решение проблемы гомогени зации Позволяет связать макроскопические характеристики композита со свойствами компонент и особенностями прост ранственного распределения наполнителя в объеме матрицы. Знание таких зависимостей необходимо для расчета деформа ций конструкций из композитов, а также для обоснованного синтеза композитных материалов с заранее заданными свой ствами.
Подчеркнем, что выше под средним от случайной функ ции понималось среднее по ансамблю ее реализаций. Пусть включения в композитном материале образуют случайное множество, так что функция, описывающая свойства компо зита, является элементом at функционального пространства с заданной на нем вероятностной мерой /л(ео)[27]. Таким обра зом, поле и ( Х ) в неоднородной среде будет зависеть от СО - конкретной реализации случайного множества (ансамбля) включений и(х) = и(х,со). Под ансамблевым средним поля
и(х, со) в произвольной точке X понимается среднее значение случайной функции и(х,со) по ансамблю реализаций со, т.е.
< и{х) >= Jw(x, 0))dju(co). |
(5.1.2) |
Здесь интеграл понимается как континуальный в функци ональном пространстве реализаций случайного множества по лей неоднородностей (см.[27, 125]).
Введем оператор L„ который позволяет определить сред
нее значение поля <и(х)> непосредственно из уравнения вида