книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf211
Деформацию в среде с описанным слоистым включением можно представить в виде
e(r,n) = A(r,n)e, A(r,n) = Е1+ А(г,п), (5.4.6)
где тензор А(г,п) имеет вид (2.8.20), (2.9.2) и зависит от пос тоянных YJ (у-1,2,...,10;/=1,2,...,У+1), алгоритм построения
которых изложен |
в |
§2.9. Заметим, что (7У+1)-й слой |
(aN< r < a N + 1 , a w + l = |
о о ) |
представляет собой всю эффективную |
среду - область вне ячейки Кернера Vk.
Подставляя А(г,п) из (5.4.6) в (5.3.7) и учитывая выраже
ния (2.8.20), (2.9.2), для тензора А(г,п) получим |
|
|
|
|||
Р = |
_ ^i)E2 +2цо{лг - # 2)(е ' - ^ Е 2), |
(5.4.7) |
|
|
||
|
|
N |
|
Mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VrYuV) ’ 7=1>2; ni=Y*kdi >;г2=Хл?2, к,= ^,м ,= — ,а,=— , |
||||||
1=1 |
1=1 |
1 = 1 |
К о |
М о |
а |
* |
|
|
|
|
(5.4.8) |
|
|
где kt, |
- модули объемного сжатия и сдвига / -го слоя; |
|
к0> |
|||
juo - те же величины для матрицы.
Из (5.4.2), (5.4.7) следуют выражения для эффективных модулей объемного сжатия к, и сдвига ju, композита
к, = ко[1+ р{ щ - qx) ] , / < . = / ф + /?(^ - Й2)] • (5-4.9)
Входящие сюда параметры quq2, я-,, п2 через решение од ночастичной задачи зависят от свойств всех слоев, их разме
ров и модулей кт,/л, эффективной среды. Поэтому (5.4.9) представляет собой по существу систему уравнений для опре деления параметров к,,/и.,. Уравнения, соответствующие прос тейшему варианту метода эффективной среды, можно полу чить из (5.4.9), устремив к нулю толщину N -то слоя (а^—*^._,).
Заметим, что полученные в [162] уравнения для эффектив ных модулей к,,/л. композита, армированного сферическими
212
включениями, не следуют из (5.4.8), так как при их выводе использовалось другое условие самосогласования. В указан ных работах это условие состояло в том, что интегральные
средние напряжения и деформации по ячейке Кернера Vk предполагались связанными между собой тензором эффектив ных модулей упругости всего композита
(а)у1 = C'(e)yl,( f ) yl = ~ j f(x )d x . |
(5.4.10) |
v vl
Вычисляя входящие сюда интегралы с учетом (5.4.6) и вы ражения для тензора А(г,п) (2.8.20), (2.9.2), получим, что
уравнения для модулей к.,/и, примут вид
* |
» Я\ |
ТС-) |
(5.4.11) |
к .= к 0— , |
р. =//„ — , |
||
Ч\ Чг
где параметры qi , щ (/ = 1,2) те же, что и в (5.4.8).
Решение уравнений (5.4.9), (5.4.11) можно найти с помо щью итеративной процедуры на основе соотношений
kin) = Fk(k(r '\ fi n^ ) , /£ ° = |
V ”_,)) , (5.4.12) |
где kin) - эффективные модули на и-м шаге итераций.
Функции Fk и F определены правыми частями соотношений
(5.4.9) или (5.4.11). Расчеты показывают, что значения моду
лей к.,/л*, найденные из соотношений (5.4.9) и (5.4.11), прак тически совпадают. Однако итеративный процесс (5.4.12) ока зывается более устойчивым к заданию исходного приближе
ния к^ ,/t? , если в основу вычислений положить соотноше ния (5.4.11).
На рис.5.1 представлены расчетные и экспериментальные
зависимости модуля Юнга композита Е. от объемной концен трации включений р. Верхняя часть рисунка соответствует
случаю жестких сферических включений ( Е /Е 0 =28,7,
vo = 0,394, V—0,23), нижняя - случаю сферических пор.
I *
Eo
3
1
0.2
213
Здесь Е, v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона включения,
Ес, vo - те же величи ны для матрицы. Кри вые 1 соответствуют простейшему варианту метода эффективной среды, 2 - модифици рованному варианту, светлые точки - экспе риментальные данные
[220].
Очевидно, что мо дифицированный ме тод эффективной сре
ды описывает экспериментальные данные лучше, чем прос тейший вариант. Однако если концентрация жестких включе
ний достаточно велика (р >0, 4), модифицированный вариант дает относительную ошибку в вычислении, превышающую
20%.
В качестве недостатка методов типа эффективной среды отметим отсутствие в их рамках алгоритмов, позволяющих уточнять полученное решение. В случае неизотропного расп ределения включений в пространстве применение этих мето дов связано с существенными техническими трудностями, а также с рядом неопределенностей при формулировке одно частичной задачи.
§5.5. Метод эффективного поля для среды
сэллипсоидальными включениями
Рассмотрим теперь другую самосогласованную схему ре шения задачи осреднения, отличную от изложенной выше. Будем исходить из предположения о том, что каждое включе ние в композите ведет себя как изолированное в однородной
среде со свойствами матрицы С°, а наличие окружающих не однородностей учитывается эффективным внешним полем,
214
действующим на это включение. Эффективное внешнее поле
деформаций е (напряжений сг) складывается из приложен
ного к среде внешнего поля £ ((f) и полей, наведенных ок ружающими неоднородностями. В простейшем варианте ме тода эффективное поле предполагается постоянным и одина ковым для всех включений.
Самосогласованные схемы, в которых взаимодействие между включениями учитывается введением локального внеш него поля, действующего на каждое включение, будем назы вать далее методами эффективного поля.
Используя основную гипотезу метода, поле деформаций внутри каждого включения можно представить в виде
f(x ) = А°(х)е*, |
(5.5.1) |
где тензор Л°(дг) определяется из решения задачи для оди
ночного включения в среде со свойствами матрицы С° при
действии постоянного внешнего поля деформаций £■*. При
этом функция q(x) (5.2.6), входящая в соотношения (5.3.2)- (5.3.4), определяется выражением
q(x) - С 1(х)А° (x)emV (x). |
(5.5.2) |
Введем функцию V(x,x') соотношением |
|
V{x;x') = '£Vi(x') при x e V t , |
(5.5.3) |
i* k |
|
где У,(х)- характеристическая функция области |
Vt, занятой |
/ -м включением. С помощью этой функции локальное внеш
нее поле в точке х eV (V = {JVi) представляется в виде
i
е(х) = f - jK(x-x')C'{x'Mx')eV{x,x')dx'. (5.5.4)
Осредним это соотношение при условии х е V
(e4x)\x) = ^ - jK ( x - x ') ( c \ x ,)A0{x,)v{xix,)\x)dx,e \
(5.5.5)
215
где < -|х > означает среднее при условии х е F. Отождествляя
среднее < е Ч*)1х > с эффективным вешним полем, действую щим на каждое включение,
(s (*)!*) = * » |
(5-5.6) |
из (5.5.5) получим уравнение для эффективного поля е*. Рассмотрим среднее под интегралом в (5.5.5). Предполагая
статистическую независимость свойств включений от их поло жения в пространстве, получим
(CI(X')A°(X')F (X;X')|X') = (CI(X')A°(X')F (X')^VF'(X,X'),
= (v(x-x'\x)l{V(x)). |
(5.5.7) |
Здесь учтено определение условного среднего [125] |
|
(/M l*) = {/& W (*))/{V (x)). |
|
(5.5.8) |
||
Используя свойство эргодичности, найдем |
||||
(С 1(х) Л°(x)F (х)) = |
|
|
(5.5.9) |
|
= limIV->оо IFW J1С1(*)Л° |
со |
W7F ^ |
J1 |
(*)Л°(*)<* • |
=lim |
||||
w |
|
ff Vj |
|
|
Осредняя обе части этого соотношения еще раз по ансам блю случайного множества включений, получим окончательно
(С 1(х)Л-(х)Г(х)} = !i m ^ ( v)P- = рР\ (5.5.10)
Р' = М ( | С,<* )Л'(: |
(5.5.11) |
I |
|
где N - число включений, |
попавших в область W, v - объем |
типичного включения. С учетом (5.5.6), (5.5.10) соотношение (5.5.5) принимает вид
е =е° - plK{x-x')P0X¥(x-x')dx'e* . (5.5.12)
216
Здесь учтено, что для пространственно однородного мно жества включений функция vF(x,x'), определенная в (5.5.7),
зависит только от разности аргументов х - х ' . Рассмотрим эту функцию, характеризующую геометрическую структуру слу чайного множества включений, более подробно. Из опреде ления условного среднего имеем
(Г(х';х' + х)|х') |
(F(x';x' + x)F(x')) |
|
|
* ( * ) = |
|
(5.5.13) |
|
(ТОО) |
|
(V(x))2 |
|
Рассмотрим вначале |
вид |
корреляционной |
функции |
< V (x'+ х)У(х')>, где V(x) - |
характеристическая |
функция |
|
области, занятой включениями. В силу эргодичности V(x) можем записать
(F(x')F(x' + x)) |
(5.5.14) |
2 № № ' + * ) + |
|
Заметим, что J ^ (x')^ (x' +x)dx' |
есть объем пересечения |
двух одинаковых областей, сдвинутых друг относительно друга на вектор X.
Среднее <V(x',x'+ x)V(x')> в числителе (5.5.13) совпа дает с корреляционной функцией (5.5.14), если не учитывать вклад в (5.5.13) тех реализаций, для которых точки X и х' ока зываются внутри одного включения. Последнее следует из оп
ределения (5.5.3) функции V(x,x'). Поэтому, отбрасывая пер вую сумму в (5.5.14), найдем выражение в числителе (5.5.13), а сама функция \Р(х) принимает вид (< V(x)>- Р)
= |
А * - * * )* - Р-5-15) |
217
Отсюда следует, что непрерывная функция 'Р(х) имеет среднее значение, равное единице
Й л р 1 'г<* )<& = 1' |
<5Л|6> |
" w |
|
а так как области Vt не пересекаются, то |
|
¥ (* ) = () при х = 0 . |
(5.5.17) |
В общем случае функция 'Р(х) представляется в виде сум мы постоянной составляющей (равной единице) осциллирую щей функции с нулевым средним значением и некоторой фи
нитной функции. Функция ¥(х) характеризует плотность рас пределения неоднородностей, окружающих типичное включе ние, центр которого расположен в начале координат. Иногда говорят, что 'Р(х) определяет вид "корреляционной ямы", в которой находится типичное включение в композите.
Если поле включений обладает некоторой симметрией (в статистическом смысле), то это сказывается на симметрии
функции 'Р(х). В частности, если множество включений изотропно, то эта функция сферически симметрична, то есть
Ч'(х) = 'Р(|х|).
Нарушение свойства изотропии случайного множества включений может привести к появлению текстуры. Под текс турой здесь понимается отличие симметрии тензора модулей упругости матрицы от симметрии тензора эффективных моду лей неоднородной среды. Для большинства стохастических композитов симметрия текстуры, связанная с геометрически ми свойствами поля неоднородностей, является не слишком низкой и ее вполне можно описать с помощью двухвалентно
го тензора аар. В этом простейшем случае тензор а опреде ляет линейное преобразование пространства, которым функ
ция 'Р(х) переводится в сферически симметричную
Х¥(ах) = х¥(\х\). |
(5.5.18) |
В общем случае, разумеется, такое преобразование подоб рать нельзя.
218
Используя указанные свойства функции 'Р(х), вычислим интеграл в (5.5.12). Учитывая формулы регуляризации (1.2.17) и (5.2.13), получим
J К(х - х 'М * - x')dx' = J К(х)('Р(х) -1 )dx =
= - А(а) + det а | К (а х )(Т (а x ) - l)a k , |
(5.5.19) |
где тензор Л(а) определен соотношением (2.4.2) при а - а, последний интеграл понимается в смысле главного значения и сходится в нуле и на бесконечности. В том случае, когда имеет место равенство (5.5.18), интеграл в правой части (5.5.19) исчезает и это равенство принимает вид
J К{х - х ' М |
* - x^cbc’ = - А(а) . |
(5.5.20) |
Подставляя это соотношение в (5.5.12) и разрешая полу |
||
ченное уравнение относительно е , найдем |
|
|
6' = A V , |
Л* = [ / -рА(а)Р°} 1. |
(5.5.21) |
Отсюда и из (5.5.2) следует выражение для среднего значе ния функции q{x) в форме
{q(x)} = ( c l(x)A°(x)eV(x)) = pPe°, Р = Р°А\ (5.5.22)
где тензор Р° определен в (5.5.11).
Обратившись теперь к соотношениям (5.3.7), (5.3.10), по лучим следующее выражение для тензора эффективных моду
лей упругости композита С*:
С = С° + рР°Ат= С° +рР°[1 - рА(а)Р°]Х. (5.5.23) Рассмотрим некоторые частные случаи.
Г. Среда с множеством однородных эллипсоидальных включений. При этом тензор Л° в соотношении (5.5.1) явля ется постоянным и имеет вид
А° =(7 + ^ ) ^ ) " ' , |
(5.5.24) |
219
где А(а) определен в (2.4.2), аар=аа8а^ (по а не суммиро
вать!), а,,а2,а3полуоси эллипсоида. Отсюда следует, что тен
зор Р° в (5.5.10) определяется следующим образом:
Р = < v(a) > ( С'[7 + A^ C' T V^ ) » у(а) = \ т \агаг >
(5.5.25)
где осреднение проводится по ансамблевым распределениям полуосей эллипсоидов, их ориентациям и упругим свойствам
С\
Пусть включения имеют форму шаров случайного радиуса а, а их распределение в пространстве изотропное. При этом
А(а) = А(а) = А° , |
(5.5.26) |
где А° - значение тензора (2.4.2) при аар = 8ар , а выражение
(5.5.23) для тензора С* принимает вид
С =С° +pC'[l + (1 - р) А°С' ]"' |
(5.5.27) |
Заметим, что формальный предельный переход при р —» 1 в этом соотношении дает физически правильный результат
С * = С ° + С \ |
(5.5.28) |
Таким образом, полученное выражение для С*оказывается физически непротиворечивым во всей области изменения
концентрации включений, хотя при р —Я гипотезы метода эф фективного поля теряют смысл, поскольку при этом нельзя говорить об изолированных неоднородностях.
В рамках рассматриваемой самосогласованной схемы мож но оценить не только эффективные модули упругости, но и более тонкие характеристики упругих полей в композитах. Действительно, в силу основной гипотезы метода каждое
включение ведет себя как изолированное в матрице С° в пос
тоянном внешнем поле е". Из решения задачи об изолиро ванной эллипсоидальной неоднородности (§ 2.3) следует вы ражение для тензора деформации внутри включения
220
£* = ( / + А(а)С' )"' е . |
(5.5.29) |
Отсюда можно найти концентрацию деформаций и напря жений в матрице на границе с включением, используя резуль таты §2.4. Взаимодействие между включениями учитывается
при этом через эффективное внешнее поле е , действующее на каждое включение в композите и имеющее вид (5.5.21).
2°. Среда с множеством сферических слоистых включе ний. Пусть в однородной и изотропной упругой среде статис тически изотропно распределено множество сферических сло истых включений. Будем считать для простоты, что все вклю чения одинаковые и состоят из однородных слоев с модулями
объемного сжатия kf и сдвига jut(i = 1,2,...,ТУ). Используя ре шение задачи для сферически слоистого включения в одно родном внешнем поле деформаций, полученное в § 2.8, мож но показать, что тензор Р° (5.5.11) принимает вид
р ° = р ; е 2 + р ; { е ' - ± е 2), |
(5.5.30) |
где скалярные коэффициенты Р,°,Р20 определяются соотноше ниями
* • = * . £ ( * , - ф + Я Х ч 3- * £ . ) . К
i=k
)+ ^ (з у г'+12 |
)], |
(5.5.31) |
|
где а( - радиусы слоев (/ = 1,2,...,ТУ), алгоритм вычисления массива постоянных Y‘ указан в § 2.8.
Тензор А(а) в (5.5.20), (5.5.23) имеет в данном случае вид (2.4.16). При этом из (5.5.23) следует выражение для тензора эффективных модулей упругости композита в форме
С* = kmE2+2/^(е ’ --J E2), |
(5.5.32) |