книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf131
где функция <у+{х,К) определена в (3.1.6). Воспользовавшись здесь законом Гука для включения
а+(х,И) = Сё* (х,И) |
(3.3.13) |
и переходя к пределу при h, С—>0 с учетом (3.3.9), найдем связь вектора Ь(х) с вектором напряжений на поверхности Q
пх(х)СХа^ ( х )
Пр ( х ) ° р А Х ) = A a fi(X ) b f i( X )> * a f i( X ) = К ™ ,
К Х)
(3.3.14) Отсюда и из выражения (3.3.11) для тензора напряжений
сг(х ) придем к уравнению, которому удовлетворяет векторное поле b (х ) на П:
&ар(х)Ър(х) + \Tap{x,x,)bp{x,)dQ: =яДх)о^(ж). (3.3.15) Q
Здесь действие интегрального оператора Т с ядром Т(х,х') вида (3.2.25) определено правой частью (3.2.24) или (3.2.26).
Таким образом, решение задачи о тонком включении при
h ,C —>0 (SuS2—>0)имеет вид (3.3.10), (3.3.11), где вектор Ь ( х)
является решением уравнения (3.3.15). Если Л(х)=0, то (3.3.15) переходит в уравнение задачи о трещине в однородной упру гой среде.
Пусть теперь вместе с Л к нулю стремится тензор упругой податливости включения В. Поскольку
С ё * = (В - С ) В Ъ * = -С °В'В+ , |
(3.3.16) |
то Схё* -> а* при В 0 (В ] -> -В °).
Отсюда и из (3.1.4), (3.1.5) получим, что при h,B—>0 ре шение задачи о тонком включении примет вид
£(х) = £ ° (х ) - J K (X - X ') CT(X ')^Q ' , |
(3.3.17) |
п |
|
а(х) = а° (х) - J $ ( x - х ')В °а (х ')В П ', |
(3.3.18) |
п
132
<т(х) = lim cr+(x,h), h,b^> 0. |
(3.3.19) |
Поскольку в пределе модули упругости включения обра щаются в бесконечность, то условие непрерывности вектора перемещений при переходе через поверхность Q будет вы полнено, однако непрерывность вектора напряжений (ло кальное условие равновесия) может быть нарушена. Предель ные значения вектора перемещений и тензора деформаций удовлетворяют на Q условиям
Первое из этих условий показывает, что поле деформаций не содержит сингулярной составляющей, пропорциональной
Q(x). Отсюда и с учетом свойства (3.2.20) потенциала f'(x ) можно утверждать, что плотность а(х) потенциалов в (3.2.17), (3.3.18) должна быть тензором поверхности Q , т.е. удовлетво рять условиям
Hp(х)<гсф(х) = 0 , 0 ^ ( x ) o ^ ( x ) = o-^(x). (3.3.21)
При этом из результатов §3.2 следует, что поле (3.3.17) автоматически удовлетворяет второму условию (3.3.20).
В силу непрерывности касательной составляющей пре
дельного тензора деформаций на поверхности Q |
с точностью |
||
до членов порядка дх выполняется равенство |
|
|
|
0(x)e(x) = h~](x)®(x)s+(x,h), x e Q , |
(3.3.22) |
||
где функция e*(x,h) |
имеет вид (3.1.6). |
|
|
Выражая 1Г(х,И) |
через Ъ+ (x,h) с помощью закона Гука |
||
(3.3.13) и учитывая свойство (3.3.21) функции |
о (х ), в пределе |
||
при Л,/?—» 0 получим |
|
|
|
G(x)s(x) = fj(x)oi^x), |
Ма/)хм(х) = Jim |
h ( x \ |
|
|
h,B-*0 |
|
|
(3.3.23)
133
Подставляя сюда выражение (3.3.17) для е(х), придем к
уравнению для плотности ст(х) на П :
VaMu(х^лР (х)+ Jиа/}Хм(х, Х ') а хм (x’)dQ’ = <da/3Xfi(x)eXfl (х).
о
(3.3.24) Действие оператора U с ядром U(x,x') вида (3.2.15) на
гладких функциях с ( х ) определено правой частью соотноше
ния (3.2.16) или (3.2.17). Если /л = 0, то (3.3.24) переходит в
уравнение для нерастяжимой мембраны, впаянной в однород ную упругую среду.
Можно показать, что операторы Т и U в уравнениях (3.3.15) , (3.3.24) являются эллиптическими псевдодифференциальными операторами, главные однородные символы кото рых - однородные функции степени единица (§2.6). Символы операторов в (3.3.15), (3,3.24) отличаются от символов Т и U определенно-положительными слагаемыми Л(х) и /л(Х) и поэтому также являются эллиптическими. Существование и единственность решения уравнения (3.3.15) имеет место в классе функций, обращающихся в нуль на контуре Г [148]:
Ь(х) = 0 при х е Г , |
(3.3.25) |
а уравнения (3.3.24) - в классе функций, удовлетворяющих условию
&ар(х)е/з(х) = 0 при т е Г . |
(3.3.26) |
Предыдущее рассмотрение показывает, что внешнее реше ние задачи о тонком включении, полученное при стремлении
к нулю параметров дх и 6г, определено неоднозначно и зави сит от предела отношения 8Х/ 52. Величина этого отношения определяет функции Л(Х) и /л(Х), входящие в уравнения (3.3.15) и (3.3.24). Для однозначного задания этих функций воспользуемся процедурой сращивания внешнего и внутрен него асимптотических разложений решения по малым пара метрам задачи [14,74].
134
§3.4. Внутренняя предельная задача
ипроцедура сращивания
Возьмем произвольную точку х на поверхности Q (JC е Г)
за центр локальной системы координат у19у2,у$> Естественные внутренние переменные задачи о тонком включении опреде лим соотношениями [14]
6 =h-'{x)yt, , / = 1,2,3. |
(3.4.1) |
Устремив параметр <5,(И) к нулю, придем к рассмотрению
внутренней предельной задачи, которая (в координатах £,) представляет собой задачу о равновесии однородной упругой среды, содержащей включение в виде плоского слоя единич
ной толщины в области |£3|< 1/2.
Обозначим через (fix) и f(x) поля напряжений и дефор маций, соответствующие решению внешней предельной зада чи. В соответствии с методом сращивания внешнего и внут реннего асимптотических разложений [14,33] упругие поля на границе среды и включения во внутренней предельной задаче
примем равными предельным значениям полей <f(x) и £е(х) в точке х e Q
, Km |
<К£) = ° е±( х) , |
lim е(£) = ее±(х) . (3.4.2) |
£3—>±1/2 |
|3-»±1/2 |
|
Здесь предполагается, что |
точка £(£,,£2,£ 3) стремится к |
|
плоскости |
= 1/2 или £3 = - 1 /2 , оставаясь вне слоя. |
|
Пусть тензор модулей упругости включения С мал по сра
внению с тензором упругих модулей среды: С (С °)_| = 0(82),
S2 « 1 . Будем искать внешнее решение задачи о*, ее в фор ме, совпадающей с (3.3.10) и (3.3.11).
<7* (х) = <т(х) + j,<S,(x -x ')w (x ')6 °(x ')d £ 2 ', (3.4.3)
п
135
£*(х) = £°(x) + jK (x -x ')C °w (x ')6 °(x ')d Q '. (3.4.4) a
Здесь вектор b°(x)~ решение уравнения (3.3.15), в котором Л(х) будем считать пока произвольной гладкой функцией по рядка С / И.
Из указанных в п.3.2 свойств потенциала в правой части (3.4.3) следует, что вектор напряжений П(х)с/(X) непрерывен на П. Поэтому его предельные значения n(x)cf+(x) и
n(x)cf~(X) в точке х G Q совпадают и имеют вид |
|
п(х)<7е+(х) = п(х)ое~(х) = Л(х)Ь° ( х ) . |
(3.4.5) |
Здесь учтено соотношение (3.3.14), которому удовлетворя
ет внешнее решение <f (X).
Используя формулы для предельных значений потенциала (3.4.4) , которые определены соотношениями (3.2.21), запишем выражение для предельных значений касательной составляю
щей тензора ее(Х) на Q:
®(х)ее±(х) = 0(х)£>(х) ± Q(x)db° (х ), |
(3.4.6) |
Л (х)= £°(*)+!к(х-х')С °и(х')[б°(х')-6°(х)]сЮ '+Л (х)б°(х).
a
Обратившись теперь к решению задачи для включения в виде слоя (2.4.35), можно найти поля напряжений и деформа ций, удовлетворяющие на драницах слоя соотношениям (3.4.5) и (3.4.6). Однако эти соотношения еще не позволят опреде лить внешнее поле внутри слоя однозначно. С учетом непре рывности вектора напряжений и касательной составляющей
тензора деформаций на границе слоя для полей а+(х) и (X) имеем
псг+(£) = ЛЬ°+ ?,(£), |
(3.4.7) |
Qe+(£) = eD + 24iQeb° + <p2(<4),
где (рх{%) и <р2(<%) - функции, которые удовлетворяют уравне
ниям теории упругости внутри слоя и обращаются в ноль на его границе.
136
С помощью закона Гука для включения можем записать
па+ - пСПе+ +пС&е+= ЯЬ° +<рх. |
(3.4.8) |
Переходя в (3.4.8) к внешним переменным yt и подставляя результат в (3.1.6), найдем выражение для интегральной ха
рактеристики e*(x,h)
и(х)С П (х)£+ (х) = h(x)&(x)b° (х) - w (x)C 0(x)£+ (х) + фх,
|
0 (х )? +(*) = 0(h), 1рх= 0(h). |
(3.4:9) |
Учитывая, что тензор П£+ представляется в форме |
||
П |
(х)е+Хм(х) = п(а (х)Ьл (х ) , |
(3.4.10) |
из (3.4.9) получим следующее выражение для вектора b : |
||
К (х) = gap(x)bp(x) + dai(x)^p(x) + 0(h), |
(3.4.11) |
|
gap(X)= K X)dal(X)X^ X)> dap(X)=nx(X)CXapfinfl(x), |
g=0(8J S2) . |
|
Подставляя теперь £ +(x) из (3.4.8) - (3.4.11) в правую часть (3.1.4), найдем выражение для внешнего предела внут
реннего решения е'(х):
fi'(x)=fe(* )-J К (х -х ')(С -С ° ) ( ш +(х )+ 0 £ +(х))с/П'=£°(^)+
Q
+ | К (х -х ')С °[п (х,)^(х,)г>°(х')+йГ1(х ')^ 1(х ,)]^О '+0(^1,^2).
о
(3.4.12) Сравнивая это соотношение с правой частью (3.4.3), не
трудно убедиться, что главные члены внешнего предела внут
реннего решения £ (х ) "сращиваются” с внешним решением
£е(х) при условии
gap(x ) = dap . й ( * ) = 0. |
(3.4.13) |
Отсюда и из (3.4.11) видно, что выражение для параметра Л(х) в уравнении (3.3.15) имеет вид
Л(х) = A-1 (x)w(x)Cw(x). |
(3.4.14.) |
137
Таким образом, внешние разложения упругих полей вне тонкого податливого включения определяются выражениями
o(x) = cf(<x) + 0(8x,52), е(х) = ее(х) + 0(8и82), (3.4.15)
где функции cf и ее определены соотношениями (3.4.2), (3.4.3), а входящий в них вектор Ь° есть решение уравнения (3.3.15) при А(дс) в форме (3.4.14).
Пусть теперь тензор упругой податливости материала включения мал по сравнению с тензором упругой податливос
ти среды: В(В°)~] = 0(S2). Реализуя процедуру сращивания внешнего и внутреннего асимптотических разложений, выбе рем внешнее решение задачи в форме
о*(х) = ст°(х )-| £ ( х - |
дг') 2 Г о ( дг' ) йК 2', |
(3.4.16) |
а |
|
|
ее(х) = е (х) - J К (х - |
х')о( х')аО ', |
|
о |
|
|
где плотность ст(х) является тензором поверхности Q и удов |
||
летворяет уравнению (3.3.24), |
в котором ц{х) |
- пока произ |
вольная гладкая функция порядка В /И.
Внутренняя предельная задача имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае. Для решения внутренней задачи в усло вие (3.4.2) следует подставить выражение (3.4.16) для внешних решений. Аналогично предыдущему можно показать, что вне шний предел внутреннего решения сращивается с внешним
решением (3.4.16), если плотность ст(х) потенциалов в этих соотношениях удовлетворяет уравнению (3.3.24), в котором
функция /л(х) имеет вид |
|
ВарЛц0 0 = ^ 00®a/?vp (X)BvprS0 TgXfi0 0 |
(3.4.17) |
§ 3.5. Сингулярные модели тонких включений
При рассмотрении тонких включений в однородной среде в ряде случаев целесообразно заменить трехмерное включение
138
эквивалентной двумерной моделью. В ряде работ проблема построения таких моделей сводилась к решению задачи со пряжения среды с тонкой упругой оболочкой [2,68,145]. Дру гой подход предлагался в работах [116,130], где тонкое вклю чение эвристически заменялось срединной поверхностью со следующими граничными условиями на берегах:
М а = ° . м |а = » . Ч 0 = '**. |
<3-51> |
где тензор Я(х) имеет вид |
|
х ар(*) = Л"1(х)пх {.х)СХаРцпц(X) . |
(3.5.2) |
В [130] первое из условий (3.5.1) называлось условием рав новесия, а последнее - законом Гука для включения. Пред полагалось, что решение задачи теории упругости для одно
родной среды с модулями С° при граничных условиях (3.5.1) и заданных условиях на бесконечности является хорошей ап проксимацией упругого поля в среде с тонким включением.
Очевидно, что граничные условия (3.5.1) по форме совпа дают с условиями (3.3.7), (3.3.14). Поэтому решения такой граничной задачи имеют вид (3.3.10), (3.3.11), где вектор Ь(х) определяется из уравнения (3.3.15). Заметим, что, строго гово ря, к условиям (3.5.1) следует добавить условие (3.3.25).
Из результатов §3.3 следует, что решение модельной зада чи с условиями (3.5.1), (3.5.2) тем лучше аппроксимирует точ ное решение, чем меньше величины относительного попереч
ного размера включения Sl и отношения 8г модуля упругости включения к модулю среды. Такие включения естественно на зывать трещиноподобными. При замене их сингулярной мо делью с условиями (3.5.1) на Q не учитывается эффект стес нения деформации на включении, вследствие чего касатель ная составляющая тензора деформаций может оказаться раз рывной на поверхности Q .
При рассмотрении тонких включений, модули упругости которых существенно больше модулей среды, естественно за менить включения срединной поверхностью с распределением на ней особенностей, так что поля напряжений и деформаций в среде определяются соотношениями (3.3.17), (3.3.18). Плот ность <т(х) потенциалов в этих соотношениях определяется при этом из уравнения (3.3.24) при функции /л(х), имеющей вид
139
M a fiX p (X ) = h ~ ' ( X ) ® a 0 v p ( X ) B Vp zS ® zS X p (X ) - |
<3 ' 5 ' 3 ) |
Сформулируем граничные условия на срединной поверх ности, эквивалентные предельной задаче (3.3.24), (3.3.17), (3.3.18). Часть из этих условий совпадает с (3.3.20), (3.3.23):
(3.5.4)
0(x)f(x) = /г(х)а(х), 0(x)a(x) = <J ( X ) , x e f i , (3.5.5)
где первая пара (3.5.4) - условие совместности деформаций среды и включения, причем второе условие является следст вием первого. Вторая пара (3.5.5) представляет собой закон
Гука для включения. Заметим, что компоненты тензора сг(х), определенного соотношениями (3.1.6), (3.3.19), представляют собой интегральные напряжения (усилия) в поперечных сече ниях тонкого включения, направленные по касательной к его срединной поверхности О . Уравнения равновесия для этих усилий являются следствием свойства (3.2.18) потенциала в правой части представления (3.3.18) тензора напряжений в среде с жестким включением и имеют вид
^ « Д * ) = - К ( * ) ° > ( * ) ] , |
(3.5.6) |
Аналогичным уравнениям удовлетворяют усилия в тонкой упругой оболочке, находящейся в безмоментном напряжен ном состоянии [114]. К граничным условиям (3.5.4) - (3.5.6) следует добавить условие (3.3.26) на контуре Г - границе Q.
Таким образом, условия (3.5.4)-(3.5.6) и (3.3.26) соответ ствуют задаче сопряжения безмоментной упругой оболочки с однородной упругой средой. Аналогичная модель прямоли нейного включения в плоском случае предлагалась в [2]. Оче видно, что решение модельной задачи с указанными условия ми на Q тем точнее описывает поле в окрестности тонкого
жесткого включения, чем меньше параметры и S2.
§ 3.6. Асимптотика решений уравнений (3.3.15), (3.3.24) у края включения
Рассмотрим асимптотику решений интегральных уравне ний (3.3.15), (3.3.24) вблизи контура Г - края поверхности П.
140
Начнем с уравнения (3.3.15) и перепишем его в следующей символической форме:
Л(дс)6(х) + (77>)(:с) = л(х)(7 (* ), x e Q , |
(3.6.1) |
Л(х) = /Г 1(х)и(х)С и(х).
Пусть функция h(x), определяющая форму включения, в окрестности края поверхности Q представлена в виде
h(x) = К (хс )гч+ 0(г ' ), |
q > 0 , |
(3.6.2) |
где г - расстояние от точки х е О |
до точки хо € Г по нормали |
|
к Г, А„(хо)- гладкая на Г функция. Основной интерес для приложений представляет класс непрерывных ограниченных решений (3.6.1). Исследуем асимптотику таких решений вбли зи контура Г, когда функция h ( X ) имеет вид (3.6.2), а правая часть (3.6.1) - гладкая ограниченная функция.
Из общей теории эллиптических псевдодифференциальных |
|
уравнений [148] следует, что вид асимптотики решения урав |
|
нения (3.6.1) вблизи контура Г совпадает с асимптотикой ре |
|
шения следующей модельной задачи. Пусть область Q предс |
|
тавляет собой полуплоскость ( х , > 0 , - со < х2 < оо, |
х3= 0). |
Требуется найти функцию Ь(Х) из уравнения (3.6.1), |
правая |
часть которого не зависит от х2, а тензор Л ( Х ) |
имеет вид |
Л(х) = Л ° х , Л^ = К'пхСХа/}/лпм. |
(3.6.3) |
Здесь п - нормаль к Q . При этом решение (3.6.1) зависит
только от х ,, а само это уравнение принимает вид (х, = t)
Г Ч ( 0 - Ц ^ ^ г Л ' = Л ( 0 , ' > 0 , |
(3.6.4) |
00
Гар<Х)1 /« Л ^ (1’Х24°К£&2> Л(0=(^)^ИЛ (0 -
-00
Здесь учтено, что J S(x],x2,0)dx2 - однородная функция
- о о
степени (-2). Интегральный оператор в (3.6.4) действует на