книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

Вычислив интегралы в (2.7.10) и разрешив уравнение (2.7.6) относительно В°, получим (по а не суммировать!)

Здесь К(&) и £(&) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Аналогичный резуль­ тат получен иным методом в [189].

Рассмотрим теперь асимптотику решения уравнения (2.6.10) на контуре эллиптической трещины. В случае поли­ номиального внешнего поля эта асимптотика на основании (2.7.1) принимает вид

где Г - то же, что и (2.6.16), В(хо) - значение полинома В(х)

в точке хо е Г .

84

Тензорный коэффициент интенсивности напряжений

J(0,xc) на контуре эллиптической трещины в силу (2.6.20) определяется выражением

В заключение этого пункта остановимся на случае внешне­ го поля, сжимающего трещину. Если берега трещины сомкну­

ты внешним полем, то вектор усилий ta(x) = «/J(x)cr/,a(x) на

поверхности Q отличен от нуля и условие (2.6.6), из которого следует уравнение (2.6.10), не выполняется. Условие на повер­ хности Q будет зависеть от характера контакта берегов тре­ щины. В частности, если взаимодействие берегов описывается

85

законом Кулона (касательная компонента вектора усилий t(x) на Q пропорциональна его. нормальной компоненте), то ука­ занное условие принимает вид

- * а ( Ф а ( Х ) = 1 * а ( Х К ( Х ) , в а ( Х ) = И '*«,

где х~ постоянная закона Кулона. При этом вектор скачка перемещений Ь(х) на Q лежит в касательной к Q плоскости в точке х и совпадает по направлению с вектором еа(х)

о

Подставляя это выражение в (2.7.15) и учитывая (2.7.16), получим уравнение для векторного поля &(х) на О . Если берега трещины контактируют лищь частично, то на той час­

ти Q , где берега расходятся, выполняется условие ta(x) - О, а на остальной части - условие типа (2.7.15).

Если берега эллиптической трещины, находящейся в по­ линомиальном внешнем поле, контактируют лишь частично, то свойство (2.7.1) решения нарушается. Однако если контакт осуществляется по всей поверхности Q, то в случае гранич­ ных условий типа (2.7.15) полиномиальная консервативность

решения сохраняется. Действительно, если Пр(7°ра{х) - поли­ ном степени т на П, то, разыскивая вектор Ь(х) в форме b(x) = B(x)z(x), где В(х) - тоже полином степени т, полу­ чим, что вектор ta(x), определенный соотношением (2.7.17),

является полиномом степени т на Q . При этом условии (2.7.17) переходит в равенство двух полиномов одинаковой

87

позитных материалах. Как правило, на границе раздела сред в композитах имеются переходные слои, свойства которых от­ личаются от свойств как матрицы, так и включений. В ряде случаев, особенно в полимер-полимерных композициях, такие слои могут занимать существенную часть объёма частиц на­ полнителя. Следует отметить также, что в настоящее время специально синтезируются композитные материалы с сильно неоднородными включениями, причем их эксплуатационные свойства оказываются значительно выше, чем у аналогичных композитов с однородными частицами [52]. Поэтому при моделировании механических характеристик таких материалов возникает необходимость в решении задачи о включении, свойства которого неоднородны. В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее важного для приложений случая сферических радиально неоднородных включений. Для реше­ ния этой задачи будет, как и выше, использован аппарат ин­ тегральных уравнений. В отличие от традиционного подхода, основанного на дифференциальных уравнениях теории упру­ гости (см., например, [78]), использование интегральных уравнений позволяет сразу выявить полную тензорную струк­ туру решения, а в случае многослойных включений - предло­ жить эффективный вычислительный алгоритм его построения.

Рассмотрим бесконечную однородную среду с тензором

модулей упругости С°, в которой имеется сферическое вклю­ чение, модули упругости которого являются кусочно-гладки­ ми функциями расстояния г до центра включения. Прило­

женное к среде поле деформаций £ будем считать однород­ ным.

В силу линейности задачи поле деформаций е(х) в среде с неоднородностью можно записать в виде

|х| —» оо) четырехвалентный тензор, симметричный по первой

и второй парам индексов. Подставляя (2.8.1) в уравнение (2.1.9) для тензора деформаций в среде с изолированной не­

однородностью и учитывая произвольность тензора е , при­ дем к уравнению для тензора А(х) в форме

88

АархЛх) + j Ka0rP(x-x')ClpvS(x')AvSXfl(x')dx' =

V

возмущение модулей упругости внутри включения. В сокра­ щенной записи уравнение (2.8.2) имеет вид

Перейдем к решению уравнения (2.8.2) в случае изотроп­ ной среды, когда параметры Ляме материала включения Л(г), ju(r) - кусочно гладкие функции в области V:

где Я0,//о- параметры Ляме среды.

Для решения уравнения (2.8.3) воспользуемся специальным представлением сингулярного интегрального оператора К, по­ лученным в работе [121]. Введем сферическую систему коор­

динат {г,гг) с началом в центре включения ( г = |дс|, п = дс / |хг| - вектор на единичной сфере D,). Пусть f(r,n) - кусочно глад­

кая финитная функция. Обозначим через f*(s,n) преобразо­ вание Меллина этой функции по переменной г . Имеют место формулы [135]:

определяется соотношением:

89

х J {-п т+io) dm J K'(m)f'(s,l)(m l+io)s~ltdl.

допускает и оператор S. Вывод формул (2.8.6) и (2.8.7) при­ веден в приложении П2.4.

Для представленного решения рассматриваемой задачи введем тензорный базис Е‘(п), состоящий из шести четырех­ валентных тензоров, образованных из единичного вектора па

(2.8.8)

Эти шесть линейно независимых тензоров, симметричных по первой и второй парам индексов, образуют замкнутую ал­ гебру относительно операции умножения - свертки по двум индексам

Таблица умножения тензоров Е' приведена в Приложении П1.1.

В базисе (2.8.8) преобразования Фурье ядер К (х) и S(x) интегральных операторов К и ^ в уравнениях (2.1.9) и (2.1.19) (символы операторов К и S) представляются в виде

90

K*(yfc) = — [E5(m )-x oE6(m)}, m= kl\k\, (2.8.10)

M o

S'(k) = -2nXE' - ( \ - 2 x o){E2 -E \ m )- (2.8.11)

- E 4(/»)) - 2 E5 (m) + 2x oE6(m )].

Найдем теперь результат действия оператора Ks при d = 3 на элементы базиса (2.8.8). Для вычисления интегралов в правой части (2.8.7) воспользуемся формулами, которые по­ лучаются прямым интегрированием после перехода к угловым

координатам на единичной сфере (Re S < 1):

x[ £ 2+ 2E'~ s{E3 (и) + E4 (n)) + 4E5( « ) +5(2 + s)E6(и)].

Отсюда и из (2.8.7) и (2.8.10) следуют равенства:

2/Г0(3 -5)(5-5)