книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

161

где х~2- обобщенная функция, преобразование Фурье которой - (~л\к|) [11]. Если включение также изотропное, с коэффи­

циентами Ляме X,fi и поперечным размером h(x) = hoa(х),

где сс(х) = 0(1) - функция формы включения, то векторное уравнение (3.3.15) распадается на два независимых уравнения

(/9=1,2):

г bfi(x')

Ь(х) в форме (3.8.6), используя (3.8.5) и требуя выполнения уравнения в узловых точках xt, придем к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ап­ проксимации

2N

\АаК=Г«, ос=1,2; k = l,2,...,2N, (3.8.15)

А* = a '(x k)A atxр ( - £ * ) -

ной, симметричной, с преобладанием членов в окрестности главной диагонали. Наиболее предпочтительным при решении системы (3.8.15) является метод Зейделя [136].

162

Для увеличения точности расчетов целесообразно учесть вид асимптотики решений уравнений (3.8.14) в о1фестности краев включения. Используя результаты §3.6, представим фун­ кцию b (х ) в виде

где вторым сомножителем справа учитывается вид асимптоти­ ки решения у краев включения х = ±1, величина показателя S

где xi=-l+hl(i-l/2),x}=-l+h2(j-l/2). Подставляя теперь (3.8.16) и (3.8.17) в (3.8.14) и требуя выполнения равенства в узловых точках х( (i=l,2,...,2N), получим систему для опреде­

163

Как уже отмечалось выше, аппроксимация (3.8.16) и (3.8.17) имеет наибольшую погрешность в окрестности краев включения х = +1. Для уменьшения этой погрешности в пред­

ставлении (3.8.17) функции (1 - х2)* следует сохранить как можно большее число слагаемых. Существенно, что размер­ ность матрицы системы (3.8.18) при этом не увеличивается, так как указанная размерность определяется числом слагае­

мых в представлении (3.8.18) для функции /?(х). Далее, по­ скольку функция (1 - х 2)* равна нулю за пределами включе­ ния, то функцию /?(х) в (3.8.16) можно с помощью любого гладкого продолжения определить и за пределами области Q.

В результате область, где погрешность аппроксимации Д(х) наибольшая, сдвигается за пределы трещины. Чтобы не уве­ личивать размерность системы (3.8.18), функцию /?(х) можно

продолжить вне Q четным образом относительно концов включения.

Рассмотрим сначала результаты решения уравнения (3.8.14) в случае трещины (Ла = 0) и постоянной правой части. На рис.3.2 приведены графики решения этого уравнения при раз­ ном шаге М узлов аппроксимации функции (1 - £2 )^/2 в пред­ ставлении (3.8.16) для Ь(£). Число N узлов аппроксимации

функции /?(£) бралось равным 5. Видно, что с увеличением

М решение стремится к некоторой функции. На рис.3.3 при­ ведены графики решения этого же уравнения при изменении

шага N узлов аппроксимации /?(£) (М = 50).

Коэффициент интенсивности напряжений на трещинах пропорционален значению /?(£) в точках £ = ±1. Для повы­

шения точности вычислений /?(<£) продолжалось четным об­ разом относительно концов трещины. При этом вводились

я В Г '

Из таблицы видно, что погрешность вычислений не пре­ вышает процента на всей длине трещины.

Рассмотрим теперь тонкие податливые включения различ­ ной формы. Задача сводится к решению уравнения (2.8.14)

при различных функциях формы включения ос(^). Приведем результаты решения уравнения (3.8.4) при постоянной правой

части (Ло =1, аго = 1), полученные тем же методом, что и в случае трещины.

Для эллипсоидального включения («(£ ) = л]\ ) график

функции Ь(<%) приведен на рис.3.5(а).

В случае включения, края которого имеют точку возврата

(<*(£) = (1 - £ 2)3) решение уравнения (3.8.14) представлено на рис.3.5(6).

Для включений постоянной толщины (а(^) = 1) и в виде

"двойного клина" (а(£ ) = 1-|£|) поведение функции Ь(^) представлено на рис.3.5(в) и 3.5(г) соответственно.

Перейдем в заключение к пространственной задаче и для простоты рассмотрим трещину с плоской поверхностью Q . В

случае изотропной среды преобразование Фурье Т*(к) ядра

Т(х) оператора Т в (3.8.15) имеет вид (к = к(кх,к2))

166

где п - нормаль к Q , аго = 2аго -1 .

Аналогично плоской задаче будем искать решение (вектор

Ь) в форме (х,,х2 - декартовы координаты в плоскости тре­

щины)

N

(3.8.22)

гдехи, хь - координаты узлов аппроксимации, Л,,й2шаги ап­ проксимации по координатам х1,х2. Далее дисперсии D{,D2 и

шаги l\,h2 выберем так, чтобы Л,2/), = h2D2 =4D. Подставим (3.8.22) в интегральное уравнение (3.3.15), воспользуемся оп­ ределением (3.8.5) оператора Т и выражением (3.8.21) для

Т*(к). Требуя выполнения уравнения в узловых точках хк, придем к следующей системе уравнений для коэффициентов

Ъ' в представлении (3.8.22):

167

2

Уа = (* 1 * -* 1 ,Х + (* 2 * -* 2 ,)еа

8D ’

где е',е2- орты осей х,,х2; / 0)/, - модифицированные функ­ ции Бесселя.

Пусть Q - плоская, прямоугольная в плане поверхность трещины. Учитывая асимптотику решения у края трещины, будем искать решение уравнения (3.3.25) в виде

*(* 1,■*2 ) = Р(х1.*2 Х У “ )'/2 Л " *22 )'/2 . (3-8.24)

где 2а, 26 - длины сторон трещины. Так же, как и в (3.8.17), отдельные сомножители здесь представим в виде

где hb,hp,Db,Dp - шаги аппроксимации и дисперсии в пред­

ставлении (3.8.25) функций (5(х) и (а2 - х 2)"2(b2 - х\'f2. Для простоты рассмотрим сетки с одним и тем же шагом по коор­

динатам xv x2. Из (3.8.24) и (3.8.25) тем же путем, что и выше, придем к системе линейных уравнений относительно коэффи­

циентов р-.

168

Система (3.8.26) решалась для случая трещины нормально­

го отрыва о°ар = (fnjip. При М -40, N- 10 результаты расчета

коэффициента /?(х) в (3.8.24) практически совпадают с вели­

чиной Р(х), подсчитанной другим методом в [55].

В заключение отметим, что предложенный подход может быть применен для решения уравнений (3.3.15) и (3.3.24) и в случае неплоской поверхности Q . Элементы матрицы коэф­ фициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение задачи, в этом случае также могут быть найдены в аналитической форме, хотя оказываются бо­ лее громоздкими, чем (3.8.26).

Г Л А В А IV

ВКЛЮЧЕНИЕ В ВИДЕ ЖЕСТКОГО СТЕРЖНЯ

ВОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Вданной главе рассматривается равновесие однородной упругой среды с включением, один из характерных размеров которого много больше двух других. Такие включения, назы­ ваемые волокнами или стержнями, широко используются в качестве армирующих элементов для современных композит­ ных материалов. Материал армирующих волокон, как прави­ ло, существенно жестче матрицы. Решение рассматриваемой задачи для таких включений зависит от двух малых парамет­ ров: отношения характерного поперечного размера включения

кдлине и отношения модулей упругости среды и включения. Данная глава посвящена построению главных членов разло­ жения упругих полей в среде с жестким стержнем по указан­ ным малым параметрам.

§4.1. Внешнее и внутреннее предельные решения задачи об упругой среде с включением, имеющим форму стержня

Рассмотрим бесконечную однородную упругую среду с включением, занимающим область V , которая имеет форму длинного криволинейного стержня. Пусть срединная линия стержня Г - гладкая кривая без точек самопересечения, а по­ перечное сечение стержня имеет форму круга радиусом a (z), где z - точка на Г . Будем считать a (z) кусочно-гладкой неп­ рерывной функцией, удовлетворяющей условию

(4.1.1)

всюду на Г , за исключением, быть может, окрестностей кон­ цов стержня. Поскольку характерный поперечный размер об-

170

ласти V существенно меньше ее длины, то функция a (z ) до­ пускает представление

где - малый безразмерный параметр, функция /(г)- порядка

длины стержня.

Рассмотрим структуру главных членов внешнего решения рассматриваемой задачи при стремлении параметра 8Хв (4.1.2)

к нулю. Полагая х G F в соотношениях (2.1.22) для напряже­ ний и деформаций, получим, что главные члены внешнего разложения решения рассматриваемой задачи в асимптотичес­

где Q (z ) - поперечное сечение области V плоскостью, орто­ гональной оси Г и проходящей через точку z е Г .

Рассмотрим внутреннее предельное решение задачи о стержне при стремлении параметра <?, к нулю. Поместим в

точку z € Г (z ^ ze , z,), где zo, г,- точки, соответствующие кон­ цам стержня) начало локальной декартовой системы коорди­ нат у>\,у2,у2, направив ось у3 вдоль касательной к Г. Перей­ дем в интегральных представлениях (2.1.22) к безразмерным

переменным = a 1(z)yi (/ = 1,2,3) и устремим параметр 8Х, а следовательно и радиус стержня a(z), к нулю. При этом об­

ласть V в координатах переходит в область V0 внутри кру­ гового цилиндра единичного радиуса с образующей, парал­ лельной £3, а уравнения (2.1.22) в области V0примут вид