книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

72

где b°a и blpX- неизвестные постоянные тензоры. Подстановка

этого выражения в (2.5.13.) дает

тензор А2 определяется выражением (см. Приложение П2.2)

, (2.5.27)

^1 Если среда изотропна, а включение имеет форму шара, то

А2- изотропный шестивалентный тензор. Для его представле­ ния удобно ввести следующий базис из шестивалентных тен­ зоров, составленных из символов Кронекера

QaXpfipz ~~ ^^а{Х^р)(р^т)Р> QaXpppv= 4др(хдр)(р8г)а ■

В этом базисе имеем

( Q 4 Q 3) + T AT (Q2+Q4 +Q5+Q6)- (2.5.29) 14С0

мощью приведенных в Приложении П1.2 формул обращения шестивалентных тензоров, заданных в базисе (2.5.28), получим

где тензор /1°^ определен в (2.5.10). Заметим, что интеграл

(2.5.32) имеет слабую особенность и может быть вычислен непосредственно. Для изотропной среды и сферического включения радиуса а имеем

(2.5.33) Подставляя сюда выражение (2.5.30), получаем окончатель­

но

74

Если источники поля отсутствуют, то b°XXflxfl= 0, откуда

следует, что b°UfJ = 0 . В этом случае формула (2.5.34) для век­

тора Ъ°а принимает вид

(2.5.35)

§ 2.6. Трещина в однородной упругой среде

Рассмотрим однородную среду, в которой имеется сплюс­ нутая полость, занимающая конечную односвязную область V с гладкой границей. Интегральные уравнения для среды с по­ лостью имеют вид (2.1.24) и (2.1.26):

(2.6.2)

Здесь под £+(х)= е(х) V(x) понимается предельное значе­

ние деформаций во включении, занимающем область V и имеющем конечные модули упругости при стремлении пос­ ледних к нулю, (2.6.2) следует понимать как выражение для

напряжений вне полости через поле £+(х).

Рассмотрим предельный переход от сплюснутой полости к трещине - разрезу по расположенной внутри Vгладкой повер­ хности Q . Выберем в точкех e Q локальную систему коорди­ нат с осью z , направленной вдоль нормали п(х) к поверхнос­ ти Q . Пусть И(х) - поперечный размер полости, zx(x,h),

z2(x,h) - координаты пересечения оси z с границей области

V, причем zx,z2—>0 при h —>0. Для фиксированной точки

х € V ядро S(x) в уравнении (2.6.2) - гладкая ограниченная функция. Следовательно, главный член асимптотики поля на­ пряжений вдали от полости имеет вид:

75

Величина ~ё(х,И)может быть интерпретирована как коэф­ фициент при главном члене разложения функции е+(х) в ряд по мультиполям, сосредоточенным на поверхности Q (§ 1.4):

Здесь П(х) - дельта-функция, сосредоточенная на по­ верхности Q и определенная соотношением (1.1.22).

Пусть поперечный размер полости И стремится к нулю. При этом полость переходит в бесконечно тонкий разрез (трещину). На поверхности трещины вектора напряжений

па(х)&ар(х) и перемещений иа(х) удовлетворяют условиям

па{х)(тар(х) = 0, К(х)] = 6а(х), х е П, (2.6.6)

где Ь(х)- вектор скачка перемещений или раскрытия трещи­ ны, который должен быть найден из решения задачи о тре­ щине. В дальнейшем будем предполагать, что берега трещины не контактируют. Это условие накладывает некоторые огра­

ничения на внешнее поле <т (х) .

Поскольку поле перемещений разрывно на Q , то тензор деформаций в среде с трещиной есть сумма регулярной d и

сингулярной ё1составляющих:

£(х) = ег(х) + £*(х), esap(x) = n(a(x)bp)(x)П(х). (2.6.7)

£а/3(дг) = Нш?;/,(х,/;) = /?(а(х )^ (х ), х е О . (2.6.8)

76

Отсюда и из (2.6.4) видно, что при И—>0 "нормальная" компонента тензора е+(х) должна стремиться к бесконечнос­

ти, тогда как функция s(x) конечна.

Таким образом, поле напряжений вне трещины при учете соотношений (2.6.3), (2.6.8) и симметрии тензора S(x) имеет вид

° 4 (x) = o fafi(x ) + jS & e (x - x ,)nx(x')bM(x')dn'. (2.6.9) Q

Отсюда и из первого условия (2.6.6) следует уравнение для векторного поля Ь(х) на Q:

(Tapbp){x) = J 7^(х,х')6Д х'>Ю ' = nfi(x)cfafi(x), (2.6.10)

лишь условно, поскольку соответствующий интеграл фор­ мально расходится при х для сколь угодно гладкой

функции 6(х) (7’(х,х')~|х-х'| 3 при X—»х').

Нетрудно видеть, что представление (2.6.9) совпадает с полем напряжений в упругой среде, содержащей дислокацию Сомильяны (1.2.34), а уравнение (2.6.10) эквивалентно урав­ нению (1.2.36), к которому приводит дислокационная модель

трещины (§ 1.2).

Рассмотрим подробнее обобщенную функцию Т(х,х') - ядро интеграла (2.6.10). Пусть для простоты Q есть область на

плоскости х3 = 0 в трехмерном пространстве, а функция Ь(х),

х = х(х,,х2) продолжается нулем вне этой области. Тогда Т

есть оператор свертки с обобщенной функцией Т(х), которая порождается обобщенной функцией вида (1.2.9). Из (2.6.11) имеем

Tafiixi,x2) = *2,х3)1*=о • (2.6.12)

78

однородной функцией степени 1. Общая теория разрешимос­ ти уравнений типа (2.6.10) изложена в [148]. В частности, для бесконечно дифференцируемой правой части в (2.6.10) это уравнение имеет единственное решение, причем его асимп­ тотика вблизи гладкой границы поверхности Q (контура Г) имеет вид

/?(хо) - бесконечно дифференцируемая вдоль Г функция.

Рассмотрим асимптотику поля напряжений о(х) вне тре­

по касательной к Г, тогда ось _у, лежит в касательной к Q

плоскости в точке хо. Учитывая асимптотику (2,6.16), имеем следующее выражение для асимптотики вектора скачка пере­

мещений на трещине в окрестности точки хо е Г

(2.6.18) Здесь учтено, что S(x)- четная однородная функция сте­

пени (-3). Интегральный множитель при г~ш в этом выра­ жении при г —>0 имеет конечное значение

двух сомножителей, первый из которых S(ff)n(xa) не зависит от формы поверхности Q и действующего в среде внешнего поля и определяется только локальной ориентацией края Q в точке хо е Г . Второй сомножитель (вектор /?(хо)) есть функ­ ционал всей поверхности Q и внешнего поля <т (х ).

и поэтому J(6,xo) можно назвать тензорным коэффициентом интенсивности напряжений.

Функция J(0,xo) допускает наглядную интерпретацию, ес­ ли учесть, что интеграл

оо

(2.6.23)

-00

по существу есть аналог тензора S(x) в плоской задаче о де­ формации и сложном сдвиге (в безразмерных координатах <£) однородной среды с модулями упругости С°, причем нормаль к плоскости деформирования (£,,£3) направлена вдоль оси

. При этом тензор J(9,хо) совпадает с тензором напряже-

тензоров, соответствующих трем компонентам вектора Р(хо) в

осях УХ,У2,УЪ(не суммировать по / !)

J = J '+ J 2+J\ Jiafi(e,xo) = safaj(e)nx(xo)/3i(xo). (2.6.25)

Заметим, что в теории упругости и в механике разрушения асимптотику поля напряжений в окрестности кромки трещи­

ны характеризуют коэффициентами напряжений К ^К ^К щ

Отсюда и из (2.6.25) следует, что с точностью до множи­ телей, зависящих от упругих модулей среды, коэффициенты интенсивности напряжений совпадают с компонентами век­

тора /?0О -

§ 2.7. Эллиптическая трещина

Пусть Q - плоский, эллиптический в плане разрез в уп­ ругой среде. В этом случае справедлив следующий аналог теоремы о полиномиальной консервативности.

Если внепшее поле а (х) является полиномом степени т, то вектор Ь(х) скачка перемещений на эллиптической тре­ щине имеет вид