книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf
|
201 |
(L. <u>)(x) = q(x), |
(5.1.3) |
минуя решение уравнения (5.1.1) с последующим осреднени ем (5.1.2). называют эффективным оператором микронеоднородной среды. Этот оператор в случае статистически одно родного композита описывает поле в некоторой однородной среде, эквивалентной исходному композитному материалу. Задача гомогенизации и состоит по существу в построении
оператора Нередко в механике под осреднением понимается проце
дура вычисления интегрального среднего по некоторому ха рактерному объему VQнеоднородного материала. Следуя ра
боте [184], определим объем VQкак содержащий достаточно большое количество включений, чтобы его можно было счи тать макроскопически однородным, т.е. линейные размеры этого объема должны быть существенно больше размеров включений и расстояний между ними. Тогда среднее < и{х) >
от случайной функции г/(х), описывающее какое-либо физи ческое поле в композите, определяется на основе типичной фиксированной реализации этой функции по формуле
(5.1.4)
Известно [125], пространственное осреднение (5.1.4) сов падает с осреднением по ансамблю реализаций, если функция
и(х) является эргодической, а ее радиус корреляции сущест
венно меньше линейных размеров характерного объема Vo. Строго говоря, эргодичность полей напряжений и деформа ций в статистически однородном материале имеет место толь ко в случае однородного внешнего поля. В случае перемен ных полей, например, при рассмотрении процессов распро странения волн в неоднородной среде, корректно можно го ворить лишь об осреднении по ансамблю реализаций. Дело в том, что при осреднении (5.1.4) результат, вообще говоря, за висит от размеров характерного объема, в определении кото рого имеется очевидный произвол. Эта зависимость будет тем
202
сильнее, чем более существенно меняется внешнее поле в пределах характерного объема.
Вопрос о связи средних по ансамблю реализаций случай ных физических полей в неоднородной среде с пространст венными средними обсуждался в работах многих авторов (см., например, [94]). Показано, в частности, что системы, описы ваемые уравнением Шредингера, обладают свойством самоусреднения. Последнее означает, что для макроскопических объемов пространственные средние экстенсивных величин типа энергии совпадают со средними по ансамблю реализа ций соответствующих случайных функций. Необходимыми ус ловиями самоусреднения является пространственная одно родность системы и достаточно быстрое ослабление корреля ционных связей между значениями физических параметров среды в различных точках при увеличении расстояния между нии. По-видимому, аналогичное свойство имеет место и для поей в статистически однородном материале.
§5.2. Интегральные уравнения для упругих полей
всреде с множеством изолированных неоднородностей
Вдальнейшем основным объектом нашею исследования будет являться однородная упругая среда с тензором модулей
С°, содержащая множество включений, которые занимают систему изолированных областей Vk с характеристическими функциями Vk(x), к = 1,2,... . Тензор модулей упругости сре ды с включениями С(х) можно представить в форме
С(х) = С° + C'(x)V(x), F(x) = £ F t(x), <5-2.1)
к
где функция С 1(х) при х е Vk описывает возмущение модулей упругости внутри к-го включения. В частности, если тензор модулей упругости постоянный в каждой из областей Vk, то
C(x) = C -+-ZCiK(x), |
(5.2.2) |
к
203
где С° +С\ - тензор модулей упругости к-то включения.
Если поля деформаций е+(х) и напряжений <т+ (х) внутри включений известны,
е+(х)= s(x)F(x), <J+(X) = <T(X)V(X), |
(5.2.3) |
то тензор е(х) и о(х) в любой точке среды представляется в форме (2.1.22):
ф :) = ^ ( x J - J ^ x - x O C 'C x O ^ M ^ ', |
(5.2.4) |
о(х)= а (х)+ | 5 ’( х - х ') 5 1(х')<т+(х')сйг'. |
(5.2.5) |
Здесь £(х), <т(х)-приложенные к среде внешние поля (<r=CV), которые далее будем считать ограниченными нефинитными функциями осциллирующего типа. Если включения однород
но распределены в среде, то £+(х) и <т+ (х) - функции того же
класса, что и £°(х) , а (х). Интегралы, выражающие действие операторов К и S на таких функциях, формально расходятся
при х = 0 и |х| —^ оо.
Рассмотрим задачу регуляризации этих интегралов и будем считать, что с точностью до квадратично интегрируемого слагаемого функции
ш{х) = В' (x)o(x)V(x), q(x) = С ( x)e(x)V(x) (5.2.6)
представимы в виде рядов экспонент с несоизмеримыми, во обще говоря, волновыми векторами к1:
m(x)=m° +y'm Jехр[/£; -х], |
д{х)=д°+У'д1ехр[/£; -х]. |
j |
J |
|
(5.2.7) |
Здесь т°, д° - постоянные составляющие функций т(х) и
д(х), коэффициенты тп} и д1 таковы, что ряды в этих соотно шениях сходятся, быть может, в обобщенном смысле.
204
Используя свойство свертки, можно показать, что дейст вие операторов К и S на функцию ехр[/ к’ -х\ сводится к умножению ее на постоянные множители К *(£у) и S*(kJ):
J К (х - = К \kJ)e*Jx, (5.2.8)
jS (x-x')eikJx'dx' = S\kj)eikJx.
Поскольку функции К*(£) и S*(k) вида (1.1.35), (1.2.11)
являются однородными функциями нулевой степени по к, то они однозначно определены и равномерно ограничены для
всех к1 {к1Ф0). Таким образом, при действии операторов К и .S' на ряды (5.2.7) последние перейдут в аналогичные ряды с
коэффициентами К * (k})qJ, S*(kJ)mJ, которые будут сходить ся, если сходятся исходные ряды.
Действие операторов К и б1на функцию <р(х) из класса
Ь2(ЯЪ) можно определить соотношениями
(К«>)(*) = 7^5-1К \ к ) р \ к ) е - * * Л ,
(2 я) |
|
(З Д (х ) = - i - Г?(к)<1> \ к у * х<Л, |
(5.2.9) |
(2 Щ |
|
где интегралы являются абсолютно сходящимися.
Остается определить действие операторов К и S на посто
янные q° и т° в (5.2.7). Рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть ’’неоднородность" имеет постоянные модули уп
ругости С°+С1 и занимает все пространство. При этом среда
остается однородной с модулями С=С°+С\ Будем считать, что
приложенное к среде внешнее поле напряжений а - постоян ный фиксированный тензор. Поля деформаций и напряжений в среде при этом также постоянны и имеют, очевидно, вид
205
s=(C° + C 1) 'a , a - cf. |
(5.2.10) |
Нетрудно убедиться, что решение уравнений (5.2.4), (5.2.5) в рассматриваемом случае совпадает с (5.2.10), если справед
ливы равенства |
|
J K ( X - X ') ^ ' = (C 0) ',J | $ (х - х ')А ' = 0. |
(5.2.11) |
Пусть теперь в задаче фиксируется постоянное внешнее
поле деформаций е . Тогда напряжения и деформации в сре де принимают вид
е = е , |
(т={С°+Сх)е . |
(5.2.12) |
Решения (5.2.4), (5.2.5) совпадают в данном случае с |
||
(5.2.12), если |
действие операторов К |
и S на постоянных оп |
ределить соотношениями |
|
|
J K ( X - |
X ')C& '= 0, |
= -С° . (5.2.13) |
В дальнейшем условие о том, какое из внешних полей (напряжений или деформаций) считается фиксированным, в задаче будет оговариваться дополнительно.
Заметим, что соотношения (5.2.11), (5.2.13) были получены в §1.2 с помощью других соображений (ср.формулы (1.2.14) - (1.2.17)).
§ 5.3. Тензор эффективных упругих модулей композита
Используя функцию q(x), определенную в (5.2.6), пере пишем соотношения (5.2.4), (5.2.5) в форме
е(х) = е° - |
J К (х - x')q(x')dx' , |
(5.3.1) |
<т(х) = а |
- J S(x - х')В°q{x')cbc' , |
(5.3.2) |
и будем считать внешние поля напряжений сг и деформаций
£° постоянными.
Пусть множество включений однородно распределено в пространстве. Задача осреднения, которая в основном и будет рассматриваться в данной главе, состоит в определении сред
206
них по ансамблю реализаций случайного множества включе ний значений тензоров напряжений и деформаций в произ вольной точке х среды. Связь ансамблевых средних со сред ними по характерному объему композитной среды обсужда лась в §5.1.
Исходя из (5.3.1), (5.3.2), выражения для указанных сред них представляются в виде
(е(х)) = £°~\К (х - x')(q(x’))dx', |
(5.3.3) |
(а(х)) = & -\ s{x -x ')B \ q {x ’))dx’ , |
(5.3.4) |
где учтено, что К (Х ) и S(x) - детерминированные функции. Для пространственно однородного множества включений е(х), а следовательно и q(x),- однородные случайные функ ции, обладающие свойством эргодичности. Поэтому среднее <q(x)> в (5.3.3), (5.3.4) - постоянный тензор, значение кото рого можно найти на основе типичной фиксированной реали зации случайной функции q (X):
(?) = J j m J ? ( * )< fc . |
(5.3.5) |
Здесь W- область в Л3, в пределе занимающая все прост ранство. Подставляя сюда выражение для q(x) из (5.2.6) и учитывая, что в силу линейности задачи функция £(х) пред
ставляется в форме |
|
е{х) = Л(х)£° , |
(5.3.6) |
где А ( Х ) - некоторая четырехвалентная тензорная функция, получим
{q) = pPs\ Р = (Р,), ^ = <»)■'J C (x )A (x )& . (5.3.7)
V
Здесь р - объемная концентрация включений, интеграл Pv
берется по объему V каждого включения, средние <PV> и < v > вычисляются по ансамблевым распределениям случай ных тензоров Pv и объемов v включений в композите.
207
Будем считать, что в задаче фиксируется средняя деформа ция неоднородной среды <£>, которая не зависит от свойств и объемной концентрации включений и совпадает с прило
женным к среде внешним полем £°. Заметим, что для тела конечных размеров фиксация средней деформации означает задание смещений на границе Q этого поля. Если заданное
на Q поле смещений и°(х) имеет вид м° (х) = £архр, где £ар - постоянный симметричный тензор, то среднее значение поля
деформаций в неоднородной среде равно £ . Это следует из определения среднего по объему и теоремы Гаусса
|
ди„ |
dut |
— f |
|
Р |
|
дха dX=~ ^ \ ( * Х + MX V n = £°ар ■ |
|
2V J дхр |
||
|
|
(5.3.8) |
Указанное свойство остается в силе и для области V , за нимающей все пространство.
При фиксированной средней деформации действие опера торов К и S в (5.3.3) и (5.3.4) на постоянные определяется со отношениями (5.2.13). Из этих соотношений с учетом (5.3.7) следуют выражения для средних <£> и <<т> в форме
(е) = £°, (о) = C *(f), |
(5.3.9) |
С = С ° + р Р , |
(5.3.10) |
где тензор С* связывает между собой |
средние по ансамблю |
реализаций множества включений напряжения и деформации в неоднородной среде и называется тензором эффективных модулей упругости композита.
Таким образом, решение задачи осреднения эквивалентно вычислению тензора эффективных модулей упругости микронеоднородной среды и сводится к построению тензора Р (5.3.7). Основная трудность при этом связана с решением за дачи о взаимодействии множества включений в композит ном материале - определении тензора А(х) в (5.3.6). Далее
для определения тензора Р будут использованы методы са мосогласования.
208
§ 5.4. Методы эффективной среды
Методы самосогласования являются одним из наиболее мощных средств решения задач о взаимодействии многих час тиц. В квантовой теории атома (приближение Хартри-Фока) при описании фазовых переходов (метод Вейса, теория Лан дау) методы самосогласования дают возможность получить приближенное решение, достаточно хорошо аппроксимирую щее точное в целом ряде йажных случаев. Известен общий рецепт, когда применение этих методов оказывается эффек тивным: поле, в котором находится каждая частица, должно слабо зависеть от конкретной конфигурации частиц (или включений) и определяется в основном совокупным полем всех взаимодействующих частиц. Существует несколько моди фикаций метода самосогласования. В данной главе рассматри ваются лишь простейшие из этих схем, основанные на реше нии задачи об одиночном включении в однородной упругой среде (одночастичная аппроксимация).
Одна из первых самосогласованных схем, применявшихся для решения задачи осреднения в механике неоднородной среды, была основана на следующей гипотезе. Предполага лось, что каждое включение в композите ведет себя как изо лированное, помещенное в однородную среду, свойства кото рой совпадают с эффективными свойствами всего композита. Внешнее поле, действующее на каждое включение, принима лось совпадающим с приложенным к неоднородной среде
внешним полем е . Самосогласованные схемы, в которых при решении задачи осреднения композитный материал вне ок рестности каждого включения заменяется средой с эффек тивными свойствами, будем называть далее методами эффек тивной среды.
Используя данную гипотезу, можно из решения задачи для изолированного включения в однородной упругой среде
(одночастичной задачи) найти зависимость тензора Ру в (5.3.7)
от параметров а . ,/ = 1,2,..., характеризующих форму включе ния, модулей упругости последнего и тензора эффективных
модулей упругости композита С*.
Р„ = Р.(С,С,{а}), |
(5.4.1) |
209
где {a)-{ava2,...)- совокупность параметров формы. Осредняя
затем Pv по ансамблевым распределениям параметров формы
и тензора С и подставляя результат в (5.3.10), получим урав
нение для определения неизвестных компонент тензора С*
C = C + P ( PX C ,C ,W )). |
(5.4.2) |
Пусть однородные и изотропные включения сферической
формы равномерно распределены в изотропной матрице, Ло,
д - коэффициенты Ламе матрицы, Л,/л - те же величины для включения. Используя решение задачи для однородного сфе рического включения в среде с эффективными коэффициен
тами Ламе X,/л всего композита (2.4.19), получим следующее
выражение для тензора Pv:
Pv = ( С - С ° ) [ / + 44*(С -С *)]'' |
(5.4.3) |
Здесь тензор А* определен формулой (2.4.15), где парамет
ры Ло и д следует заменить на Л,/л. Отсюда и из (5.4.2) полу чим следующую систему алгебраических уравнений для опре
деления объемного к' - |
Л, + 2 д /3 |
и сдвигового |
д эффек |
тивных модулей композита |
|
|
|
к, = к, + р(к - ко) |
3{к -К ) |
(5.4.4) |
|
1+ — --------------- |
|||
|
3к, +4 |
д |
|
|
|
-1 |
|
|
t ( 3 ( // - д ) ( * . + 2 д ) |
|
|
м * = я + р (м - я )
5д(8 £ , + 4 д )
Эти уравнения были получены в работах [156, 185]. Анало гичные уравнения для среды со случайным множеством тре щин найдены в [157].
Недостатки описанной схемы самосогласования отмеча лись в ряде работ (см.например [78]). В частности, эффектив-
210
ные модули упругости среды с относительно жесткими сфе
рическими включениями (C°C~'=0(S), 5 «1 ) или порами
(С=0), рассчитанные из уравнений (5.4.4), существенно отли чаются от экспериментально измеренных при объемной кон центрации включений (пор) р, превышающей 0.3.
Лучшее соответствие с экспериментальными данными уда ется получить, используя модификацию метода эффективной среды, предложенную в [190] и использованную затем в [162, 219, 232]. В этих работах при решении одночастичной задачи, из которой определялось поле внутри типичного включения, между эффективной средой и включением вводился слой из материала матрицы (трехслойная модель). Рассмотрим этот вариант метода эффективной среды подробнее на примере композита, армированного сферическими слоистыми вклю чениями.
Пусть каждое включение в композите состоит из N-1 сфе рических слоев с различными упругими свойствами. Будем считать для простоты, что все включения одинаковые, а мате риал матрицы и каждого из слоев однородный и изотропный. Выберем произвольное включение и поместим в его центр на
чало сферической системы координат г, п (г=|х|, п=х/\х\).
Пусть границам слоев соответствуют значения радиуса г = ап
i = l,2,...,iV —1; ао= 0 <а, <0^ <...<aN_v Поле деформаций внутри каждого включения найдем из решения следующей за дачи. Поместим включение в среду с эффективными свойст вами всего композита С*, а на границе между средой и вклю чением введем еще один, N-й слой из материала матрицы С°.
Следуя [190], внешний радиус N -то слоя aN выберем из усло вия
К - , Ю 3 =/>, |
(5.4.5) |
где р - объемная концентрация включений. Область внутри шара радиуса aN, состоящую из включения и указанного слоя
матрицы, назовем ячейкой Кернера Vk. Внешнее поле дефор мации будем считать совпадающим с приложенным к среде
внешним полем е° .