книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf31
В силу свойства (1.2.12) тензора S(x) это поле удовлетво ряет уравнению равновесия diva= -q во всех точках среды, в
том числе и на поверхности Q. Используя теперь граничные условия на поверхности трещины, можно получить уравнение
для вектора 6(х). Если берега трещины свободны от напря
жений, то эти условия принимают вид |
|
па(х)<Уа0(х) = ® при JteQ. |
(1.2.35) |
Отсюда и из (1.2.34) получим уравнение |
|
\Tap{x,x')bp{x')dQ.' = пр(х)ора(х), х еП , (1.2.36) |
|
О |
|
Тар{х,х') = -nx(x)SXafiM(x-x')nM(x'). |
(1.2.37) |
Подробнее это уравнение будет рассмотрено в гл.Н (п.2.6). Заметим в заключение, что для сведения задачи о трещине к интегральному уравнению обычно используется представле
ние вектора перемещений в форме потенциала двойного слоя статической теории упругости, определенного соотношением (1.1.26) [119]. При таком подходе поле перемещений в среде с трещиной представляется следующим образом:
“ а(*) = M« ( * ) - J V xGaf}(x - x')C°XpMjiM(x')bx (x')dQ',
Q
(1.2.38)
где u(x) - вектор перемещений в среде без трещины при той же внешней нагрузке. В силу известных свойств потенциала двойного слоя вектор и{х) разрывен на Q, а величина скачка
равна плотности потенциала Ъ(х). Соответствующий полю пе ремещений (1.2.38) тензор напряжений имеет вид
<*„(*) = < » (*) - Ои„J'V,v ,G J.x - х’)С-,Л (х')4г(1')Л1'.
Q
(1.2.39) Сравнивая это выражение с выражением (1.2.34), можно
убедиться в том, что их левые части отличаются на сингуляр
32
ное слагаемое С ° n; (x)bfi(x)Q.(x), сосредоточенное на по
верхности Q . Вне Q тензоры напряжений, определенные в (1.2.34) и (1.2.39), совпадают.
Указанное различие обусловлено тем, что при выборе ре шения в форме потенциала двойного слоя (1.2.38) трещина моделируется не дислокационными особенностями, а сило выми - распределением моментов диполей с плотностью
QxM(x) = ~С°а0лмплЬц(х) на flПри этом поле напряжений в среде содержит сингулярную компоненту, пропорциональную О (х), и не удовлетворяет исходному уравнению равновесия (divcr=-<7). Из (1.2.39) следует равенство
= ~qa- q * , qsA x) = V/l[C;(^w/,(x )^ (x )Q (x )], (1.2.40)
где q*(x) - обобщенная функция, сосредоточенная на поверх
ности Q . Поскольку в действительности дополнительные мас совые силы на поверхности трещины отсутствуют, то "дисло кационная" модель трещины более корректна, чем "силовая". Как уже отмечалось, поле напряжений (1.2.37), соответствую щее дислокационной модели, удовлетворяет уравнению рав новесия во всем пространстве, в том числе и на П , а соответ
ствующий вектор усилий ta(x) = nfiafia(x) будет непрерывной ограниченной функцией всюду, за исключением, быть может, контура Г - границы поверхности П. Поскольку предельные при х —>Q значения тензоров напряжений (1.2.39) и (1.2.34) совпадают, то уравнение для вектора Ъ{х) в (1.2.38), которое следует из граничных условий (1.2.35), по существу, ничем не отличается от (1.2.36).
§ 1.3. Разрывы упругих полей в однородной среде с источниками внешних и внутренних напряжений
Пусть внутри области V , ограниченной замкнутой поверх ностью Ляпунова, распределены источники упругих полей,
33
плотность которых внутри Vявляется бесконечно дифферен цируемой функцией координат. Начнем с рассмотрения рас
пределения в области Vмассовых сил плотности qa (х) . В
этом случае поля упругих перемещений и деформаций пред ставляются в виде интегралов со слабой (интегрируемой) осо бенностью
К (х) = \Gap(<x -x ')q fiix')dx', |
е^(х) = J V (aG ^ ( x ) ^ ( x ') ^ ', |
V |
V |
(1.3.1) и поэтому непрерывны во всем пространстве [107].
Если же в области V задано распределение обобщенных
силовых диполей плотности qap(x), то поля упругих переме
щений и деформаций представляются интегралами (1.1.19) и (1.1.30)
weO )= j Vfi^ x -x^ q ^ x^ d x', еар(х)=-\K ^ x -x ^ q ^ x ^ d x '.
V V
(1.3.2) Здесь функция и(х) непрерывна на границе области Vкак
интеграл со слабой особенностью, а функция s(x) непрерыв на вне и внутри V, но на границе О этой области она терпит разрыв. Для того, чтобы найти величину разрыва, представим второй интеграл (1.3.2) в виде
£(х) = - J К (х - x')[q(x') - q(x)\dx' - J К (х - x')dx'q(x).
V V
(1.3.3) Функцию q(x) вне области V определим с помощью про
извольного гладкого продолжения. Для гладкой и ограничен ной внутри [^функции q(x) первое слагаемое в правой части (1.3.3) представляет собой интеграл со слабой особенностью и, следовательно, является непрерывным на £2. Рассмотрим предел второго интеграла в (1.3.3) при стремлении точки X к
хо G Q снаружи и изнутри области V .
34
Введем ортогональную декартову систему координат
У\>Уг>Уъ с началом в точке х0 и осью уг, направленной вдоль
внешней нормали п(х0) к Q . Рассмотрим сначала предел ин теграла
J(y) = fK (y -y ')d y ’ |
(1.3.4) |
v |
|
при у —>0, если у~ё V. Зафиксируем точку y = yo~&V и вве
дем |
безразмерные переменные = У, / |у0|, (/ = 1,2,3). Пос |
|
кольку К (у) - однородная функция степени (-3), имеем |
||
|
J(y) = У(ф„|) = | к ( £ - ? ) ¥ ( ? № , |
(1.3.5) |
где V(^) - характеристическая функция области V в перемен |
||
ных |
Положим в интеграле у = у0 и устремим у0 к нулю. |
|
При |
этом 4о= Уо^г\ " единичный вектор, |
определяющий |
направление, по которому точка у0 стремится в начало коор динат. В пределе при у0—>0 область V в координатах <£.
переходит |
в |
полупространство |
< 0, т.е. |
—> |
1 - Я ( £ ) , |
где |
Я (£ 3) функция |
Хевисайда. |
Отсюда следует |
равенство |
|
|
|
|
ИшЛУо) = |К(^0 - |
= |
(1.3.6) |
||
Уо^° |
|
J |
|
|
= (2 муъJ К '( * ) я ;(*) ехр(-;* l,)dk,
С учетом выражения (1.2.24) для Н*(к) получим
Н т у (Л )4 [К '(0 )-К * («)]= У * (0 ), ya-W . (1.3.7) Л->°
Аналогично найдем предел J(y0) при у0 —> 0, Уо ^ у
35
lim УСи0)=4[К*(0)+К*(и)]=У-(0) , y 0& . (1.3.8)
Таким образом, скачок интеграла Д у) при переходе через
границу области V имеет вид |
|
[ДО)] = J+(0)-J -(0) = -К * (и). |
(1.3.9) |
Отсюда и из (1.3.3) следует равенство, которое определяет скачок потенциала е(х) вида (1.3.2) при переходе через грани цу области V
№ о )] = е+(хо ) ~ е ( х 0) = К* (и0 Ж х 0), |
(1.3.10) |
где п0 = п(х0)- внешняя нормаль к Q в точке х0 eQ . Рассмотрим теперь среду с распределенными внутри об
ласти V дислокационными моментами плотности т(х). Тен зор внутренних напряжений в среде определяется выражени ем (1.2.4). Если тп(х) - гладкая ограниченная функция, то
тензор о{х) можно представить в виде суммы
о (х ) = J.SX x-30[w( * ') - m (*)]*&' + j5 ’(x -x')f& '/w (JC)>
V |
V |
|
(1.3.11) |
где первое слагаемое - это интеграл со слабой особенностью, непрерывный при переходе через границу О области V . Тем же путем, что и выше, можно показать, что второе слагаемое в правой части (1.3.11) разрывно при переходе через О , а ве личина скачка тензора а(х) определяется соотношением
[<К*о)] = cr+ (х0) - а ( х 0) = -S\n0)m(x0), (1.3.12)
где сг+ (х0) - предельное значение о(х) при х —> х0 со сторо ны внешней нормали п0= «(х 0) к поверхности Q в точке х0,
сГ (х0) - тот же предел при стремлении X к х0 с противопо
ложной стороны. Функция S*(k) определена соотношением (1.2.11).
Перейдем к рассмотрению упругой среды с источниками внешних напряжений, сосредоточенными на ориентирован
36
ной поверхности Ляпунова Q . Начнем с потенциала простого слоя, определенного соотношением (1.2.4),
(1.3.13)
а
где Qp(x) - гладкая, ограниченная на Q функция. Известно [85], что эта функция непрерывна во всем пространстве, а при х e Q правая часть (1.3.13) представляет собой интеграл со слабой особенностью.
Поле деформаций е(х), соответствующее полю переме щений (1.3.13), имеет вид
(1.3.14)
и является разрывным при переходе через поверхность Q. Для исследования этого разрыва воспользуемся представле
нием потенциала е(х) в виде суммы двух слагаемых
f(x)=J defG (X- X ')[0 ( * ') - 6 ( * ) № |
+ J defG (x-x')dn'Q (x) |
Q |
Q |
(1.3.15)
и рассмотрим их пределы при х —>Q . Вне Q функцию Q(x) определим с помощью произвольного гладкого продолжения. Первое слагаемое в (1.3.15) является непрерывным при пере ходе через Q как интеграл со слабой особенностью для любой
гладкой функции Q(x). Предельное (при х —> Q ) значение второго интеграла
|
а |
(1.3.16) |
|
|
|
представим в форме |
|
|
lim^J1(x)= JdefG (x-x')diQ ' + |
Jd efG (x -x')d Q '. |
|
JC-VJC0€Q |
О\Ол(*0) |
&s(xo) |
|
|
(1.3.17) |
37
Здесь О Дх0) - часть поверхности Q, вырезанная из нее сферой радиуса 8 с центром в точке х0 еП . Введем локаль
ную систему координат ух,У2,Уз с началом в |
точке х0 е О |
и |
осью уъ, направленной по нормали п(х0) к |
П в точке |
х0. |
В этих координатах второй интеграл в правой части (1.3.17) принимает вид
(1.3.18)
В дальнейшем параметр 8 будет устремлен к нулю. Поэто му ОДО) можно считать плоской круговой поверхностью, за
данной соотношением ОДО) = (у,2+у\ < 82 ,уг = 0}. Введем обозначение
(1.3.19)
п*(0)
Так как defG(_y) - однородная функция степени (-2), то значение этого интеграла не зависит от радиуса 8 плоской области интегрирования ОДО). Это позволяет записать
J° О) = l|m J defG(y - y ’)dQ’ = JdefG(y -y')8(y;)d y ',
Oi(O)
(1.3.20)
где учтено, что поверхность ПДО) в пределе при 8 —> <х> пе
реходит в плоскость у3 = 0; последний интеграл вычисляется по всему пространству. Используя свойство свертки, найдем
J °a0x (у) = ^ Jk(aGM (*)% ki)X k2) exp(-/> •k)dk
= T ^ («< ^ (0 ,0 ,1 ) sign _y3. |
(1.3.21) |
2 иХсУр)Х |
|
38
В инвариантной записи это соотношение имеет вид
^ ( У ) = i V ^ ( « ) s i g n ( n - j,) , |
(1.3.22) |
где п - нормаль к Q в точке х0.
Устремим теперь д к нулю в (1.3.17) и, учитывая формулы (1.3.20)-(1.3.22), получим, что предельное значение интеграла
при стремлении точки X в точку х0 ( У,+со стороны внешней
нормали, У,” - с противоположной стороны) определяется соотношением
^ (* о ) = | def G(xo-x')dQ .'±\M n0), |
(1.3.23) |
Q |
|
Лсфх(«о ) = «о(а°т (ио )> ”о= п(хо) • |
(1.3.24) |
Здесь интеграл в смысле главного значения по Коши су
ществует в силу нечетности функции defG(x) .
Отсюда и из (1.3.15) следует, что предельные значения потенциала (1.3.14) имеют вид
£ * Ы = $fefG(Xo-x')Q(x')da.'±±A(no)Q(Xo). Q
(1.3.25) Таким образом, скачок этого потенциала при переходе
через поверхность Q определяется выражением
[еа,(х 0)] = Л (п0 )Q-i(х0). |
(1.3.26) |
В заключение рассмотрим потенциал двойного слоя ста тической теории упругости, о котором упоминалось выше (соотношения (1.1.26), (1.1.27)):
« „(* ) = -JVxGap(x - x')c l0fijJM(x')bv(x')dQ.'. (1.3.27)
О
Очевидно, что ядро, а следовательно, и свойства этого по тенциала аналогичны свойствам потенциала (1.3.14). Отсюда и из (1.3.25) следует, что предельные значения этого потенциала на поверхности Q определяются соотношениями
39
" а Ы ~ - J VAGa/ x 0-x')C °X/J/2M(x,)bl,(x,)dn' ± jb a(x0).
Q
(1.3.28)
При этом учтено равенство
(1.3.29)
которое следует из определения G\k) (1.1.35).
Формулы (1.3.25) и (1.3.28) обобщают известные для изо лированной среды свойства потенциалов (1.3.14) и (1.3.27) на случай однородной среды произвольной анизотропии. В част ности, как следует из (1.3.28), разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность Q равен плотности по
тенциала Ь(х0) в точке перехода.
§ 1.4. Упругие поля вдали от источников напряжений
Рассмотрим ограниченную область V в однородной упру гой среде, внутри которой приложены массовые силы плот
ности д(х). Если q(x) интегрируемая функция, то поле сме
щений и(х) в среде представляется интегралом (1.1.5), кото рый абсолютно сходится, если точка X находится вне области
V . При х "е V поле и(х) является бесконечно дифференци руемой функцией координат.
Разложим функцию Грина G (x -x ') в ряд Тейлора в ок рестности точки х —х0 (х0 е V , х "е V)
X
(1.4.1)
Подставляя это разложение в правую часть (1.1.5), найдем
40
» „ (* > = Z ^ , v v - |
A, (* .). a-4-2) |
k=0 |
|
С&Л-л* (*o ) = ^к\~ jv(*"*<> Хц (*'"*<> )я2X.. .x(x'-x0)Я1q0(x')dx'.
(1.4.3)
Тот же результат можно получить, если функцию q(x) в (1.1.5) представить в виде следующего ряда
qp(x) = |
(1-4-4) |
т=0 |
|
Заметим, что первый член этого разложения |
|
Qp(xо Ж * “ *0) = \qp(x')dx,5 (x -x о) |
(1.4.5) |
v
имеет смысл равнодействующей силы распределения qa(x),
приложенной в точке х0. Второй член ряда (1.4.4) имеет смысл обобщенного силового диполя с моментом
Qfixl = - j ( x' - xо)*, |
(1.4.6) |
У |
|
сосредоточенного в точке х0, а остальные слагаемые в (1.4.4) можно интерпретировать как сосредоточенные мультиполи более высокого порядка. Поэтому (1.4.4) называют разложе
нием финитной нагрузки q(x) в ряд по мультиполям, сосре доточенным в точке х0 е V. Ряд (1.4.4) является представле нием функции q(x) в том смысле, что свертка обеих частей
(1.4.4) |
с |
любой аналитической |
функцией |
дают |
одинаковый |
|
результат. |
|
|
|
|
|
|
Член ряда (1.4.2) с номером |
к при |х| —> оо имеет асимп- |
|||||
тотику |
I |
|-(*+1) |
Т-1 |
|
тем |
лучше, чем |
|х| |
. Поэтому этот ряд сходится |
|||||