книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf41
дальше от области V расположена точка х. Для описания упругого поля вдали от области V можно ограничиться лишь
несколькими первыми членами разложения функции q(x) в
ряд по мультиполям и представить поле и(х) в виде
t*a(x)=Gafi(x -x 0)Q;+VxGafi(x -x 0)Q^+VxVMGafi(x -x 0)Qllft.
(1.4.7) Здесь первое слагаемое определяет главный член асимп
тотики поля и{х) при |JC|—> оо .
Пусть область V имеет форму эллипсоида с полуосями
ах,а2,аг и ортами главных осей е°\е(2\е(г\ Если плотность источников упругого поля постоянна в области V , то в раз
ложении (1.4.4) функции q {x)-q V {x ) в ряд по мультиполям первые три коэффициента Qmопределяются соотношениями
% = vqp > Q'afi = 0 > Q2m |
= Ш (а1еа)еТ + О-4-8) |
+a\e^ef + a ] e f e f )qx , v = j т,а2аъ. |
|
При этом предполагается, |
что точка х0 расположена в |
центре эллипсоида V . Асимптотика поля упругих перемеще ний вдали от такого источника описывается правой частью соотношения (1.4.7).
Пусть теперь плотность q(x) внутри эллипсоидальной об
ласти имеет вид qa(x) = ( х - x0)aV(x). Первые три коэффи
циента расположения такой функции в ряд по мультиполям (1.4.4) определяются выражениями
Q; = 0, Ql0X= 7(a,V |
4 .„ V 2U 2>+al e f e f )<h> Qt |
|
2 |
5 |
|
(1-4.9) Плотность силовых или дислокационных моментов, рас
пределенных в конечной области V , можно разложить в ряд по мультиполям, аналогичный (1.4.4). При этом тензоры
деформаций е(х) и напряжений о (х) вдали от области V с заданным в ней распределением, например, дислокационных
42
моментов т(х), можно аппроксимировать первыми членами следующих рядов
£а/)(х)= Т ,^ ...VxaK^MV(x -x 0)C°XMtpM TpXi Xa{x0), |
(1.4.10) |
|
т=0 |
|
|
00 |
|
|
^afi(x) = ^ V Xi...VXmSafiMV( x - x 0)MMvXiXa{x0), |
(1.4.11) |
|
т-О |
|
|
где обозначено: |
|
|
МаОХх.Лт(Xo) = ~ ^ J (*' - *0 )л, |
*0)Л„ ™ар{х')<Ь'. |
|
|
|
(1.4.12) |
Рассмотрим в заключение тонкую область Vhсо срединной
поверхностью Q и поперечным размером h(x) (х еП ), в ко торой распределены источники упругого поля. Пусть точка X удалена от поверхности Q на расстояние, существенно боль шее h . Введем локальную систему координат с началом в точ ке х' s fi и осью z , направленной по нормали п(х') к повер
хности Q . В случае распределения в области Vh массовых сил
плотности q(x) поле упругих смещений в среде можно пред ставить следующим образом:
й(х)/2
u(x) = [dQ! \G(X - X' - zn(x'))q(x'+ zn(x'))dz. (1.4.13)
О |
-й(х')/2 |
|
|
|
|
Разложим |
в |
этом |
соотношении функцию Грина |
||
G(x - х' - zn(x')) в ряд Тейлора по переменной z |
при x I F |
||||
G(x - |
х' - |
zn') = |
-G (x -x '), |
(1.4.14) |
|
|
|
|
* = о л ! С \п ) |
|
|
п' = п(х'), J _ = |
, д |
дп’ |
ПаО х’аУ |
43
Подставив это разложение в (1.4.13), получим |
|
|
|
& -G (x -x ') Q{k)(x')dQ', |
(1.4.15) |
к=оа |
4 » ’)‘ |
|
1 |
кхуг |
(1.4.16) |
Q{k\ x')= — |
jq(x'+zn')zkdz. |
|
-h(x')/2
Разложению (1.4.15) соответствует разложение плотности q{х) в следующий ряд
Ф ' + zn’) = Z - r ^ - [ e “ V W x ') ] , |
(1.4.17) |
к=0 с\п ) |
|
где О (х) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности Q и определенная соотношением (1.1.22).
Главный член разложения (1.4.15) представляет собой по тенциал простого слоя, сосредоточенный на поверхности Q с
плотностью Q(°\x):
h(x)!2 |
|
Q(o)(х) = J q(x+ zn)dz. |
(1.4.18) |
-й(х)/2 |
|
Г Л А В А II
РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
СИЗОЛИРОВАННЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
Вэтой главе задачи статической теории упругости и тер моупругости для среды с изолированной неоднородностью сведены к решениям интегральных уравнений относительно тензоров напряжений и деформаций. Существенно, что ре шение этих уравнений необходимо разыскивать не во всем пространстве, а только в конечной области, занятой неодно родностью. Последнее обстоятельство является весьма важ ным для построения численного решения рассматриваемых задач. Кроме того, переход от дифференциальных уравнений
кинтегральным в ряде случаев упрощает анализ тензорной структуры и аналитических свойств общего решения.
§2.1. Интегральные уравнения для среды с изолированной неоднородностью
Рассмотрим бесконечную среду, тензор модулей упругости которой имеет вид
С(х) = С° +С'(х), |
(2.1.1) |
где С° - постоянный тензор, а С 1(х) - финитная, кусочно гладкая тензорная функция. Упругое поле перемещений в та кой среде под действием массовых сил q(x) и при заданных условиях на бесконечности является решением уравнения
(LgpUp^x) = qa( х ) , Ьф = Ьф + Ьф, |
(2.1.2) |
^ф ~ Х^Хар^ц ■> ^ф = —VхСХфм(х)Чм.
45
Обозначим и°(х) поле перемещений в однородной среде с
тензором модулей С° под действием таких же массовых сил и условий на бесконечности. Это поле удовлетворяет следую щему уравнению
(2.1.3)
В дальнейшем поле и°(х), а также соответствующие ему поля деформаций £°(x)=defM°(*) и напряжений а (х) =
= С°£°(х) будем называть внешним.
Пусть q(x) - ограниченная кусочно гладкая функция. При этом уравнение (2.1.2), понимаемое в смысле обобщенных функций, имеет непрерывное единственное решение и(х)
[139]. Будем искать это решение в виде |
|
и(х) = и°(*) + “ '(*)> |
(2.1.4) |
где и°(х)- решение задачи (2.1.3) (внешнее поле), а их(х) —» О при |х|—»ао. Подставив (2.1.4) в (2.1.2), получим уравнение
для вектора их(х) |
|
(Г + Z ,> '= -Du'. |
(2.1.5) |
Поскольку Сх(х) - финитная функция, то |
правая часть |
этого уравнения также финитна. Действуя на обе части (2.1.5) оператором G° = (L°)~\ а затем def, придем к соотношению
ех+ def G°Lxux= -d e f G°Lxu° , ex= def ux. |
(2.1.6) |
Учитывая выражение (2.1.2) для оператора Lx, перепишем |
|
это выражение в виде |
|
^ (я Ж К С 'г Х х ^ О , |
(2.1.7) |
К = -d e f G°def, е = def (и° + их). |
|
Добавим к обеим частям (2.1.7) тензор £°=def и - внешнее
поле деформаций, - придем к уравнению для тензора f(x )
f(x ) + (K C15)(x) = f°(^ ) |
(2.1.8) |
или в подробной записи
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
> |
( |
* |
) |
+ |
! |
' =<Дх ) , |
(2.1.9) |
|
|
|
= — |
|
|
|
• |
(2.1.10) |
|
Заметим, что функция К (х) |
совпадает с ядром оператора |
||||||
К |
(1.1.31) , представляющего поле деформаций в однородной |
|||||||
среде с объёмным распределением обобщенных силовых мо
ментов. Как уже отмечалось в §1.1, ядро К (х) является одно родной обобщенной функцией степени (-3), действие кото рой на непрерывных финитных функциях определено соот ношением (1.1.32). Существование и единственность решения уравнения (2.1.9) следует из эквивалентности (2.1.9) системе уравнений теории упругости (2.1.2).
Рассмотрим теперь задачу термоупругости. Пусть тензоры коэффициентов линейного расширения а(х) и упругой по
датливости среды В(х) = С~](х) имеют вид
сс(х) =а° + а1(х ), В(х) = В° + В1(х) , В° = (С° )-1,
|
(2.1.11) |
где а '(х ) |
и В\х) - кусочно гладкие финитные функции, |
а° ,В° - |
постоянные тензоры. Будем считать, что среда на |
ходится под действием массовых сил q(x) при заданных ус ловиях на бесконечности и в известном температурном поле
Т(х).
Тензоры напряжений и упругих деформаций в такой среде удовлетворяют системе уравнений, которые следуют из (1.1.3) и (1.2.2) при т(х)= а(х)Т(х)
diva(x) = - # (x ), о(х) = С(х)ее(х), |
(2.1.12) |
Rot£e(x) = -R o t[a (x )r(x )].
Перепишем эту систему так, чтобы она формально совпа дала с системой (1.1.3) , (1.2.2) для полей напряжений о(х)
и деформаций £(х) в однородной среде С° с источниками внешних и внутренних напряжений
diva(x) = -q (x), a(x) = C V (x ), R otf'(x ) = -R otw (x ), (2.1.13)
47
£'(х) = ее( х ) - В '(х)о(х), т(х) = В '(х)о(х) + а(х)Т(х).
(2.1.14) Здесь е’(х) - некоторое фиктивное поле деформаций.
Обозначим через сг°(х) поле, порожденное источниками внешних напряжений, которое удовлетворяет системе уравне ний
divcr°(x)=-q(x), cr°(x)=C V (x), Rot£o(* )=0 (2.1.15)
и заданным условиям на бесконечности. Тогда, используя представление (1.2.4) для тензора о(х) в среде с источниками внутренних напряжений, решение уравнений (2.1.13) можно представить в виде
ст(х) = а (х) + jS (x - x')m(x')dx'. |
(2.1.16) |
Подставим сюда тензор т(х) из (2.1.14), |
придем к урав |
нению для напряжений в среде с неоднородными упругими и термоупругими характеристиками
<rafi(x) - j ^ ( x - x ^ B ^ i x ^ a ^ x ^ d x ' =
= Vafi + jSafiXMtx-x^a^ix^Tix^dx', |
(2.1.17) |
^afiXJJ(X) = CapvfK-vpTg(X ~ X УС^ —Сф^В(х). |
(2.1.18) |
При T = 0 интеграл в правой части (2.1.17) исчезает, и это |
|
уравнение принимает вид |
|
а ( х ) - J -S ^ x -x '^ ’ ^ ' ^ x ') ^ ' = <f (х). |
( 2.1.19) |
Используя закон Гука и представление (2.1.18) для £(х), можно показать, что это уравнение эквивалентно (2.1.9).
В случае отсутствия внешнего поля (сг(х) = 0) уравнение (2.1.17) описывает распределение температурных напряжений в среде с неоднородными термоупругими характеристиками в заданном температурном поле Г(х).
Отметим некоторые важные свойства интегральных урав нений (2.1.9) и (2.1.17).
48
Г. Пусть носитель функции С 1(х) сосредоточен в огра
ниченной области V с характеристической функцией V(x).
Представляя тензор деформации е(х) в среде с неоднород ностью в форме
е(х) = е°(х) + £ (х ), |
(2.1.20) |
где £•' (х) - возмущение внешнего поля е°(х), |
связанное с |
наличием неоднородности, получим из (2.1.9) |
уравнение для |
8х(х) в форме |
|
8х(х) + J K (X - х')Сх(х')ех(x’)V(x’)dx’ = |
|
= - jK (x - x ')C x(x’)e°(x’)V(x’)dx’. |
(2.1.21) |
Здесь учтено, что С 1(х) = С 1(x)F (x). Отсюда следует, что
поле б-1(х) зависит только от значений внешнего поля е° в области V, занятой неоднородностью (включением) .
2°. Если поля деформаций е+(х) = e(x)V(x) и напряжений
сг+ (х) = cr(x)F(x) внутри области V известны, то вне V эти поля однозначно восстанавливаются из соотношений (2.1.9) и (2.1.19):
е(х) = e0( x ) - f K ( x - x ,)Cx(x,)8+(x')dx', (2.1.22)
ф ) = а (х) + J S(x - х')Вх(х')о-+ (x')dx'.
Уравнения для полей е+(х) и сг+ (х) внутри включения получим, умножив обе части (2.1.9) и (2.1.19) на V(x):
е+(х) + |К + (х, х')сх(х')е+ (x')dx’ = е°+(х ), (2.1.23)
сг+ (х) - J S+(х, х')Вх(х’)а+ (x')dx' = <Г (х),
К + (х, x') = V(х)К (х - x')V(x') , 5 + (х, х') = F (x)5(x - x')V(х') .
49
3°. Пусть С 1(дг) —» -С°. Тогда в области, занятой включе
ниями, С(х) = С° +С ] (х )—>0 (случай |
полости). При этом |
уравнение (2.1.9) для тензора деформаций принимает вид |
|
s(x)~ jK (x -x')C °e+(x')dx'= s°(x), |
х eV , (2.1.24) |
а уравнение (2.1.19) для тензора напряжений |
<т(х), с учетом |
|
соотношения |
|
|
В1сг+ = [С-1 - (С °)"’ ]Се+ |
е+ |
(2.1.25) |
переходит в следующее |
|
|
о(х)= < j(x)+ fS (x -x')e+ (x')dx'. |
(2.1.26) |
|
Таким образом, определив тензор £+(х') из уравнения (2.1.24), из соотношения (2.1.26) можно восстановить поле напряжений вне полости.
Заметим, что в случае полости тензор В1является вырож денным и единственность решения уравнения (2.1.2), а сле довательно и уравнения (2.1.24), уже не имеет места. Ядро оператора в левой части (2.1.24) с учетом (2.1.18) представля ется в форме
К(х)С° = (C°y'S(x) + IS(x). |
(2.1.27) |
Отсюда и из выражения (1.2.4) для S(x) следует, что одно родное уравнение (2.1.4) эквивалентно следующему
J.S,(x -x ')ff+ (х')*& -| Z (x -x ')R o tE+(x')dx'=0. (2.1.28) Здесь использована теорема Стокса и финитность функ
ции £+(х). Таким образом, любая функция с носителем в об ласти V, удовлетворяющая условию совместности деформа
ций Rot£+=0, является решением однородного (при £° = 0) уравнения (2.1.24).
В дальнейшем, для определенности, в качестве решения уравнения (2.1.24) будем рассматривать предел, к которому
стремится решение уравнения (2.1.9) при С 1 —» —С°.
4°. Пусть теперь В\х) —» -В °, так что В(х) —» 0 в области (случай абсолютно жесткого включения). При этом уравне
50
ние (2.1.19) для тензора напряжений в среде с неоднороднос тью принимает вид
o(x) + jS(x-x')B°<j*(x’)dx' = <T0(x), x e V . |
(2.1.29) |
Уравнение (2.1.9), которое с учетом соотношения |
|
£(*) = £ °(х )-| К (х -х ')с т +(*')<&' |
(2.1.30) |
переходит в следующее равенство |
|
C V = [В'' -(В°У']Ва+-> <т+, |
(2.1.31) |
позволяющее определить поле деформаций вне жесткого
включения, если известно поле напряжений сг+ (х) внутри его.
Следствием вырожденности тензора упругой податливости включения является неединственность решения уравнения (2.1.29). Учитывая выражения (2.1.18) для тензора S(x), ядро оператора в уравнении (2.1.29) можно представить в виде
S(x)B° =С °К (х)-Щ х). (2.1.32)
Используя это соотношение, определение функции К(х) (2.1.10) и теорему Гаусса, можно показать, что однородное
(<7 = 0) уравнение (2.1.29) эквивалентно следующему:
(2.1.33) Очевидно, что этому уравнению удовлетворяет любое поле
с носителем в области V , которое является решением урав
нения равновесия Ул°%1 = 0.
В дальнейшем решением уравнения (2.1.29) будем считать предел, к которому стремится решение уравнения (2.1.19) при
В'^ - В 0.
§2.2. Условие на границе раздела двух сред
Рассмотрим однородную упругую среду с включением (не однородностью), занимающим область V с гладкой границей