книги / Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть

Большинство существующих методов расчета теплообмена основываются на простом усреднении температуры воздуха и жидкости, при котором температура сред при определении интенсивности теплообмена полагается равной средним значениям между начальными и конечными температурами [111–113]. Такой подход предполагает линейную зависимость температуры от координаты и дает тем большую ошибку, чем больше пути движения обменивающихся теплом сред [114]. Погрешность становится еще больше, если рассматривается система последовательно подключенных по жидкости или последовательно расположенных по воздуху калориферов, так как при этом путь и, соответственно, время теплообмена увеличиваются. Кроме того, чтобы прогнозировать замерзание калориферной установки, необходимо знание не средней температуры воды, а температуры ее на выходе, поскольку именно там наиболее вероятно будут происходить процессы кристаллизации и затвердевания теплоносителя.

В первую очередь рассматривается обогревательная система, состоящая из одного калорифера, теплообмен которого с воздухом описывается зависимостью

где z (м) – координата по ходу движения холодного воздуха; x (м) – координата по ходу движения горячей воды; j (Дж/(м2·с)) – плотность потока тепла от воды к воздуху; Tw (°С) – температура воды; Tv (°С) – температура воздуха; k (Дж/(м2·с·°С)) – коэффициент теплообмена, зависящий от скоростей движения воды и воздуха. Пусть выделен некоторый «объем» воздуха сечениемS (м2) и длиной L (м) по оси z, проходящий через теплообменник со скоростью vv (м/с). Сечение S полагается достаточно маленьким, чтобы температуру на этом участке теплового контакта можно было считать постоянной. Температура воздуха после теплового контакта на участке определяется по количеству тепла Q (Дж), полученному выделенным объемом воздуха V = S L (м3) в соответствии с балансом теплосодержания:

231

где Qv0, Qvk (Дж) – начальное и конечное теплосодержания выделенного объема воздуха; Q cv vVTv , где cv (Дж/(кг·°С)),

v (кг/м3), V (м3) – удельная теплоемкость, плотность и объем воздуха; Q определяется как точное интегральное среднее за время теплового контакта t Lvv (с):

где F (м2) – площадь поверхности участка теплообмена. При подстановке (7.16) и (7.17) в (7.18) и дифференцировании по z получается дифференциальное уравнение для j:

В предположении однородности теплообменника: F F ,

S fv

где F (м2) – общая поверхность теплообмена, а fv (м2) – сечение калорифера по воздуху. С учетом того, что расход воздуха qv vvv fv (кг/с), подстановка (7.20) в (7.19), а затем в (7.17) дает

значение температуры воздуха на выходе:

сбезразмерным комплексом C exp kF ,характеризующим

cv qv

соотношение интенсивностей теплообмена и выноса тепла. Полученная формула еще не является конечной, поскольку

неизвестна температура воды Tw (x), для определения которой также используется уравнение баланса тепла Q1 Q2 (Дж), где

232

(Дж/(кг·°С)), Tw0 (°С) – плотность, удельная теплоемкость, начальная температура воды; fw (м2) – сечение по воде, а

отдача тепла воздуху, t xvw , vw, м/с – скорость воды, j (Дж/(м2·с)) – интегральное среднее плотности потока тепла на промежутке L:

Подстановка последних зависимостей в уравнение баланса тепла и дифференцирование по x дает дифференциальное уравнение для определения температуры воды:

с начальным условием Tw (0) Tw0 . Здесь учтено, что расход во-

233

При подстановке его в (7.21) зависимость для определения температуры воздуха приобретает вид:

Если калорифер имеет n ходов, то среднее по m-му ходу:

Для системы калориферов расчет аналогичен. Предполагается, что калориферы в системе одинаковые, и что ряды калориферов (последовательные по воздуху) подключены параллельно по воде, а ряды содержат равное количество последовательных по воде цепочек калориферов, содержащих равное количество теплообменников. В большинстве случаев на практике реализуется именно такая компоновка. В этом случае система распадается на no подсистем, содержащих nr nko калориферов, здесь no – количество последовательных по воде цепочек калориферов в каждом ряду, nko – количество калориферов в каждой цепочке и nr – количество рядов. Расчет достаточно провести только для одной подсистемы, для остальных будет то же самое. В расчете фигурирует условный теплообменник, эквивалентный последовательной цепочке, т.е. калорифер, у которого в nko раз больше ходов (и L, соответственно, в nko раз больше) и в nko раз больше сечение по воздуху. Для одного ряда по воздуху с учетом вышесказанного полученные формулы не изме-

234

няются. Для двух или нескольких рядов теплообменников считается, что воздух, нагретый неравномерно первым рядом, успевает выровнять свою температуру по сечению в результате перемешивания, прежде чем дойдет до второго ряда. Расчет повторяется после каждого ряда по воздуху с новыми начальными значениями температур воздуха и воды, если ряды подключены последовательно по воде. Выходные значения температур воздуха и воды первого ряда будут являться начальными значениями для второго, второго – для третьего и т.д. Если направления движения сред противоположны, то алгоритм расчета дополняется использованием итерационного метода прогонки.

Для верификации модели в зимний период с помощью тепловизора были проведены измерения температурных полей на безвентиляторной калориферной установке ствола № 2 РУ-4 ОАО «ПО “Беларуськалий”» [115]. Результаты измерения температуры теплоносителя при движении по теплообменным трубкам одной секции многоходового калорифера типа КСк4-12, представленные на рис. 7.8, согласуются с расчетными данными, что позволяет экстраполировать разработанную математическую модель теплообмена на произвольную конфигурацию теплообменных модулей.

Рис. 7.8. Термограмма многоходового калорифера типа КСк4-12

235

Следует заметить, что при расчете теплообмена предполагалось, что плотность воздуха задана и неизменна. Проходя через систему калориферов, воздух нагревается и расширяется, скорость его увеличивается, часть тепловой энергии переходит в механическую, и это должно быть учтено в уравнении баланса тепла (7.17): Qvk Qv0 Q Ek , где Ek (Дж) – прирост кинетической энергии. Однако простой оценочный расчет даетEk<< Q, что позволяет оставить уравнение (7.17) без изменений.

В летний период существующие при каждом воздухоподающем стволе калориферные установки могут быть использованы для охлаждения и осушения воздуха. Принцип действия таких установок заключается в подаче охлажденного хладоносителя в трубки воздухонагревателей, где влажный воздух, соприкасаясь с холодными стенками трубок, подвергается осушению и охлаждению. Применительно к калийным рудникам холодный рассол или любой другой хладоноситель из рассолосборника через фильтр насосом подается в теплообменник. Нагретый рассол по обратному трубопроводу сливается на поверхность рассолосборника. Осушенный воздух после воздухоохладителей по калориферному каналу поступает в ствол, где смешивается с необработанной частью воздуха. Сконденсировавшаяся влага собирается в поддоны и откачивается в рассолосборник. Таким же образом, но с более сложной системой отвода тепла и влаги, функционируют и подземные установки охлаждения воздуха, разогретого геотермальным теплом глубоких горизонтов или техногенными источниками тепла.

Расчет охлаждения воздуха делается по аналогии с вышеизложенным расчетом нагрева, но с учетом выделения тепла при конденсации, которое идет на дополнительный нагрев жидкости. Плотность потока тепла от воздуха к жидкости имеет

вданном случае две составляющих: j1, Дж/(м2·с) – обычный поток тепла в результате теплообмена и j2, Дж/(м2·с) – поток тепла

врезультате тепловыделения. Теперь:

236

где W/ t (Дж/с) – выделение тепла в единицу времени, а F (м2) – участок поверхности теплообмена. Учитывая, что W = rCH V, и переходя к дифференциалам по времени:

здесь r (Дж/кг) – удельная теплота парообразования; СH (кг/м3) – концентрация насыщенного пара; T, (°С) – температура воздуха; V (м3) – выделенный объем воздуха, соприкасающийся с поверхностью F (м2). Переходя к макромасштабам, в силу однородности системы можно положить V/ F = fv /F, где fv (м2) – сечение калорифера для прохода воздуха; F (м2) – общая поверхность теплообмена; (м) – ширина калорифера по воздуху. Переход к дифференцированию по z, м (d/dt = vvd/dz, vv (м/с) – скорость движения воздуха) в предположении, что dCH/dT CH’ = const, дает

В (7.34) j и оба слагаемых отрицательны, что означает, что поток тепла идет от воздуха к жидкости. С другой стороны, изменение температуры воздуха может определяться по изменению теплосодержания Q (Дж):

Tv Tv0 Q , (7.35) cv v V

где cv (Дж/(кг·°С)) и v (кг/м3) – удельная теплоемкость и плотность воздуха,

Учитывая, что t = /vv и t = z/vv, переходя к макромасштабам и дифференцируя (7.35) по z:

237

здесь qv = vfvvv (кг/c) – массовый расход воздуха. Сравнение (7.37) и (7.34), в котором второе слагаемое есть j2, дает bj1 = j2,,

где b = rCH’/ vcv. И поскольку j = j1 + j2, то j1 = j/(b + 1), а j2 = bj/(b + 1). Безразмерная константа b по справочным дан-

ным составляет величину порядка двух. Это позволяет сделать следующий важный оценочный вывод: нагрев жидкости двумя третями обязан тепловыделению при конденсации и только одной третью – теплообмену с воздухом. То есть пренебрежение теплотой фазового перехода недопустимо. Подстановка последних зависимостей в (7.34), дифференцирование по z и решение полученного дифференциального уравнения дает

Уравнение (7.38) отличается от аналогичного (7.20) для «сухого» воздуха только коэффициентом b, которым характеризуется дополнительный поток тепла в жидкость в результате тепловыделения при конденсации. При b = 0 выделения тепла нет, и это следует использовать, поскольку выделение влаги может быть, а может и не быть, в зависимости от степени насыщенности воздуха паром (относительной влажности). Кроме того, поскольку жидкость будет нагреваться по мере движения по трубкам калорифера от начала до конца, конденсация на начальном холодном участке может происходить, а дальше – нет. К тому же по оси z (толщина калорифера вдоль движения воздуха) выделение влаги тоже будет происходить не на одинаковом расстоянии от передней кромки. Это может быть учтено следующим образом:

238

Tкрv (°С) – критическая температура для данной абсолютной влажности воздуха, т.е. температура, при которой относительная влажность 100 %.

Для того чтобы определять температуру жидкости так же, как и раньше, считается средняя в направлении z плотность потока тепла

где zкр (x), м – расстояние от начала кромки, на котором начинает выделяться влага. При подстановке (7.38) в (7.40):

0

Q1 wcw Tw0 Tw (x) fw x 0. Здесь w (кг/м3); сw (Дж/(кг·°С)) –

плотность и удельная теплоемкость жидкости; fw (м2) – сечение для прохода жидкости. Приравнивая Q1 и Q2, переходя к макромасштабам и дифференцируя по x:

где L (м) – общая длина пути жидкости (длина трубки калорифера), qw (кг/с) – массовый расход жидкости.

Расстояние zкр (x) может быть определено из уравнения (7.40), если проинтегрировать его от 0 до zкр (x):

239

Подставляя j1 (x, z) = j (x, z) / (b + 1) из (7.38), интегрируя и вводя безразмерный критический параметр (x) zкр (x) / :

Теперь, если положить = 1, то уравнение (7.44) станет уравнением для определения xкр (м) – точки на оси x, где выпадение влаги прекратится. Точнее, отсюда может быть определена только Tw (xкр), а само значение xкр может быть получено из формулы (7.28) с небольшим изменением. Формула (7.28) была получена без учета выделения тепла при конденсации. В данном случае на всем участке от 0 до xкр конденсация есть, значит при выводе должна использоваться формула (7.38) для j, которая отличается от (7.20) только коэффициентом (b + 1). Таким образом, (7.28) принимает вид

После введения безразмерного параметра кр xкр/L:

где Tw0 (°С) – начальная температура жидкости. Возможны три

варианта: 1) кр 1; 2) кр [0; 1]; 3) кр 0 или не определено, если под логарифмом отрицательная величина. Первый вариант

соответствует выпадению влаги на всем участке, третий – выпадение влаги не происходит нигде, и второй вариант – частичное выпадение на начальном участке. Третий вариант был уже рассмотрен для сухого воздуха. Формулы для сухого воздуха (температуры воды и воздуха) могут быть использованы и для пер-

240