книги / Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть

Рис. 4.4. Фиктивный слой ячеек

Фиктивным слоям на каждой из ветвей соответствуют значения пространственного индекса i , равные i 0, i N j 1

(j – номер ветки).

Возможны пять типов граничных условий для величин расходов и давлений воздуха.

1. Граничное условие типа «выход в атмосферу».

В предположении однородности потока условия в фиктивной ячейке такие же, как и в самой ячейке:

pk 2pk 2pk

N 1 N N 1

2. Граничное условие типа «сопряжение».

В сопряжении давление одинаково для всех инцидентных ветвей, и должно быть справедливо уравнение неразрывности:

131

Скорости VPi для ветвей, входящих в сопряжение, выражаются из уравнения (4.10):

а скорость VPi для ветвей, выходящих из сопряжения, – из урав-

нения (4.11):

После подстановки выражений (4.17) и (4.18) в (4.15) получается уравнение относительно pP вида

Найденное из него значение pP является искомым гранич-

ным условием, которое заносится в фиктивные узлы инцидентных ветвей сопряжения.

Значение скоростей в фиктивных узлах определяется по следующим правилам:

3. Граничное условие типа «вентилятор».

В вентиляторе, как и в сопряжении, должно быть справедливо уравнение неразрывности (4.15), но давление претерпевает скачок p 0, значение которого определяется из напорной ха-

рактеристики вентилятора p p(V , ) , где – угловая скорость вращения вентилятора.

Если pin – давление до входа в вентилятор, а pout pin p –

на выходе из него, то уравнения (4.17) и (4.18) в случае вентилятора принимают вид:

132

При подстановке (4.21) и (4.22) в (4.15) получается уравнение для pP :

pout и pin , которые далее используются в качестве граничных

условий. Значение скоростей в фиктивных узлах определяется из (4.20).

4. Граничное условие типа «тупик».

В простейшем случае граничные условия формулируются так:

5. Граничное условие типа «идеальный вентилятор».

Граничные условия аналогичны обычному вентилятору с тем лишь отличием, что p const.

4.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЕРЦИОННОСТИ ВОЗДУШНЫХ ПОТОКОВ В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Отличительная особенность аварийных процессов – нестационарность, причем быстрая нестационарность, когда скорость движения воздушных потоков в считанные секунды значительно изменяется по величине и, может быть, по направлению. Как правило, такие нестационарные процессы являются переходными, поскольку за короткий промежуток времени один стационарный (или квазистационарный) режим проветривания сменяется другим. И так как в процессе этого перехода разгоняется

133

или тормозится значительная масса воздуха, то пренебрежение инерционностью этой массы дает тем большую ошибку, чем меньшее время занимает переходный процесс.

Изложенный в первой главе (раздел 1.2) алгоритм метода контурных расходов для расчета стационарного воздухораспределения применим также и для расчета меняющегося со временем воздухораспределения в квазистационарной постановке. В этом приближении в каждый момент времени решается задача стационарного воздухораспределения с новыми величинами источников тяги и тепловых депрессий. Такой подход не учитывает инерционности воздуха, т.е. того, что работа сил давления идёт не только на преодоление аэродинамических сопротивлений выработок, но и на разгон или торможение воздушного потока. Корректность такого способа моделирования нестационарных процессов тем больше, чем медленнее эти процессы и чем менее заметны инерционные эффекты. Численный эксперимент и несложные оценочные расчеты показывают, что к медленным процессам следует отнести изменения расходов воздуха, происходящие в течение нескольких минут. Если же эти изменения происходят в течение нескольких секунд, то квазистационарное моделирование приводит к значительным погрешностям. Подобная ситуация имеет место, например, при моделировании пожаров в горных выработках, когда быстро растущие тепловые депрессии в считанные секунды изменяют движение воздуха вплоть до опрокидывания потоков.

Учесть наличие массы воздуха можно соответствующей корректировкой второго закона сетей (1.2). Работа сил давления A (Дж) по перемещению фрагмента воздушного потока

Здесь L QS t , а падение давления пропорционально квадрату среднего объемного расхода Q (м3/с) воздуха по выработке

134

духа по выработке. Предполагается, что вклад изменений плотности воздуха в Ek невелик, и вторым слагаемым можно пренебречь. При подстановке в (4.25) получается:

Теперь, если учесть, что r LQ2 P – это падение давления на трение (Па), а Q P t – работа сил трения, то второе

слагаемое есть искомая инерционная поправка Pин L dQ .

S dt

Поскольку при выводе считалось, что плотность и объемный расход воздуха неизменны по длине выработки и равны средним значениям, то можно осуществить переход от участка L к целой выработке L (м). Значит, потеря депрессии на выработке при нестационарном движении воздуха с учетом его инерционности равна

где R (кг/м7) – аэродинамическое сопротивление выработки, ρQ (кг/с) – массовый расход воздуха. С учетом вышеизложенного второй закон сетей (1.2) приобретает вид (с теми же правилами расстановки знаков):

135

Попытка решения системы алгебраических уравнений (1.1), (4.28) с помощью метода контурных расходов в виде (1.3) приводит к расходимости по причине неучета проведенных изменений. В соответствии с теоретическими основами МКР, изложенными в [2], для достижения сходимости метода должны быть вычислены все частные производные величин источников тяги и потерь давления по расходам воздуха Qj. В формулу (1.3) должно быть добавлено еще одно слагаемое

где Qj0 (м3/с) – расход воздуха в предыдущий момент времени (от Qj не зависит), t (с) – дискретный интервал времени, определяющий размер временной сетки расчета. В результате основная формула метода контурных расходов (1.3) для расчета нестационарного воздухораспределения приобретает вид

Расчет изменений воздухораспределения после возникновения сильного пожара (100 МВт на 10 м) в наклонной выработке в аналитическом комплексе «АэроСеть» (рис. 4.5), как и предполагалось, подтвердил влияние инерционности воздуха на его движение. Опрокидывание воздушной струи и дальнейшее изменение расхода происходит в течение нескольких секунд, что и является причиной проявления механизма воздушной инерции, никак не проявляющего себя в более медленных процессах. Для сравнения, более слабый пожар (1 МВт на 10 м) в аналогичной ситуации (рис. 4.6) показывает несущественное влияние инерции на движение воздуха при значительно более медленном его изменении. Приведенными примерами доказана необходимость моделирования быстрых переходных аварийных процессов с учетом инерционности воздушных потоков, заключающаяся в корректировке 2-го закона сетей инерционным слагаемым с соответствующим изменением увязочной формулы метода контурных расходов

136

4.3. УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ВОЗДУХА В ВЫРАБОТАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ РУДНИКА

Функцию изменения плотности воздуха в диапазоне небольшого перепада рудничных давлений порядка 10 000 Па (1/10 атмосферного давления) можно принять линейной, по-

t (с) – текущее время, область определения от 0 до T; T (с) – время выхода избыточного воздуха из выработанного пространства (время, за которое давления выравниваются, и расход воздуха Q (t) обращается в ноль); Q (t), м3/с – текущий расход воздуха из выработанного пространства в рудничную сеть; R (кг/м7) – аэродинамическое сопротивления пути, соединяющего выработанное пространство с сетью; V (м3) – объем выработанного пространства; P0 (Па) – внешнее давление воздуха на выходе; PН > P0 (Па) – начальное давление воздуха в выработанном пространстве; ρ0 (кг/м3) – плотность внешнего воздуха на выходе; ρн > ρ0 (кг/м3) – начальная плотность воздуха в выработанном пространстве.

Рис. 4.7. Выход избыточного количества воздуха из выработанного пространства рудника

Скорость уменьшения плотности воздуха в выработанном пространстве равна массовому расходу исходящего из него воздуха, отнесенному к объему пространства:

138

Значение объемного расхода воздуха Q (t) выражается через текущий перепад давлений и аэродинамическое сопротивление R пути выхода воздуха в рудничную сеть

а давление P (t) в приближении идеального газа связано с плотностью линейно при условии постоянства температуры воздуха

После подстановки (4.32) в (4.31) и (4.31) в (4.30) получается дифференциальное уравнение для ρ (t)

которое интегрируется аналитически. С учетом начального условия ρ (0) = ρн решение имеет вид

Далее с использованием (4.34), (4.32) и (4.30) производится переход от ρ (t) к Q (t):

Из вида полученной зависимости определяется время T полного выхода избыточного воздуха из выработанного пространства с выравниванием давления (Q (T) = 0):

139

Если соединяющая выработанное и рабочее пространство рудника выработка перекрыта, то R – это сопротивление перемычки. Если перемычки нет, то сопротивление выработки складывается из потерь энергии на трение и на сужение потока воздуха, причем вторая составляющая может быть значительно больше первой. По формулам (4.35) и (4.36) можно произвести оценку скорости и времени выхода застойного воздуха из выработанного пространства в рабочую область рудника при условии, конечно, что выход этот один. При наличии двух и более выходов воздуха на входящие и исходящие выработки аналитическое решение отсутствует, и расчет должен производиться численно.

Существуют различные способы моделирования движения сжимаемой среды, отличающиеся точностью соответствия модели реальности. Наиболее точным является способ, основанный на решении системы дифференциальных уравнений аэрогазодинамики. Но для описания движения воздуха в рудничной сети, состоящей из сотен и тысяч выработок большой протяженности, подобный подход не применим по причине чрезмерной нагрузки на вычислительную технику и невозможности получения результатов за реальное время. Поэтому при проведении прикладных вентиляционных расчетов, как правило, используются упрощенные методы моделирования движения сжимаемой среды [63–65], позволяющие делать прогнозные оценки движения воздушных потоков по горным выработкам в аварийных режимах проветривания рудников, связанных с отключением или реверсированием источника тяги.

Решение системы дифференциальных уравнений движения слабо сжимаемой жидкости в приближении гидравлического удара методом характеристик представлено в работе [63]. Очевидным преимуществом этого способа моделирования движения сжимаемой среды перед аналогичными способами, основанными на решении системы сетевых уравнений Кирхгофа, является учет конечной скорости распространения возмущений давления и плотности воздуха по сети, что обеспечивает высокую точность соответствия расчетных результатов реальности. Но ресурсоемкость такого расчета велика и применение его для рудничных сетей большой размерности без использования спе-

140