книги / Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть

вие (6.3) содержит производную по z, то оно должно быть еще дополнено значением Ta в точке (r = 1, z = 0), т.е. температура воздуха на входе в выработку должна быть задана (это второе граничное условие):

К уравнениям (6.1), (6.3), (6.4) и (6.5) должно быть добавлено начальное условие:

6.1.1. Получение аналитического решения задачи теплообмена на основе преобразований Лапласа

Нестационарная цилиндрическая задача (6.1)–(6.6) решается с помощью преобразований Лапласа. Функции T = T (r, t, z) (и для воздуха, и для массива) ставится в соответствие ее изображение:

(r, p,z) T (r,t,z)e pt dt ,

0

где p – комплексный параметр, а область определения – Re (p) >0. Уравнение в частных производных (6.1) для оригинала Tm сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для

изображения m (Tm (r, t = 0, z) = z, где r0 ):

171

которые получены из условий (6.3), (6.4) и (6.5) соответственно. Уравнение (6.7) является уравнением Бесселя, решение ко-

торого

где J0 и N0 – функции Бесселя и Неймана нулевого порядка, коэффициенты fs (z) и gs (z) подлежат определению. Связь между ними задает условие на бесконечности

Соотношение между коэффициентами f (z) и g (z) должно быть таково, чтобы при r – m z/p:

Исходя из асимптотических разложений функций J0 и N0 при r [82, 83] можно заключить, что в (6.12) k = –i при

Im( p / s2 ) 0 и k = i при Im( p / s2 ) 0, где i – мнимая единица. Функция , где ζ – комплексное число, является дву-

значной, а при расчете должно фигурировать только одно ее значение. Пусть это значение конкретизируется условием

Re 0 . После представления ζ в экспоненциальном виде

172

установлена из условий равенства температур (6.13) и потоков

слоев r0 + h (в безразмерном виде R 1 hr0 ):

уравнений (6.13)–(6.14) с учетом (6.12) разрешается относитель-

173

Несложно убедиться, что в случае равенства температуропроводностей и теплоемкостей слоев (ξ = 1, s1 = s2 = 1) – A (k) = k, что совпадает с результатом моделирования однослойной задачи теплообмена.

Преобразования Лапласа позволяют разделить переменные z и r и таким образом понизить размерность задачи. Теперь, если положить r = 1, остается только информация о зависимости по z, и в дальнейшем, после перехода к оригиналу, – от t. Далее координата r опускается, что означает r = 1. После подстановки (6.11) при s = s1 = 1 в (6.9) коэффициент fs1 (z) с учетом (6.15)

выражается через τa:

fs1 (z)

Соотношение (6.13) с учетом (6.12) и (6.15) дает зависимость для определения fs2 (z) :

174

Теперь, после подстановок (6.16) в (6.11) и (6.11) в (6.8), получается дифференциальное уравнение с одной неизвестной функцией τa:

Решение (6.18) с учетом (6.10):

Восстановление оригинала Ta (t, z) по изображению a (p, z) дается формулой обратного преобразования Лапласа:

x i

где интегрирование ведется вдоль любой прямой с вещественной координатой x, большей показателя роста функции Ta.

Как правило, скорость v (z) является ступенчатой убывающей функцией z. Например, при движении воздуха по стволу на уровне одного из горизонтов скорость уменьшается скачком, от горизонта до горизонта – не изменяется. Если пронумеровать все горизонты рудника по глубине от 1 до i, то интеграл может быть сведен к сумме:

где i – количество горизонтов до глубины z, j – порядковый номер горизонта от поверхности, zj – координата j-го горизонта, a (zj) и ω (zj) – значения параметров a и ω на участке [zj–1, zj].

175

Для расчета величины коэффициента теплоотдачи α (z), определяющего параметры a и ω, может быть использована зависи-

цилиндрических каналов диаметром D при числах Рейнольдса

Re vD 104 , где η = 1,5∙10–5 м2/с – кинематическая вязкость

воздуха.

Если утечек и ответвлений по ходу движения воздуха нет, то v (z) = const и, соответственно, a и ω от z не зависят. Формула (6.19) в этом случае приобретает вид

Полученные формулы (6.19)–(6.21) позволяют рассчитывать температуру воздуха как функцию времени и координаты. По известным значениям температур могут быть определены плотности воздуха, тепловые депрессии и, в конечном итоге, расходы воздуха как функции времени. Таким образом может рассчитываться влияние теплообмена в воздухоподающем стволе на воздухораспределение в руднике.

Следует заметить, что интерес может представлять не только температура воздуха, но и температура окружающего массива, в частности температура крепи ствола. Интерес этот вызван, прежде всего, температурными деформациями, происходящими в тюбинговой колонне при ее нагреве или охлаждении. Особенно опасными эти деформации (раскрытие соединительных швов, разрыв сцепления между чугунными тюбингами

ибетонной рубашкой [84]) могут быть в случае охлаждения чугунных тюбингов до отрицательных температур, что может происходить при подаче зимнего воздуха без подогрева, например при реверсировании ГВУ. Если в возникающие зазоры

иполости проникнет вода, то в результате ее замерзания деформации могут становиться критическими и приводить к аварийным ситуациям.

176

Выражение для изображения температуры первого слоя получается при подстановке (6.16) в (6.11):

и при переходе к функции-оригиналу формула для вычисления температуры массива принимает вид

x i

Аналогичным образом, подстановкой (6.17) в (6.11) может быть посчитана температура (2)m (r, p,z)второго слоя:

Из сравнения (6.24) и (6.22) видно, что на границе слоев r = R, как и было заложено в модели, температуры слоев совпадают (1)m (2)m .

Представленное решение задачи теплообмена рудничного воздуха с двухслойным горным массивом в сопряженной постановке позволяет существенно расширить параметрическую область моделирования аэрологических процессов и улучшить точность получаемых численных результатов. Расширение модели

177

теплообмена с учетом таких факторов, как конечное значение коэффициента теплоотдачи, увеличение температуры пород с глубиной, а также наличие утечек и ответвлений по ходу движения воздуха обеспечивает хорошую точность соответствия расчетных результатов реальности.

6.2.1. Приближение малых времен теплообмена

Чрезвычайно опасной аварийной ситуацией на руднике является пожар. В условиях ограниченного пространства подземных выработок тепло и дым от места возгорания быстро распространяются по ходу движения вентиляционного воздуха, создавая новые очаги пожара и делая воздух непригодным для дыхания. В этом случае возникает необходимость быстрого принятия решения о путях вывода людей из рудника и мерах по локализации и прекращению пожара. Например, если возгорание происходит в воздухоподающем стволе, то очевидной мерой по локализации пожара является немедленное реверсирование ГВУ и вывод людей к вентиляционному стволу по свежей струе. Однако маршруты для безопасной эвакуации людей и действия по скорейшей ликвидации пожара далеко не очевидны, если происходит он в глубине рудничного поля, например при возгорании ленточного конвейера. Трехмерная структура рудника, т.е. наличие вертикальных и наклонных выработок по ходу движения горячего воздуха, приводит к возникновению тепловых депрессий, которые изменяют воздухораспределение. Расходы воздуха в некоторых выработках после возникновения пожара могут не только существенно изменяться по величине, но

именять направления. Таким образом, сценарий распространения тепла и дыма при наличии негоризонтальных выработок вблизи места возникновения пожара является трудно предсказуемым и требует особого подхода для своего моделирования, учитывающего взаимовлияние механизмов движения воздуха

итеплообменных процессов, происходящих между воздухом

игорным массивом.

При моделировании распространения дыма при пожаре за основу может быть взята предложенная в работе [16] и пред-

178

ставленная в разделе 5.1 математическая модель нестационарного переноса газовых примесей по выработкам рудника, относящаяся к классу моделей идеального вытеснения. В рамках этой модели предполагается, что перенос газовой примеси (дыма) осуществляется исключительно движущимся воздухом, а процессом диффузии на фоне этого движения можно пренебречь. Подобное приближение корректно при достаточно интенсивном движении воздуха, когда скорость диффузионных процессов значительно меньше. Несомненно, подобная ситуация и реализуется при пожаре. Разработанный алгоритм расчета распространения примесей (см. раздел 5.1) должен быть скорректирован на предмет непостоянства скоростей движения воздуха по выработкам, величины которых изменяются в соответствии с возникающими в негоризонтальных выработках тепловыми депрессиями. Это значит, что на каждом шаге по времени тепловые депрессии и, соответственно, расходы воздуха должны пересчитываться, что и является основным отличием алгоритма механического переноса газовой примеси при постоянной температуре от алгоритма тепломеханического переноса дыма при пожаре в условиях меняющейся температуры.

Величины тепловых депрессий, возникающих в негоризонтальных выработках, определяются двумя механизмами: 1) тепловыделением при пожаре и 2) поглощением тепла породным массивом. Динамика горения в рамках данной работы не рассматривается, поэтому считается, что интенсивность тепловыделений известна и является заданной функцией времени и координаты. Требуется определить, как будет изменяться температура воздуха по ходу его движения, и, в частности, как быстро будет остывать горячий воздух по мере удаления его от источника возгорания. Если температура воздуха T в наклонных выработках будет определена как функция времени и расстояния T (t, z), то в этих выработках могут быть рассчитаны веса столбов воздуха и, соответственно, тепловые депрессии. Пересчет воздухораспределения на каждом шаге по времени с текущими значениями тепловых депрессий сделает указанный алгоритм пригодным для расчета распространения тепла и дыма при пожаре.

Исследованию процессов теплообмена рудничного воздуха с горными породами посвящено большое количество работ раз-

179

ных авторов, большинство из которых основывают свои расчеты на одной и той же физической модели теплообмена, разработанной А.Н. Щербанём и О.А. Кремнёвым [74], центральным звеном которой является понятие так называемого «коэффициента нестационарного теплообмена» kt. Суть введения kt – «увязать» основную характеристику процесса теплообмена – плотность потока тепла из воздуха в массив j – с известными значениями температур воздуха T и «непотревоженного» массива T , т.е. j = kt (T –T). Если kt = kt (t, z) становится известной функцией времени и координаты, то задача, можно сказать, решена для воздуха, поскольку известно, сколько тепла отнимается у воздуха в каждый момент времени в каждом месте. То есть задача определения температуры воздуха при таком подходе сводится к задаче определения kt. В отличие от строгой постановки задачи сопряженного теплообмена двух сред (воздуха и массива), подход этот привлекателен тем, что позволяет получить достаточно простые аналитические зависимости для расчета температуры воздуха [15]. В 60–80-е гг. прошлого века ввиду недостаточной мощности вычислительных машин получение таких зависимостей было крайне необходимо для инженерных расчетов. В результате развития компьютерной техники и языков программирования ситуация кардинально изменилась. Задачи, которые казались «неподъемными» даже на больших ЭВМ, в настоящее время реализуются и быстро считаются на обычных персональных компьютерах. В связи с этим острая необходимость в упрощенном моделировании процесса теплообмена отпала.

В работе [77] были представлены результаты точного численного решения задачи сопряженного теплообмена рудничного воздуха с породным массивом (в однослойном приближении). Сравнительный анализ результатов выявил существенные количественные погрешности аналитических расчетов [15], что позволяет сделать вывод о «грубости» моделей теплообмена, основанных на «коэффициенте нестационарного теплообмена». Во избежание количественных ошибок в основе моделирования теплообмена рудничного воздуха с горным массивом при пожаре было решено использовать подход, заключающийся в точном численном решении задачи сопряженного теплообмена с помо-

180