книги / Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть

щью преобразований Лапласа. Для температуры T (°С) (отсчитывается от температуры «непотревоженного» массива T∞)

воздуха как функции времени t (единица измерения – r02 / m ,

порядка одного месяца) и координаты z (единица измерения – радиус выработки r0 (м)) в работе был получен следующий результат (для коэффициента теплоотдачи, равного бесконечности):

T0 (t) = T (t, z = 0) – температура воздуха в начале выработки (°С), χm – температуропроводность массива (м2/с), v – скорость

движения воздуха (м/с), cvm и cva – объемные теплоемкости мас-

сива и воздуха (Дж/(°С∙м3)), J0, N0, J1 и N1 – функции Бесселя и Неймана нулевого и первого порядков, p – комплексный параметр, i – мнимая единица, интегрирование ведется вдоль любой прямой с вещественной координатой s Re(p) , большей пока-

Использование зависимости (6.25) для численных расчетов температуры рудничного воздуха выявило следующие важные моменты. Относительно вида τ0 (p) можно сказать определенно, что часть интеграла от t’ > t до +∞ при подстановке в (6.25) обнуляется, поскольку обратное утверждение означало бы зависимость прошлого от будущего, что противоречит принципу детерминизма физических явлений. Таким образом, если вид T0 (t) заранее неизвестен или функция τ0 (p) аналитически посчитана быть не может, то в (6.25) вместо τ0 (p) при численном расчете

следует использовать 0 (p,t ') t 'T0 ( )e p d , где t’ – момент

0

времени, больше текущего t, например, t’ = 1,1t. Выбор значения

181

t’ слишком близким или равным t чреват существенными количественными ошибками при расчете. Причиной тому является

но лемме Жордана [83] при t’–t < 0 равно 2πi, при t’–t > 0 равно 0, а при t’–t = 0 не определено. Из вида (6.25) следует, что удовлетворительная сходимость интеграла при численном расчете обеспечивается, если вещественная часть показателя экспоненты положительна, не очень мала и не очень велика, т.е.

порядка единицы, что означает выбор s ~ 1t . С другой стороны,

вещественная часть аргумента функций Бесселя не должна быть слишком большой (s ≤ 10), поскольку при расчете эти функции аппроксимируются степенными рядами. Это означает, что с помощью формулы (6.25) можно рассчитывать температуру воздуха спустя время t ≥ 0,1 с начала теплообмена, что составляет примерно трое суток в размерных единицах. При уменьшении времени погрешность расчета интеграла быстро увеличивается по причине растущей неточности вычислений функций Бесселя. Формула (6.25) позволяет получить точные результаты при временах свыше суток с начала теплообмена, однако реальное время пожара на 1–2 порядка меньше (часы, минуты).

Чтобы получить возможность рассчитывать изменения температуры воздуха во время пожара в течение малых времен с начала возгорания, можно воспользоваться асимптотическими разложениями функций Ганкеля 1-го и 2-го рода

182

После подстановки (6.26) в (6.25) с учетом того, что

Полученная формула не содержит функций Бесселя, пригодна для расчетов с малыми временами t и является, как будет показано далее, решением задачи сопряженного теплообмена в плоском слое. Действительно, если учесть, что при малых временах с начала возгорания глубина проникновения тепла от горячего воздуха в стенки выработок невелика (мала по сравнению с их радиусом), то задача может быть представлена как плоская. Цилиндрическая задача теплообмена сводится к задаче теплообмена в плоском бесконечном слое, что значительно проще для математического моделирования. Разумеется, при таком переходе следует соблюсти подобие формы, заключающееся в том, что соотношение объема воздуха и поверхности теплообмена не должно измениться. Не сложно убедиться, что подобие цилиндрического и плоского слоя имеет место, если толщина плоского слоя равна радиусу цилиндрической выработки.

Несмотря на то что (6.27) позволяет рассчитывать теплообмен при малых временах, формула не совсем пригодна для расчета изменений температуры воздуха при пожаре по следующим причинам: 1) не учитывается наличие источника тепловыделения в выработке (для выработок, в которых происходит горение); 2) не учитывается зависимость скорости движения воздуха по выработке от времени (воздухораспределение изменяется в результате изменений тепловых депрессий). Эти сопутствующие пожару факторы должны быть учтены на этапе постановки задачи сопряженного теплообмена. Таким образом, расчет теплообмена рудничного воздуха с горным массивом при пожаре

183

сводится к решению задачи сопряженного теплообмена в плоском бесконечном слое при наличии в нем источника тепловыделения и изменяющегося со временем расхода воздуха.

Задача моделируется в плоском однослойном приближении, так как при малых временах теплообмена температурные изменения не доходят до второго слоя, и усложнять модель его наличием нецелесообразно (рис. 6.2). Имеется полупространст-

во массива c объемной теплоемкостью cvm (Дж/(°С∙м3)) и темпе-

ратуропроводностью m (м2/с). В массиве пройдена плоская выработка высотой 2h (м) (слой для определенности предполагается горизонтальным, хотя это и не обязательно), расположенная по оси z (м). Начало выработки находится в начале оси z. В нее подается воздух со скоростью v = v (t) (м/с), температурой

T0 = T0 (t)) (°С) и объемной теплоемкостью cvв (Дж/(°С∙м3)). Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 весь массив имеет одинаковую температуру T (°С), и весь воздух

вканале, за исключением сечения z = 0, имеет ту же температу-

ру T . В сечении z = 0 в начальный момент времени температура воздуха равна T0 (0) и в дальнейшем изменяется со временем

как T0 (t). Пожар в выработке задается функцией тепловыделения W = W (t, z) (Дж/(с∙м3)). Турбулентная теплопроводность воздуха намного больше, чем молекулярная теплопроводность массива, поэтому считается, что температура воздуха по сечению выработки выравнивается мгновенно. В рамках принятой модели идеального вытеснения диффузионный перенос тепла вдоль выработки не рассматривается, тепло переносится исключительно движущимся воздухом. Еще одно упрощение делается

всвязи с тем, что скорость движения воздуха много больше скорости распространения тепла в массиве, значит перепады температур по осям z и x будут разного порядка (если по z – это сотни метров, то по x – это десятки сантиметров). Это позволяет пренебречь распространением тепла в направлении оси z в массиве. Таким образом, и в массиве, и в воздухе рассматривается только теплопроводность в поперечном слою направлении x.

Для упрощения математической записи задачи вводятся безразмерные переменные: расстояние по x и по z измеряется в h

184

(полувысота слоя), время – в h2 / m , единица измерения W –

mcva

h2

водности в массиве в этих переменных имеет вид:

Плотность потока тепла из воздуха в сторону границы ja равна плотности потока тепла jm в массиве от границы вглубь

x 1 . Необходимо составить уравнение баланса теплосодержания Q в элементарном объеме воздуха V сечением S 2hL и

толщиной z (L – произвольная ширина выделенного объема воздуха в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 6.2). Поверхность теплообмена этого объема составляет F 2L z . Поскольку теплопроводность воздуха в направлении x считается бесконечной, то баланс теплосодержания сводится к равенству общего потока тепла за пределы этой поверхности и изменения теплосодержания в данном объеме воздуха:

Рис. 6.2. Теплообмен воздуха с массивом в плоском бесконечном слое

185

производную по z, то оно должно быть еще дополнено значением температуры воздуха в начале выработки как функции вре-

мени (x = ±1, z = 0):

К уравнениям (6.28), (6.30) и (6.31) должно быть добавлено начальное условие:

Так же, как и в цилиндрической постановке, задача сопряженного теплообмена (6.28)–(6.32) может быть решена с помощью преобразований Лапласа. Функция T = T (x, t, z) ставится

в соответствие с ее изображением: (x, p,z) T (x,t,z)e pt dt , где

0

p – комплексный параметр (область определения – Re (p) > 0). Уравнение в частных производных (6.28) для оригинала T сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для изображения :

186

которые получены из условий (6.30) и (6.31) соответственно.

Здесь: w(p,z) W (t,z)e pt dt – изображение функции тепло-

за время t. При численном расчете изображения T0 и W могут быть получены интегрированием от 0 до t’ > t, а не до +∞, так как при обратном преобразовании Лапласа (возврату к оригиналам) части этих интегралов от t’ до +∞ должны обнуляться. При расчете предполагается также, что коэффициент теплоотдачи между воздухом и массивом равен бесконечности, т.е. температуры воздуха и массива на границе раздела одинаковы.

Учитывая, что x 0 (температура «непотревоженного»

массива равна нулю) и по соображениям симметрии задачи(x) ( x) можно заключить, что решение дифференциального

уравнения (6.33) имеет вид:

При подстановке (6.36) в (6.34) при x > 0 получается дифференциальное уравнение

откуда с учетом (6.35) находится A (z)

При x = 1 (отдельно рассматривать нижнюю границу x = –1 смысла не имеет, поскольку задача симметрична) получается:

187

Если источник огня можно считать локализованным в сече-

где (p,z0 ) W (t)e pt dt (при численном расчете интегри-

в сечении z = z0 в безразмерном виде, отнесенное к h. Приближенно функция w (t) может быть представлена в виде

тепла в период времени от t0 до tk. В этом случае ω (p, z0) в (6.39) имеет вид:

188

Восстановление оригинала T (t, z) по изображению (p, z) дается формулой обратного преобразования Лапласа:

s i

Несложно убедиться, что в отсутствии пожара (ω = 0, a a ) формулы (6.39)–(6.41) сводятся к виду (6.27), если положить

h r20 , что доказывает сделанное в начале предположение, что

решение цилиндрической задачи теплообмена (6.25) с помощью асимптотических разложений функций Бесселя (6.26) сводится к решению плоской задачи (6.27) с учетом подобия формы. Наряду с заменой h на r0/2 выражается оно в добавлении коэффициента 2

Сделанное в процессе решения задачи теплообмена допущение о бесконечности коэффициента теплоотдачи является, вообще говоря, не совсем корректным, так как при высоких температурах оно приводит к чрезмерно высокой интенсивности теплообмена. Причина некорректности этого приближения заключается в наличии тонкого пограничного слоя воздуха вблизи стенок массива, интенсивность переноса тепла в котором значительно меньше, чем в основном потоке воздуха и в массиве. Следствием такой теплоизоляции является возникновение перепада температур между основным потоком воздуха и стенками, который будет тем больше, чем выше температура воздуха. Учесть влияние этого немаловажного механизма на теплообмен можно введением в модель конечного коэффициента теплоотдачи α (Дж/(м2·с·°С)), являющегося коэффициентом пропорциональности между потоком тепла из воздуха в массив j и перепадом температур T на границе раздела: j = αΔT.

При α = ∞ значения температур воздуха Ta и массива на границе Tm одинаковы, при α < ∞ они различны, и уравнения

(6.28), (6.30), (6.31) и (6.32) принимают вид (в тех же безразмер-

ных переменных):

189

с дополнительным граничным условием, определяющим скачок температур Ta и Tm на границе

Решение задачи (6.42)–(6.46) от (6.28)–(6.32) ничем принципиально не отличается, и поэтому подробно не излагается. Разница заключается лишь в том, что после проведения преобразований Лапласа решение (6.42) τm с неизвестным коэффициентом A (z) подставляется сначала в (6.46), откуда A (z) выражается через τa, а затем τa находится из (6.43). Полученное выражение аналогич-

но (6.39) и отличается от него лишь заменой комплекса b p на

следующий вид (для простоты источник тепловыделения помещен в начало выработки z0 = 0):

190