книги / Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть

тельной и трудоемкой процедурой. Следует заметить, что метод Ньютона предназначен для решения уравнений и систем уравнений произвольной нелинейности, а система (1.1)–(1.2) таковой не является. Она состоит из двух подсистем, одна из которых (1.1) является линейной, а вторая (1.2) – квадратичной, т.е. слабо нелинейной. Это обстоятельство послужило поводом к разработке других, более эффективных специализированных методов расчета систем уравнений такого типа. Первым из них был метод последовательных приближений (МПП), разработанный в первой половине прошлого века [1]. Суть метода заключается в последовательной поконтурной увязке расходов с постепенным уменьшением невязки давлений в контурах. Метод достаточно прост в реализации, изначально был предназначен для ручных вычислений, так как электронно-вычислительной техники в то время еще не было, и имеет широкую область сходимости по начальным приближениям, в отличие от метода Ньютона.

1.2.МЕТОД КОНТУРНЫХ РАСХОДОВ

Снаибольшей точностью и математической корректностью процедура уменьшения невязки давлений в контурах была реализована в методе контурных расходов (МКР), в котором увязка расходов производится сразу во всех независимых по расходам ветвях сети [2]. Метод сложнее в реализации и занимает значительно больше оперативной памяти, чем МПП, но сходится на порядок быстрее. Алгоритм метода контурных расходов применительно к расчету стационарного воздухораспределения имеет следующую структуру.

1.Задаются начальные приближения расходов воздуха Qk

вхордах графа (независимых по расходам выработках сети).

2.Из решения линейной подсистемы уравнений (1.1) находятся значения остальных расходов воздуха в ветвях дерева графа (зависимых по расходам выработках сети).

3.Подстановкой значений расходов воздуха в правую часть подсистемы уравнений (1.2) находятся невязки давлений во всех независимых контурах.

11

4. Поскольку падения давлений во всех выработках могут быть представлены как функции независимых расходов, то увязка этих расходов может быть связана с невязкой давлений в независимых контурах с помощью стандартной процедуры разложения функции многих переменных в ряд Тейлора с сохранением слагаемых только первого порядка (по аналогии с методом Ньютона):

Здесь i – номер независимого контура от 1 до m, j – номер ветви от 1 до n, k – номер хорды 1 до m, δPi – невязка давлений в i-м контуре, Па, Qj – расход воздуха в j-й ветви, м3/с, Qk – расход воздуха в k-й хорде, м3/с, Δπj = Δπj (Qj) – напорная характеристика источника тяги в j-й ветви (если нет, то 0), Па, Rij – сопротивление j-й ветви в i-м контуре (–Rj, 0 или +Rj в зависимости от наличия ветви в контуре и ее ориентации относительно обхода

контура), Па/(м3/с)2. Производные Qj находятся из решения

Qk

подсистемы уравнений (1.1), производные ( j ) определяют-

Qj

ся аналитически или численно в зависимости от сложности напорных характеристик. Из решения системы уравнений (1.3) определяются значения увязочных расходов Qk.

5.Определяется очередное приближение расходов воздуха

вхордах Qk( 1) Qk( ) Qk (ξ – номер итерации), и процесс по-

вторяется с пункта 2. Расчет прекращается, когда значения невязок давлений в контурах становятся меньше заданного значения.

1.3.МЕТОД УЗЛОВЫХ ДАВЛЕНИЙ

Вработах [2] и [3] изложен другой специализированный метод решения системы уравнений (1.1)–(1.2) того же уровня сложности, что и МКР, но принципиально от него отличающийся. Это – метод межузловых депрессий (ММД) [3] (другое название – метод узловых давлений [2]). Суть метода заключается

12

в уменьшении невязки расходов воздуха в узлах путем увязки падений давлений во всех независимых по давлениям выработках [3] (либо увязки давлений во всех узлах [2]). Это означает, что ММД симметричен МКР относительно порядка решения подсистем (1.1) и (1.2). Преимуществом ММД перед МКР является тот факт, что уменьшаемая невязка расходов в узлах позволяет говорить о точности их вычисления, в то время как результат решения уравнений с помощью МКР позволяет оценивать лишь точность вычисления давлений. По результатам проведенных численных экспериментов [4] установлено, что ММД имеет сходимость гораздо хуже, чем МКР.

Применительно к ММД система уравнений (1.1)–(1.2) записывается в виде:

Здесь s – номер узла, i – номер независимого контура, j – индекс суммирования по номерам ветвей, инцидентных узлу с номером s в подсистеме (1.6), и по номерам ветвей, входящих в контур с номером i в подсистеме (1.4), Pj, Па – падение давления вместе с напором источника тяги Δπj, Па в ветви с номером j (с индексом s – для ветвей, инцидентных узлу s, с индексом i – для ветвей контура i). Знаки выбираются по тем же правилам, что и в системе (1.1)–(1.2).

Алгоритм метода межузловых депрессий имеет следующий вид:

1.Задаются начальные приближения падений давлений Ps, Па в ветвях дерева графа (независимых по давлениям выработках сети). Либозадаютсядавленияво всехузлахграфа,аPs рассчитываются.

2.Из решения линейной подсистемы уравнений (1.4) находятся значения остальных падений давлений на хордах графа (зависимых по давлениям выработках сети).

13

3.По формуле (1.5) определяются все расходы воздуха.

4.Подстановкой значений найденных расходов в правую часть подсистемы уравнений (1.6) находятся невязки расходов во всех узлах.

5.Поскольку расходы воздуха во всех выработках могут быть представлены как функции независимых падений давлений, то увязка этих падений может быть связана с невязкой расходов в узлах по аналогии с МКР:

Здесь s – номер узла от 1 до v, j – номер ветви от 1 до n, t – номер ветви дерева от 1 до v, δQs, м3/с – невязка расходов в s-м узле, Pj, Па – падение давления в j-й ветви (с напором источника тяги), Pt, Па – падение давления в t-й ветви дерева (с напором источника тяги), Rsj, Па/(м3/с)2 – сопротивление j-й ветви (–Rj, ∞ или +Rj в зависимости от инцидентности ветви s-му узлу и ее направленности – в узел (+) или из узла (–)). Если

Pj

Pt

находятся из решения подсистемы уравнений (1.4). Из решения системы уравнений (1.7) определяются значения увязочных давле-

ний Pt.

6. Определяется очередное приближение перепадов давлений в ветвях дерева Pt(r 1) Pt r Pt (r – номер итерации), и про-

цесс повторяется с пункта 2. Расчет прекращается, когда значения невязок расходов в узлах становятся меньше заданного значения.

1.4.МЕТОД ГЛОБАЛЬНОГО ГРАДИЕНТА

Вбольшинстве зарубежных литературных источников при выборе алгоритмов расчета воздухораспределения отдается предпочтение так называемому методу глобального градиента (МГГ) [5]. По мнению автора [5], согласно проведенным им исследованиям МГГ является наиболее быстрым из всех методов

14

решения системы вентиляционных уравнений. Исходная система уравнений МГГ отличается от (1.1)–(1.2) тем, что система независимых контуров не выделяется, а второй закон сетей записывается для каждой из ветвей с добавлением неизвестных давлений в узлах вентиляционной сети.

1.5. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ И ОБЛАСТЕЙ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДОВ НА ВЕНТИЛЯЦИОННЫХ СЕТЯХ РАЗЛИЧНОЙ СЛОЖНОСТИ

Алгоритмы МПП, МКР и ММД были реализованы численно и проанализированы на предмет сходимости при расчете воздухораспределения для вентиляционных сетей реальных рудников. Результат: МПП сходится медленно, МКР сходится на порядок быстрее и ММД не сходится вообще. Оказалось, что причина плохой сходимости ММД заключается вовсе не в преобладании недиагональных элементов в узловой матрице (матрице Максвелла), как утверждается в [2], а в большой разнице аэродинамических сопротивлений выработок реальных рудников (от 10–10 кмюрг для сбоек до 1000 кмюрг для перемычек). Численный эксперимент показал, что ММД начинает сходиться при разнице сопротивлений не более трех порядков, а при разнице в два порядка сходится не хуже МКР. Причина расходимости ММД заключается в том, что при большой разнице сопротивлений двух соседних последовательных ветвей на одной из них с большим сопротивлением падает весь напор, а на другой ветви с меньшим сопротивлением падение напора практически равно нулю. Ноль оказывается в знаменателе выражения (1.7), что и не дает итерационному процессу ММД сойтись, – он осциллирует с огромным шагом вокруг этих нулевых решений. Поэтому метод межузловых депрессий в классическом виде непригоден для расчета воздухораспределения в реальных вентиляционных сетях.

В работе [3] предложен способ улучшения сходимости ММД, основанный на введении дополнительного линейного (ламинарного) сопротивления выработки RЛ с заменой стан-

дартного квадратичного закона P RQ2 на комбинированный

15

P RЛQ RQ2 . Эффективность такого способа борьбы с рас-

ходимостью метода очевидна, поскольку наличие линейного слагаемого решает «проблему деления на ноль». Однако физическая корректность подобного подхода к моделированию аэродинамического сопротивления горной выработки представляется сомнительной.

Проблема сходимости ММД может быть решена следующим образом [116]: чтобы избежать появления нулевых величин в знаменателе, в качестве независимого базиса следует взять не перепады давлений, а расходы воздуха в ветвях дерева, т.е. не Pj,

а не по Pj. В результате таких преобразований изменяются пункты 5 и 6 алгоритма ММД (пункты 1–4 остаются прежними).

5. Поскольку расходы воздуха во всех выработках могут быть представлены как функции расходов в ветвях дерева, то увязка этих расходов может быть связана с невязкой расходов в узлах:

Здесь s – номер узла от 1 до v, j – номера инцидентных узлу

s ветвей, t – номер ветви дерева от 1 до v, δQs – невязка расходов в s-м узле, м3/с, Qj – расход в j-й ветви, м3/с, Qt – расход в t-й

подсистемы уравнений (1.4), после чего определяются произ-

ределяются аналитически или численно в зависимости от сложности напорных характеристик источников тяги i i (Qi ).

16

Из решения системы уравнений (1.8) определяются значения увязочных расходов Qt.

6.Определяется очередное приближение перепадов давлений

вветвях дерева Pt(r 1) Rt Qt(r ) Qt Qt(r ) Qt t Qt(r ) Qt

(r – номер итерации), и процесс повторяется с пункта 2. Расчет прекращается, когда значения невязок расходов в узлах становятся меньше заданного значения.

Разработка и численная реализация алгоритма метода межузловых депрессий с проведенной корректировкой увязочных зависимостей подтвердила сделанные предположения о причинах плохой сходимости метода применительно к расчету воздухораспределения в вентиляционных сетях рудников в традиционной математической форме. После проведенных математических преобразований сходимость метода была восстановлена, правда, с несколько меньшей скоростью, чем у МКР. Полученный результат позволяет использовать ММД в качестве альтернативного метода расчета для случаев, в которых сходимость МКР может быть нарушена, что повышает надежность проведения сетевых расчетов, в особенности многократных пересчетов нестационарного аварийного воздухораспределения.

В целях определения эффективности использования методов МГГ и МКР для расчетов воздухораспределения был произведен сравнительный анализ их функционирования в различных условиях. Численные алгоритмы методов были предварительно тщательно оптимизированы на предмет исключения из расчетов нулевых элементов матриц, обращение к которым занимает большую часть времени расчета в случае пренебрежения процедурой оптимизации.

Анализ проводился с помощью расчета воздухораспределения в двух вентиляционных сетях. Топология сетей отличалась соотношением количества ветвей и узлов. Первая сеть являлась разреженной, состоящей из 440 ветвей и 294 узлов, что соответствует уровню сложности реальной сети рудника. Вторая сеть была усложнена искусственно и состояла из 500 ветвей и 194 узлов.

17

Суть алгоритма МКР – решение системы m контурных уравнений для m независимых расходов, где m = n – k + 1, n – число ветвей, k – число узлов, т.е. в первой сети m = 147, а во второй – m = 307. Суть алгоритма МГГ – решение системы, состоящей из k – 1 узловых уравнений для всех расходов и n уравнений, отражающих второй закон сетей для каждой из ветвей. Таким образом, МГГ решает систему r = n + k – 1 уравнений относительно неизвестных n расходов в ветвях и k – 1 давлений в узлах в (1.1) (r = 733 для первой сети и r = 693 – для второй). В МКР критерием сходимости является величина невязки расходов в контурах. В МГГ сходимость оценивается по относительному изменению значений расходов и давлений в итерационном процессе. На первый взгляд кажется, что МКР предпочтительнее МГГ для численного расчета по количеству решаемых уравнений. Однако матрица системы уравнений МГГ является более разреженной, что является определенным преимуществом. Кроме того, алгоритм численной реализации МГГ значительно проще, поскольку в нем не требуется проведения сложной процедуры выделения системы независимых контуров.

Сходимость методов оценивалась по трем характеристикам – 1) скорости сходимости (количество итераций), 2) скорости одной итерации и 3) области сходимости.

1.Численный эксперимент на указанных двух сетях показал, что скорость сходимости методов по количеству итераций примерно одинакова. Точную оценку дать нельзя ввиду невозможности задания одинаковых критериев сходимости для обоих методов.

2.Скорость одной итерации зависит от сложности сети. По количеству решаемых уравнений можно судить, что для МКР предпочтительнее первая сеть, а для МГГ – вторая. Для первой сети скорость вычисления одной итерации в МКР оказалась в несколько раз выше, чем в МГГ. Для второй сети – результат обратный: итерация МГГ делается примерно во столько же раз быстрее, чем в МКР.

3.Область сходимости оценивалась путем существенного изменения напора источника тяги и величины требуемой точности. Во всем диапазоне изменяемых значений напора и точности

18

вычисления невязки давлений в контурах для обеих сетей сходимость МКР нарушена не была. Что касается МГГ, то аналогичная сходимость имела место только для первой сети. Для второй (усложненной) сети сходимость нарушалась при уменьшении точности и увеличении напора ГВУ.

По результатам проведенного численного эксперимента были сделаны следующие выводы относительно работоспособности анализируемых методов:

чем сложнее сеть, т.е. чем больше соотношение количества ветвей и узлов, тем быстрее считает МГГ и медленнее МКР,

инаоборот, чем проще сеть, тем быстрее считает МКР и медленнее МГГ;

чем сложнее сеть, тем меньше область сходимости МГГ, область сходимости МКР не изменяется.

Сучетом того, что степень сложности рудничных вентиляционных сетей значительно ниже, чем у водопроводных, можно заключить, что в большинстве случаев расчета воздухораспределения наиболее эффективным будет являться метод контурных расходов.

19

ГЛАВА2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ И ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ПРОВЕТРИВАНИЕ РУДНИКОВ

2.1. ПОТЕРИ ДЕПРЕССИИ НА СОПРЯЖЕНИЯХ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК

Расчет воздухораспределения в вентиляционной сети невозможен без знания аэродинамических сопротивлений ее отдельных элементов. Элементами рудничной вентиляционной сети являются горные выработки либо группы соседних выработок, объединенных по какому-нибудь характерному признаку. Сопротивления выработок определяются по результатам воздушнодепрессионных съемок (ВДС), а также расчетным способом с использованием зависимостей, полученных на основании обработки многочисленных экспериментальных данных [6]. Как правило, при проведении обработки результатов ВДС и составлении расчетных схем вентиляционных сетей считается, что потери депрессии приходятся лишь на трение движущегося воздуха о стенки выработок, т.е. учитываются только линейные сопротивления. Однако, как показывают экспериментальные исследования, вклад местных сопротивлений изгибов, тройников, сужений и расширений в распределение расходов воздуха не так уж мал, составляет, например, для калийных рудников приблизительно 30 % и возрастает с увеличением сечений выработок. Определение этих сопротивлений из результатов ВДС представляется затруднительным по причине невозможности их явного выделения из линейных сопротивлений выработок. Поэтому основной способ определения сопротивлений сопряжений – это расчет по формулам.

Имеющиеся в литературе по рудничной вентиляции зависимости для определения аэродинамических сопротивлений сопряжений выработок ограничиваются несколькими вариантами плоских тройников [6]. Вид и единообразие коэффициентов свидетельствуют о том, что зависимости носят не эксперимен-

20