и пространстве, все неопределенности сглаживаются при интегра­ ции в систему. В то же время конкретное исследование работы существующей станции очистки в период дождей требует высокого разрешения по времени, чтобы можно было учитывать быстрые изменения параметров процесса при кратковременных изменениях нагрузки, вызванных дождем.

Необходимый уровень агрегации определяет уровень сложности выбираемой модели. При выборе структуры модели всегда стре­ мятся найти компромиссное решение. Решать указанную проблему нужно, исходя из тех задач, которые стоят перед вами. Этот выбор мы обсудим подробнее в разд. 11.3.

11.3. Калибровка модели и оценка параметров

11.3.1.Структура модели

Впонятие модели входят структура модели, ее переменные и параметры. Идеальная модель максимально универсальная. Огля­ дываясь на предыдущие 500 лет развития науки, можно сказать, что воплотить это не так-то просто, накопление информации проис­ ходит с затратой соответствующего времени. Идеальная модель — это простая модель, которая, как показывает метод индукции, пол­ ностью отвечает масштабам требуемых инженерных приложений.

Никто не будет сомневаться в универсальности концепции мас­ сового баланса в качестве надежного инструмента для моделирова­ ния. Другой вопрос, с какой точностью мы можем обозначить ком­ поненты, входящие в эти уравнения. Приведем пример. Уравнения, описывающие рост бактерий, хорошо известны, см. выражения (3.1) и (3.2) в разделе 3.2.1. Несмотря на то, что эти уравнения являются общепризнанной формулировкой роста и прироста, также хорошо известно, что они представляют собой всего лишь упрощенное описание гораздо более сложной реальной системы взаимодействий между организмами и окружающей средой, управляемой фермен­ тативными активностями. Безоговорочно принимается, что эти выражения применимы и что три входящие в них параметра — максимальная скорость роста, коэффициент прироста биомассы и константа насыщения — являются постоянными. Приемлемо ли это предположение, целиком зависит от конкретных инженерных проблем. Искусство применения моделей состоит в понимании того, когда подобные предположения являются достаточно хорошей аппроксимацией данной ситуации к действительности. Достичь

этого можно исключительно путем индукции, т. е. опытным путем. Преимущество подобных формулировок состоит в том, что модель представляет собой упрощенную конденсированную форму гораздо более сложного опыта, для которого отсутствует структура, иным образом связанная с опытом. Формулировка может претендовать на универсальность только в пределах накопленного опыта.

Проблема универсальности является решающей. Невозможно провести научное исследование применимости всех компонентов модели для каждого практического случая. Объявляя ту или иную формулировку универсальной, полагаются на априорные знания законов природы и их применимости. Цель данной книги по сути дела состоит в том, чтобы представить в сжатой форме те знания, которые применимы для моделирования очистных сооружений.

Трудно протестировать структуру модели иначе как методом проб и ошибок в сравнении с суммой априорных знаний. Однако в каждом конкретном случае следует внимательно анализировать от­ клики модели с точки зрения ее применимости. Проиллюстрируем это несколькими примерами.

Нитрифицирующие бактерии чувствительны к присутствию ин­ гибиторов в коммунальных стоках (см. разд. 3.4.4). Ингибирование может привести к необходимости в изменении вида уравнения роста и(или) значений констант. Для описания таких ситуаций существует несколько новых формулировок уравнения роста и введены новые параметры.

Коэффициент прироста биомассы не является константой, по­ скольку бактерии способны накапливать питательные вещества и использовать их позднее. Описание этого явления требует новой формулировки уравнения роста, см. гл. 3.

Изменения популяции в реакторах может влиять на свойства бактерий, поэтому уравнения роста и (или) его параметры могут меняться. Простого набора опций для альтернативных формулиро­ вок уравнений в этом случае не существует.

11.3.2. Калибровка, верификация и оценка параметров

При любом применении модели важно определить параметры, ко­ торые описывают интересующую ситуацию. Некоторые параметры достаточно хорошо определены, они являются априорными. Это относится к ускорению силы тяжести, вязкости воды, некоторым стехиометрическим константам и т. д. Никто из тех, кто занимается моделированием очистных сооружений, не определяет указанные

параметры на основе конкретных локальных исследований. На­ против, в ряде ситуаций известно, что параметры зависят от конкретных условий и должны определяться на их основе. Этот очень важный процесс осуществляется в несколько этапов

Калибровка параметров

Наиболее часто для подгонки модели к реальной ситуации исполь­ зуют процедуру, называемую калибровкой. Этот подход основан на определении временных серий зависимостей между нагрузкой на очистное сооружение и соответствующими концентрациями обработанных стоков. Такая комбинация данных на входе и вы­ ходе отражает превращение вещества, осуществляемое при работе станции, т. е. именно то, что и должна имитировать модель. Теперь задача состоит в том, чтобы, меняя параметры модели, добиться наилучшего совпадения с выходными данными по обработанному стоку. Обычно это делают эмпирически — методом проб и ошибок. Наилучший набор параметров — тот, который приводит к наимень­ шему стандартному отклонению в разности между реальными и модельными данными.

Верификация параметров

Для оценки результатов работы модели с уже выбранными па­ раметрами необходимо использовать новые серии зависимостей между нагрузкой и концентрацией на выходе. Это необходимо для того, чтобы сверить совпадение модели и реальной системы без подгонки параметров. Такую процедуру часто рассматривают как оценку качества модели. Называют этот этап верификацией. На практике половину данных из серий используют для калибровки, а остальные данные — для верификации работы модели.

Причины для беспокойства при интерпретации результатов, безусловно, имеются:

— Не существует никакой гарантии, что другой набор парамет­ ров не приведет к такому же совпадению модели и реальности. Другими словами, набор параметров, определяемый в данной процедуре, не является единственным. Действительно, если число параметров, которыми вы можете манипулировать, достаточно велико, то в нахождении хорошего совпадения не будет особых затруднений, как это показано ниже.

— Набор данных может не содержать информации, позволяю­ щей определять параметры на их основе. Некоторые параметры могут быть неидентифицируемыми на основе данной серии экс­ периментальных данных, см. ниже.

— Предположим, что две серии данных идентичны по своим статистическим характеристикам (относятся к одной и той же статистической популяции). В такой ситуации не следует и ожидать расхождений при верификации модели, за исключением вариаций внутри стандартного отклонения. Почему бы тогда не использовать целые серии для определения стандартного отклонения подгонки и рассматривать это отклонение как меру подгонки.

— Предположим, что две серии данных различаются по стати­ стическим характеристикам, тогда весь подход является неверным, а результат может быть справедливо оценен как непригодный. Однако, причина здесь может быть в недостаточном наборе параметров. Может быть более благоразумно использовать для ка­ либровки целые серии данных, поскольку более широкий диапазон информации приведет к лучшей калибровке.

Процедура калибровки/верификации имеет одно несомненное достоинство:

— Эта процедура может выявить сверхпараметризацию, т. е. из информации, предоставленной конкретной серией данных, тре­ буется определить слишком много параметров. В таком случае при калибровке может быть получен хороший результат, но он не выдержит верификации. На самом деле большинство моделей эмпирически недоопределены сериями данных, поскольку исполь­ зуемые на практике данные содержат недостаточно информации.

При усложнении модели увеличивается число параметров, ко­ торые должны быть прокалиброваны. Существуют примеры того, как усложнение и детализация модели приводит к ухудшению ее соответствия и предсказательной способности в результате сверхпараметризации.

Тенденция такова, что в зависимости от качества наборов данных лишь небольшое число строго определенных параметров может быть прокалибровано таким способом. Решение проблемы состоит в том, чтобы выбрать, какие параметры нужно калиб­ ровать, а какие рассматривать как определенные априорными знаниями. Искусство состоит в правильном выборе параметров для калибровки, поскольку они должны определяться из доступного набора данных, а априорных знаний должно быть достаточно для приписывания остальным параметрам их значений.

Оценка параметров

Для оценки параметров существуют статистические процедуры. Их ценность в том, что они могут быть применены для опреде­ ления оптимальных значений параметров, которые удовлетворяют выбранным статистическим критериям. В результате такой про­ цедуры будет выявлена неопределенность, с которой подобраны параметры, а также идентифицируемость их на основе доступных данных. В результате работы будет также установлено стандартное отклонение соответствия модели и информации, использованной для ее калибровки. Это те процедуры, которые следует реко­ мендовать. Проблема в том, что они очень трудоемки и весьма специализированы в применении.

Планирование эксперимента

Из опыта известно, что на практике применение моделей основано на неадекватных данных. Сам того не осознавая, автор модели применяет ее к неподходящим данным и считает, что калибрует модель для практического использования. Как следствие, модель может быть экстраполирована далеко за пределы того диапазона, который был охвачен экспериментальными данными, и за пределы применимости модели.

Решение проблемы состоит в планировании эксперимента. Осно­ вополагающее правило такого подхода требует, чтобы эксперимен­ тальный данные содержали сведения, необходимые для идентифи­ кации искомого параметра. Проиллюстрируем это примером. Если мы хотим определить значение Ks в уравнении роста, то довольно очевидно, что из эксперимента должны быть получены значения скоростей роста, соответствующие концентрациям ниже 2KsЕсли такие данные отсутствуют, то определить Ks не представляется возможным. Однако в обычной процедуре калибровки отсутствует указание не фиксировать значение Ks, кроме тех случаев, когда метод проб и ошибок покажет, что изменения Ks не влияют на качество модели. В более сложном случае необходимо провести анализ чувствительности модели к параметру Ks. Если данные, от­ носящиеся к необходимому диапазону концентраций, отсутствуют, то приходится считать Ks априорно известной величиной. Реальная альтернатива заключается в таком планировании эксперимента, которое позволило бы найти значения скоростей в том диапазоне концентраций, из которого можно рассчитать величину Ks, т. е.

сделать Ks идентифицируемой из конкретных экспериментальных условий. Это рассуждение применимо ко всем параметрам, опреде­ ляемым на основе данного параметра, например для нахождения

Рмакс через Ks и ^макс.

Суть в том, чтобы серии данных отражали возмущения, вы­ зываемые кратковременными изменениями нагрузки, перекрывая максимально возможный диапазон ситуаций. Сказанное выше представляет интерес применительно к проводимым на станции процессам. Для получения адекватной информации необходимо, чтобы станция очистки работала при максимально возможных изменениях условий, но без ухудшения качества обработанных стоков. В стандартной же практике работы на станции очистки пытаются поддерживать максимально возможную стабильность условий. Забавно, но в таких условиях можно получить лишь мини­ мальную информацию о кинетических закономерностях процесса.

В заключение следует сказать, что используя моделирование, необходимо проявлять особое внимание к предъявляемым конкрет­ ным требованиям, необходимо выбрать надлежащую структуру модели и соответствующий подход к определению параметров модели. Одни параметры могут быть адекватно определены из априорных данных, и им должны быть приписаны соответствую­ щие значения, другие должны быть определены для конкретной ситуации. Это требует планирования эксперимента, в котором либо определяют связь между данными на входе и выходе при адекватных возмущениях системы, либо проводят соответствующие эксперименты в лаборатории или в режиме реального времени на действующей станции очистки.

Неопределенность модели \

Любое предсказание на основе моделирования содержит некоторую неопределенность. Величину этой неопределенности можно уста­ новить при оценке параметров или из стандартного отклонения, однако, экстраполировать данные следует достаточно осторожно. Неопределенность экстраполяции можно оценить, если принять, что структура модели является хорошей аппроксимацией реально­ сти и что параметры модели являются постоянными величинами, подверженными только статистическим изменениям. Любое пред­ сказание в действительности должно предсказывать усредненную характеристику процесса и давать оценку неопределенности. На