книги / Гидравлика.-1

Пропорциональность всех этих сил означает полное гидродинамическое подобие.

Пересчет параметров натурного и модельного потоков выполняют используя коэффициенты масштабов подобия.

Масштаб геометрического подобия

где LMи LH- длины сходственных отрезков модели и натуры, м. Масштаб кинематического подобия

у

a v = — = const

где vMи vH—скорости в сходственных точках модельного и натурного потоков, м/с.

Например,

Отношение характерных размеров г\ и Rmæi натурного и модельного потоков равно коэффициенту геометрического подобия

J L = „ . Тогда можно записать

Последнее выражение называют законом распределения безразмерной скорости в сечении трубопровода.

Масштаб динамического подобия можно представить как

a.. = — = const

где FMи FH- силы, действующие на сходственные сечения модельного и натурного потоков, Н.

По закону Ньютона силы инерции

где m - масса, кг;

а - ускорение, м/с2 Тогда масштаб динамического подобия

где р - динамическая вязкость жидкости, Па-с; р - плотность жидкости, кг/м3

Приравняем левые части последних полученных уравнений к правой части уравнения для масштаба динамического подобия и получим

V • L

= idem = Re _ критерий Рейнольдса.

Критерии Эйлера, Фруда и Рейнольдса являются критериями гидродинамического подобия.

Критерий Эйлера представляет собой отношение силы давления (или перепада давления в двух характерных точках потока) к силе инерции потока. Его иногда называют коэффициентом давления в данной точке. Следовательно, равенство критериев Эйлера в динамически подобных потоках обеспечивает подобие сил давления.

Критерий Фруда характеризует соотношение между силой инерции и силой тяжести, действующими на элементарный объём жидкости или газа. Его применяют при моделировании движения кораблей, течений жидкостей в открытых руслах (безнапорных потоках), испытаниях моделей гидротехнических сооружений и др.

Критерий Рейнольдса определяет отношение инерционных и вязкостных сил. Число Рейнольдса как критерий перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения и обратно относительно хорошо действует для напорных потоков. При переходе к безнапорным потокам переходная зона между ламинарным и турбулентным режимами возрастает, и использование числа Рейнольдса как критерия не всегда правомерно.

Таким образом, в подобных потоках критерии подобия, пропорциональные отношениям отдельных действующих сил к силам инерции частиц, имеют одинаковые числовые значения.

Важнейшим следствием подобия потоков является одинаковость безразмерных коэффициентов, например коэффициентов кинетической энергии (а = idem), коэффициентов сопротивления (Ç = idem, X = idem). Изменение Re означает, что меняется соотношение основных сил в потоке, в связи с чем указанные коэффициенты могут также несколько меняться. Поэтому все эти коэффициенты следует рассматривать как функции Re (хотя в некоторых интервалах Re они могут оставаться постоянными).

Размерные сходственные величины пересчитываются умножением на постоянные множители, величины которых зависят от масштабов геометрического (а Д кинематического подобия (ccv) и динамического (а/г) подобия потоков.

Рассмотрим следующий пример. Известен расход модельного потока QM. Необходимо определить расход натурного потока QH.

Если Qu = vM-SM, то Q» =

где S„, S», - площадь сечения каналов, м2

Откуда линейная скорость и площадь живого сечения натурного потока

установить наиболее целесообразную методику их проведения и порядок обработки результатов опытов.

В практике гидравлических исследований метод анализа размер­ ностей нашел широкое применение. Этот метод позволяет заранее оп­ ределить основные критерии подобия, в которых следует обрабатывать результаты опытов, а также обобщать их и устанавливать закономерности, отражающие исследуемый процесс.

Исходным для метода анализа размерностей является то, что любое математическое уравнение, описывающее физический процесс, обязательно должно быть размерно-однородным.

Это означает, что обе его части имеют всегда одинаковую раз­ мерность независимо от выбора системы физических величин.

Свойство однородности является основой теории размерностей. В механике в качестве основных физических величин принимают длину L, массу М и время Т. Они независимы друг от друга.

В механике жидкости и газа не всегда удается воспользоваться основными физическими величинами, тогда принимаются любые, независимые друг от друга, например плотность, скорость, время.

Достоинством метода является то, что при его применении достаточно знать основные переменные величины, характеризующие данный процесс, само же уравнение, описывающее этот процесс, может быть неизвестно.

Обычно задача анализа размерностей решается путем определения физических величин, которые полностью характеризуют данный

164

процесс. Затем устанавливается характер зависимости между вы­ деленными величинами, исходя из принципа однородности раз­ мерности с помощью так называемой я-теоремы.

Сущность я-теоремы состоит в следующем. В общем случае я-тео- рема устанавливает связь между теорией подобия и теорией размерностей.

Предположим, что переменная величина А\ зависит от ряда пере­ менных: А2, A3, Ап, участвующих в каком-либо физическом процессе, и не зависит от каких-либо других переменных.

Тогда общая функциональная зависимость между этими величи­ нами может быть представлена уравнением

Д = / ( 4 > 4 > - А ) или 4 ( 4 , а2, а3,..., 4 , ) = Q

Пусть число определяющих размерных единиц, через которые могут быть выражены все п переменные, равно т.

71-теорема формулируется так.

Уравнение, связывающее между собой п размерных физических величин, характеризующих рассматриваемое явление, среди которых т обладают независимой размерностью, может быть преобразовано в п-т безразмерных комплексов, составленных из указанных величин.

л-теорема устанавливает, что если указанные п переменных вы­ разить через эти основные единицы, то их можно сгруппировать в п-т

безразмерных л-членов

F ( Т1\) Л2, Лз,. . . Л/;-///) — О,

где каждое число л представляет собой безразмерное произведение нескольких Л, т о есть число членов в физическом уравнении сокращается до п - т. Причем каждый такой л-член будет содержать (т + 1) переменную величину. В гидродинамических задачах число таких переменных, входящих в л-члены, должно равняться четырем.

Три из них - определяющие: характерный размер (диаметр d),

скорость течения жидкости v и ее плотность р (или вязкость ц) входят в каждый из л-членов и только четвертая заменяется другой при переходе от члена к члену.

Для удобства исследования показатели последних принимаются равными 1. Показатели степени определяющих переменных неиз­

вестны. Обозначим их JC, у, z с индексами, соответствующими индексам

Выражаем затем входящие в я-члены переменные через основные независимые размерности, но поскольку эти члены являются безразмерными во всех полученных для них выражениях, то показатели степени каждой из основных размерностей должны обязательно рав­ няться нулю.

Пример применения тс-теоремы

Рассмотрим применение тг-теоремы для определения опытным путем потерь напора на трение по длине потока при равномерном напорном движении по трубам вязкопластичной бингамовской жидкости.

Известно, что потери напора, а следовательно и давления Ар, зависят от следующих факторов:

-геометрических характеристик трубопровода диаметра d, длины /, шероховатости стенок Д;

-физических свойств жидкости: плотности р, динамической вязкости р, начального напряжения сдвига то;

-средней скорости течения v.

Общую функциональную зависимость, связывающую эти величи­ ны, представим уравнением

Дp = f{d ,l, р, v, р,то, Д)

или

ф(Ap/l, d, р, v, р, То, Д).

Взадачах прикладной механики жидкости и газа имеются три физи­ ческие величины, имеющие независимые размерности: масса [М], время [7], длина [L], то есть в этих задачах следует принимать т = 3. Это

позволяет составить уравнение размерностей для каждого л-члена, соблюдая при этом обязательное условие их размерной однородности. Так как число основных размерных величин равно трем (т = 3), а переменных

величин в последнем уравнении семь (п = 7), то получим уравнение, состоящее из п - т безразмерных л-членов

/ ( я , , Я 2, 7Ü3, щ) = 0 .

Каждый л-член должен содержать четыре переменные величины. Принимаем в качестве определяющих переменных величин следующие:

-диаметр трубопровода d\

-среднюю скорость v;

-плотность жидкости р.

Комбинируя их поочередно с остальными переменными, получим 71, = d x' ■V*’1-pZ| -|I

Составим уравнения размерностей для каждого из л-членов, имея в виду обязательное условие их размерной однородности. Для первого члена имеем

л, =dx' - v-'1-р-'1 ц '1=LX' -iÀ

Найдем степени размерностей в левой части последнего уравнения л, = Lw '~3z'+1• Т~у'+] • Л/г,_1 = I? • Т° • М°

Приравнивая к нулю показатели степени при одинаковых осно­ ваниях х, получим систему уравнений с неизвестными JCI,уи z\

х, + у, -3-г, + 1=0 -У, + 1 -0 г,-1= 0

Из совместного решения уравнений этой системы находим

х, =1; ^,=1; х,=1; я, = J 'V - p '- p - '

Подставив эти значения показателей степени в первый я-член исходной системы уравнений, получим

d v р

я ,= ------- ,

Ц

где найденное значение Я) представляет собой критерий Рейнольдса

Re = i - v-'-E'

Р

Для второго я-члена имеем

= - +I • Т ~у2+2 • М ^ 1= 1° • Г • А/° Отсюда запишем систему уравнений

*2 + - 3 • z2 +1 = 0

-у 2 + 2 = 0 z2 -1 = 0

х3 + у3 - 3z3 -1=0;

- у 3=0; z3 =0.

Решая систему уравнений, получим

Отсюда

*4 “ У4-3*4+2 = 0 _У4 +2 = 0

z4 -1 = 0

Решая полученную систему уравнений, получим

* 4 = -i; у 4 = 2’ z4 = 1-

Тогда

л4=</-'у2 р'

или

v2 p •/

714 d -Ар'

Подставив значения я-членов уравнение, состоящее из п-т

безразмерных я-членов, получаем соотношение

Решая это уравнение относительно Л4, находим

Выделим Ар из последнего уравнения и получим

Знаменатель последнего выражения представляет собой критери-

(Ильюшина), есть характеристика пластичности жидкости.

Отношение d/A является характеристикой геометрического подо-

бия д - I- Следовательно, можно выразить А в следующем виде

Для ньютоновской жидкости то = 0, поэтому при турбулентном ре­ жиме имеем