книги / Гидравлика.-1
.pdfРис. 87. Фазы гидравлического удара
Но такое состояние неравновесное. Поскольку у источника давление ро, а в трубе р = р 0+ Друд, то жидкость начнёт двигаться в сторону меньшего давления, т.е. из трубы в резервуар (см. рис. 87, в).
Этот процесс начинается от начала трубы. Жидкость будет вытекать из трубы в резервуар с некоторой скоростью vo. Сечение п - п ударная волна) начнёт перемещаться к концу трубы со скоростью с. При этом давление в трубе будет снижаться до р 0.
Этот процесс будет происходить в период времени l/c < t< Ъ1/с. Энергия деформации жидкости переходит в кинетическую
энергию, и жидкость приобретает некоторую скорость v0, направленную в обратную сторону. Во всём трубопроводе вновь устанавливается давление /?о(см. рис. 87, г ) .
По инерции жидкость продолжает двигаться к началу трубы и начинает испытывать деформации растяжения, что приводит к уменьшению давления вблизи заслонки. Возникает отрицательная ударная волна, движущаяся от конца трубы к началу со скоростью с, и за фронтом волны остается сжатая труба (см. рис. 87, à). Кинетическая энергия снова превращается в энергию деформации (сжатия).
В момент времени t = 3 //с вся труба окажется сжатой, а волна достигает начала трубы (см. рис. 87, е). Давление вблизи источника выше, чем во фронте, поэтому такое состояние неравновесное. Из-за этого слои жидкости под действием перепада давления начинают двигаться к концу трубы (к заслонке) с некоторой скоростью vo > 0, а давление поднимается до р 0 (см. рис. 87, ж).
Поэтому период времени 3Л/с < t < 4-1/с происходит процесс выравнивания давления в трубопроводе. При этом происходит движение ударной волны со скоростью с от начала трубы к её концу.
Вмомент времени t = 4Л/с ударная волна достигает конца трубы.
Идалее весь процесс повторится сначала.
При исследовании этого процесса возникает три основных вопроса. Первый - какова скорость протекания этого колебательного процесса и от чего она зависит? Второй вопрос - как сильно меняется давление в трубопроводе за счёт описанного процесса? И третий - как долго может протекать этот процесс?
Скорость распространения гидравлической ударной волны в трубопроводе
Изменения давления и скорости потока в трубопроводах происходят не мгновенно в связи с упругостью твёрдых стенок трубы и сжимаемостью рабочей среды, а с некоторой конечной скоростью, обусловленной необходимостью компенсации упругих деформаций жидкости и трубы.
Рассмотрим случай когда в трубопроводе длиной L и площадью сечения S под давлением р находится жидкость, плотность которой р (рис. 88). Предположим, что в момент времени t в сечении 1 - 1 давление повысится на величину dp. Это повышение вызывает увеличение плотности на величину dp, а также расширение внутреннего диаметра трубы. Следовательно, площадь проходного сечения увеличится на величину dS. В результате увеличится объём V участка трубы на величину dV. За счёт этого произойдет увеличение массы жидкости находящейся в трубе на участке длиной L. Масса увеличится за счёт увеличения, во-первых, плотности жидкости, во-вторых, за счёт увеличения объёма V.
Такая |
же |
|
ситуация |
|
|
|
||
рассматривалась при выводе |
|
|
|
|||||
уравнения |
|
неразрывности |
/>. X |
|
j ) ‘ d p . S I d S |
|||
потока в дифференциальной |
Г р |
|||||||
|
|
|
||||||
форме, |
с |
той |
только |
|
|
Г ч / Г p } - d p |
||
разницей, |
|
что |
там |
|
|
|
||
рассматривалось |
изменение |
|
|
|
||||
массы во времени, без учёта |
|
|
|
|||||
вызвавших |
это |
изменение |
Рис. 88. Деформации вдоль трубопровода |
|||||
причин. Т.е. тогда возможно |
||||||||
|
|
|
||||||
записать следующее |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dm |
d o |
d V |
|
|
|
|
|
|
„ г |
|
|
||
|
|
|
|
-----= |
V -—г + ------- р |
|
||
|
|
|
|
dt |
dt |
dt |
|
|
По аналогии с приведённым уравнением запишем выражение, |
||||||||
описывающее изменение массы за счёт изменения давления |
|
|||||||
|
|
|
|
4 т — V |
|
0. |
|
|
dt |
dt |
dt |
Жидкость под действием указанного повышения давления устремится с некоторой скоростью с в слои с меньшим давлением, в которых также будет повышаться плотность и увеличиваться напряжение в стенках трубопровода, способствующее увеличению площади трубы.
В связи с этим потребуется некоторое время на распространение этих деформаций вдоль трубопровода.
С другой стороны, перемещение массы dm за время dt происходит под влиянием результирующей Fp сил давления, действующих вдоль линии движения на торцовые поверхности цилиндрического объёма длиной /
F r = S ( p + ( p ) - S р
Вэтом случае уравнение импульса силы может быть представлено
вследующем виде
S |
|
d p - d t = |
dm • с. |
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
dm _ S - dt |
|
||
|
|
dp |
c |
|
|
Имея в виду, что dt = L/с. и подставив это в предыдущее |
|||||
выражение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
dm _ S |
L |
|
|
|
|
dp |
с 2 |
|
|
Заметим, что произведение |
|
|
|
||
|
|
S |
L = V |
|
|
Приравняем оба выражения для dm/dp и получим |
|||||
V |
|
„ d p |
р |
dV |
|
—г = V — - + |
------ . |
||||
с 2 |
|
|
dp |
|
dp |
Выразим из последнего равенства величину с2 |
|||||
^ 2 |
_ |
|
V |
|
|
С |
~ |
|
d p |
|
dV |
|
|
F • —- + р |
------ |
||
|
|
|
dp |
|
dp |
Разделим числитель и знаменатель на V, а первое слагаемое в знаменателе искусственно умножим и разделим на р
|
1 |
|
|
|
1 |
d p |
1 |
dV |
* |
p |
dp |
r F |
dp |
|
Обратим внимание на то, |
что |
V = |
S-L, |
a. dV = dS-L. После |
подстановки этих равенств в последнее выражение и извлечения корня получим выражение для скорости распространения ударной волны, которая, по сути, является скоростью распространения упругих деформаций жидкости в трубе
с = |
|
|
d S L ^ |
|
r l d p 1 |
dS > |
f 1 |
</р |
1 |
L |
|||
к р |
dp S L dp J |
r |
K P dp S |
d p y |
||
Здесь первое |
слагаемое |
под |
корнем |
характеризует упругие |
||
свойства рабочей среды (жидкости), а - второе упругие силы материала трубы.
Рассмотрим подробнее эти слагаемые. Как известно из гидростатики, сила, действующая на цилиндрическую поверхность,
равна произведению |
давления |
|
на проекцию |
площади этой |
|
поверхности |
в направлении |
|
действия |
силы. |
На |
рассматриваемый |
участок |
|
трубы с толщиной стенок 5, длиной L и диаметром D действует изнутри давление р (рис. 89). Вследствие этого возникает разрывающая сила F, равная
Рис. 89. Действие ударного давления
F = p - D - L
В стенках трубы возникает сила сопротивления Fc, равная произведению площади сечения стенок трубы 2-5 L на внутренние напряжения от в материале стенок трубы, т.е.
Fc = 2 - & L - q r.
Если приравнять две эти силы, получим равенство
2 • 5 - 1 • от = p- D- L 9
из которого найдём выражение, определяющее внутреннее напряжение в стенках трубы
Р-
2- <5
Полагая, что относительное увеличение диаметра трубы, равное (2ДЛ)/Д прямо пропорционально напряжению в стенках трубы, можно записать
2 №
о. = Е
D
где Ет- коэффициент пропорциональности, который является модулем упругости материала трубы.
Из двух последних выражений следует, что абсолютное приращение радиуса сечения трубы может быть выражено формулой
|
А„ |
D o |
D |
p - D |
D 2 |
|
|
М = |
----------------- - — - = ---------- - р. |
|
|||
|
|
2 Д |
2 - Д 2 -S 4-Е 5 |
|
||
Запишем выражение, определяющее увеличение площади сечения |
||||||
трубы |
|
|
|
|
|
|
|
(D |
\ |
2 |
D2 |
D2 |
D |
|
S - S p = n . { - |
+ AR) |
- п - — = д - — - 2 - т т - - - Д Я + |
|||
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
+ т т ■ДR 2 - ТТ- — = т т - 0 - Д / г + тт - Д R 2, |
|
||||
где S - |
|
|
4 |
|
|
|
начальная площадь сечения трубы, ivT; |
|
|||||
Sp - |
площадь сечения трубы при давлении р, м2 |
|
||||
Пренебрегая малой величиной высшего порядка AR2 и подставив |
||||||
выражение для А/?, получим |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
тт - D 3 |
|
|
|
|
S ~ |
S p " 4 - б - Е г ' Р- |
|
||
Продифференцировав это выражение по р и рассматривая S как |
||||||
функцию, зависящую от р , получим |
|
|
||||
|
|
|
dS |
тт-D3 |
|
|
|
|
|
dp |
4 • 5 • Ет' |
|
|
В итоге слагаемое, описывающее упругие свойства материала трубы в выражении для скорости распространения ударной волны, можно представить в следующем виде
dS_ |
1 |
n - D 3 |
dp |
S |
4 • S ■ET n •D2' |
Теперь рассмотрим слагаемое, описывающее упругость жидкости
1 d p
~'~Г' Ранее при рассмотрении свойств жидкости было установлено, Р ЦР
что если изменение объёма происходит за счёт изменения плотности, то можно определить коэффициент сжимаемости жидкости ри
т / |
1 = |
р |
1 |
а = / d p |
|||
т/р |
dp |
d p |
dp |
Часто этот коэффициент выражают через обратную величину, называемую модулем упругости жидкости Еж, т.е.
Отсюда следует, что второе слагаемое, характеризующее упругие свойства рабочей среды, может быть представлено в виде
1 |
d р __ 1 |
ра |
d P |
Таким образом, окончательно выражение для скорости распространения ударной волны в упругом трубопроводе можно переписать в следующем виде
с =
D +
Ег 5+ Ежу
где р - плотность жидкости, кг/м3; D - диаметр трубопровода, м;
5 - толщина стенки трубопровода, м; ЕТ - объёмный модуль упругости материала трубы, МПа;
Еж- объёмный модуль упругости жидкости, МПа.
Из формулы следует, что скорость распространения ударной волны зависит от сжимаемости жидкости и упругих деформаций материала трубопровода.
Ударное давление
Для выяснения величины подъёма давления Друд применим теорему о сохранении количества движения (импульса силы). Для этого рассмотрим элементарное перемещение участка жидкости длинной dL за время dt. Учтём, что при прямом гидравлическом ударе кинетическая энергия ударной волны полностью превращается в потенциальную энергию, т.е. скорость жидкости v становится равной нулю 0.
Импульс силы, под действием которого происходит это движение, равен
( s ■(р+ Фуд ) ■S -• р)'àt= s• ф уд • dt.
Изменение количества движения рассматриваемого объёма длиной dL будет
( S d L - p v ) - ( S d L - р О ) - S dL - pv,
Повторимся: скорость во второй скобке равна 0, так как рассматриваемый объём жидкости останавливается.
Приравнивая эти выражения по теореме о сохранении количества движения, получим
S Арул ■dt = S • dL • p v .
Отсюда выразим величину повышения давления Ар
Аруд |
dL |
p v |
|
|
dt |
После замены дроби скоростью с, окончательно будем иметь |
|
|
= P v - c , |
где v - скорость жидкости |
в трубопроводе до возникновения |
гидравлического удара, м/с; |
|
р- плотность жидкости, кг/м3;
с- скорость распространения ударной волны, м/с.
Если в эту формулу подставить выражение, описывающее с, то придём к формуле, носящей имя Жуковского
Друд = p v -
D
+
Е , 5 Е ж J
Протекание гидравлического удара во времени
Рассмотренный ранее процесс распространения ударной волны в трубопроводе не происходит бесконечно долго. В опытах Н.Е. Жуковского было зарегистрировано до 12 полных циклов с постепенным уменьшением Друд из-за трения в трубе и рассеивания
энергии в резервуаре. |
|
Ри ^ |
f)\\н'> |
Рис. 90. Протекание гидравлического удара во времени
Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 90, aw б.
Диаграмма, показанная штриховыми линиями на рис. 90, а, характеризует теоретическое изменение давления р,пб в точке А непосредственно у крана (закрытие крана предполагается мгновенным). Сплошными линиями дан примерный вид действительной картины изменения давления по времени. В действительности давление нарастает (а также падает), хотя и круто, но не мгновенно. Кроме того, имеет место затухание колебаний давления, т.е. уменьшение его амплитудных значений из-за трения и ухода энергии в резервуар.
Описанная картина изменения давления может возникнуть лишь в том случае, когда имеется достаточный запас давления ро, т.е. когда ро > Друд и при снижении давления на Друд оно остается положительным. Если же давление ро невелико (что бывает очень часто), то первоначальное повышение давления при ударе будет примерно таким же, как и в предыдущем случае. Однако снижение давления на Друд
невозможно; абсолютное давление у крана падает практически до нуля (Ризб ~ - 0,1 МПа), «жидкая колонна» отрывается от крана, возникает кавитация и образуется паровая каверна. В связи с этим нарушается периодичность процесса, и характер изменения давления по времени получается примерно таким, как показано на рис. 90, 6 .
Разновидности гидравлического удара
Если трубопровод перекрыть не полностью, то скорость жидкости изменится не до нуля, а до значения v\. В этом случае может возникнуть неполный гидравлический удар, при котором величина повышения давления (ударное давление) будет меньше, чем в первом случае, а формула Жуковского примет вид
Ф = p ( v0 - vi) ’c-
Приведённые формулы справедливы только в том случае, если время закрытия крана /зак меньше фазы гидравлического удара 2 //с, т.е. ^3îuc 2 -1/с.
В том случае, если t3aK> 2 *//с, возникает непрямой гидравлический удар. Для него характерно то, что отразившаяся от резервуара в начале трубы ударная волна возвращается к заслонке крана раньше, чем он будет полностью закрыт. Величина Друд в этом случае будет меньше, чем при прямом гидравлическом ударе. Её приближенно (считая, что изменение р в трубопроводе происходит по линейному закону) можно определить по формуле
Г2 -/Л
J
В гидроприводах технологических машин, станков и т.п. очень часто возникает так называемый гидравлический удар в тупиковом трубопроводе. В этом случае возможно увеличение ударного давления в два раза. Пояснить это можно следующим рисунком (рис. 91).
Трубопровод с низким начальным давлением отделён от источника гидравлической энергии высокого давления. При мгновенном (в реальных гидросистемах 0,008 -ь 0,001 с) открытии заслонки крана давление в начале трубопровода внезапно возрастает на величину Д /?Уд =р1 - /?о