Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

Поскольку основная система представляет собой совокупность статически неопределимых балок с различными закреплениями концов, и каждая из таких балок воспринимает внешние воздействия, приложенные только к ней, то для построения единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов и поперечных сил основной системы используют единичные и грузовые эпюры, построенные для отдельных балок.

В таблице 11.1 для некоторых случаев нагружений однопролетных балок постоянного сечения приводятся единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов и значения опорных реакций. Знание этих реакций позволяет достаточно просто для каждого типа балки получить очертание соответствующих эпюр поперечных сил

Таблица 11.1

101

После рассмотрения единичных и грузового состояний основной системы и построения, соответствующих им эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, осуществляется вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Их вычисление может производиться статическим способом или способом перемножения эпюр. На практике обычно применяют первый способ, который более прост. Способ перемножения эпюр целесообразно применять при расчете рам с наклонными элементами.

Суть статического способа заключается в вырезании сквозными сечениями узлов и отдельных частей основной системы и определении реакций в наложенных связях из условий равновесия вырезанных частей. Такое вырезание производится в бесконечной близости от центров узлов. При этом значения изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях перерезанных стержней берутся из соответствующих им эпюр.

Схемы определения двух коэффициентов статическим методом для рассмотренного единичного состояния приведены на рис. 11.5, в.

11.1.5. Решение канонических уравнений

Математической формой канонических уравнений метода перемещений, как и в случае метода сил, является система неоднородных линейных алгебраических уравнений

an1x1 an2x2 ... ann xn bn

где aij rij , xj Z j , bi RiP . Поэтому для решения канонических уравне-

ний метода перемещений применяют те же численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, что и в случае метода сил.

11.1.6. Определение внутренних усилий заданной системы

Для определения внутренних усилий, которые возникают в заданной системе от приложенных к ней внешних воздействий, используется основная система метода перемещений и результаты ее расчета следующим образом.

При нахождении коэффициентов канонических уравнений rij к основной системеприкладывались перемещения Z j 1 j 1,...,n и для каждого загружения были получены единичные внутренние усилия mj ,qj .

102

Поскольку приложенные к основной системе в качестве дополнительных внешних воздействий основные неизвестные Z1,...,Zn найдены и основная система считается линейно деформируемой, то изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в ней от действия Z1,...,Zn , будут равны

При определении свободных членов канонических уравнений RiP i 1,...,n к основной системе прикладывалась заданная нагрузка, и были найдены грузовые внутренние усилия MP ,QP .

Таким образом, для определения изгибающих моментов и поперечных сил в заданной системе необходимо, в соответствии с принципом суперпозиции, сложить внутренние усилия, полученные в основной системе от основных неизвестных Z1,...,Zn и заданной нагрузки.Следовательно, формулы для

определения изгибающих моментов и поперечных сил имеют вид

Продольные силы, при известных поперечных силах, определяются из условия равновесия узлов заданной системы.

11.2. Использование свойств симметрии при расчете рам методом перемещений

Выясним особенности использования свойств симметрии при расчете рам методом перемещений на частном примере. Рассмотрим одноэтажную четырехпролетную раму (рис. 11.6).

Рис. 11.6

103

Геометрические и жесткостные параметры рамы удовлетворяют признакам симметрии, и рама обладает осью симметрии. На раму действует произвольная нагрузка, показанная на рис. 11.6 условным буквенным обозначением P .

Рассматриваемая рама 6 раз кинематически неопределимая и степень кинематической неопределимости характеризуется пятью угловыми перемещениями Z1,...,Z5 и одним линейным перемещением Z6 , являющихся

основными неизвестными метода перемещений данной рамы. Основная система метода перемещений, связанная с их определением, имеет вид

(рис. 11.7).

6

Рис. 11.7

Так как основные неизвестные не удовлетворяют признакам симметрии, то их определение связано с составлением и совместным решением шести канонических уравнений

r11Z1 ... r16Z6 R1P 0,

......................................

r61Z1 ... r66Z6 R6P 0.

Получение симметричных и антисимметричных основных неизвестных, также как и при расчете методом сил, связано с использованием прием группировки однотипных основных неизвестных. Для рассматриваемой рамы выделяются две пары таких величин - углы поворота Z1 , Z5 и углы

поворота Z2 , Z6 , которые искусственно разделяются на симметричные и

антисимметричные составляющие. Эти искусственно выделенные две группы величин перемещений и являются новыми основными неизвест-

104

ными, соответственно, симметричными и антисимметричными. Два оставшихся исходных перемещения Z3 и Z6 , связанных с антисимметричной

схемой деформирования рамы, целиком относятся к новым антисимметричным основным неизвестным.

Для определения новых основных неизвестных рассматривается два состояния основной системы – симметричное (рис. 11.8, а) и антисимметричное (рис. 11.8, б).

Рис. 11.8

Тогда исходная система канонических уравнений распадается на две независимые подсистемы уравнений. Первая подсистема уравнений

r11Z1 r12Z2 R1P 0,

r21Z1 r22Z2 R2P 0.

позволяет найти симметричные основные неизвестные. Вторая подсистема уравнений

r33Z3 r34Z4 r35Z5 r36Z6 R3P 0,

r43Z3 r44Z4 r45Z5 r46Z6 R4P 0,

r53Z3 r54Z4 r55Z5 r56Z6 R5P 0,

r63Z3 r64Z4 r65Z5 r66Z6 R6P 0

позволяет найти антисимметричные основные неизвестные.

11.3.Особенности применения метода перемещений к рамам

сригелями повышенной изгибной жесткости

Поперечной несущей конструкцией цехов одноэтажных промышленных зданий обычно является плоская однопролетная (рис.11.9, а) или многопролетная рама (рис. 11.9, б).

105

Рис. 11.9

Ригелями в таких рамах, как правило, являются фермы, изгибная жесткость которых в пять и более раз превышает изгибную жесткость колонн.

В этом случае при расчете поперечных рам на действие горизонтальных нагрузок можно пренебречь изгибом ригеля и приближенно считать изгибную жесткость ригеля бесконечно большой величиной. Подобное допущение существенно упрощает применение метода перемещений для расчета таких рам.

С учетом принятого допущения расчетная схема рамного поперечника в случае одного пролета имеет вид, показанный на рис. 11.10, а, и в случае нескольких пролетов – показанный на рис. 11.10, б.

Рис. 11.10

В обоих случаях у рам отсутствуют угловые перемещения. Поэтому степень кинематической неопределимости рам порождается одним неизвестным горизонтальным перемещением узлов и равняется единице.

Тогда основная система метода перемещений, как в случае однопролетной, так и в случае многопролетной рам образуется наложением одного стержня, препятствующего линейному горизонтальному перемещению узлов рам (рис. 11.11).

106

Рис. 11.11

Следовательно, для расчета рам методом перемещений при любом числе пролетов достаточно составить одно каноническое уравнение

r11Z1 R1P 0 .

11.4. Особенности определения внутренних усилий в несвободных рамах при действии узловой нагрузки

Рассмотрим некоторую n- раз кинематически неопределимую несвободную раму, нагруженную в узлах произвольными сосредоточенными силами (рис. 11.12).

В этом случае степень кинематической неопределимости порождается неизвестными углами поворота жестких узлов рамы Z1,...,Zn .

Тогда основная система метода перемещений образуется наложением шайб на все жесткие узлы рамы (рис. 11.13),

а соответствующие ей канонические уравнения имеют вид

107

r11Z1 ... r1nZn R1P 0,

...................................... (11.8)

rn1Z1 ... rnnZn RnP 0.

Рассмотрим, какие особенности возникают при определении свобод-

и представляет собой относительно основных неизвестных систему однородных линейных алгебраических уравнений. С учетом положительной определенности определителя матрицы коэффициентов канонических уравнений метода перемещений такая система имеет единственное решение

Zi 0 i 1,...,n . (11.11)

Полученное решение (11.11) означает, что при действии на несвободные рамы произвольной узловой нагрузки ни один из ее жестких узлов не поворачивается.

Тогда из формул (11.7) с учетом (11.9) и (11.11), следует, что изгибающие моменты, и поперечные силы в произвольном сечении любой несвободной рамы при узловой нагрузке имеют нулевые значения

M 0, Q 0.

а действующая нагрузка уравновешивается, возникающими в стержнях рамы продольными силами.

Для определения продольных сил достаточно рассмотреть равновесие узлов и составить уравнения проекций на координатные оси. Начинать

108

рассмотрение равновесия нужно начинать с узла, где сходится не более двух стержней с неизвестными продольными силами (рис. 11.15). Уравнения равновесия для узла, показанного на рис. 11.15, имеют вид

y 0; N1 P1 sin 0

x 0; N2 P1 cos 0

Решая эти уравнения, находим значения продольных сил в стержнях, примыкающих к данному узлу

N1 P1 sin

N2 P1 cos

Из полученных формул для продольных сил следует, что они постоянны по длине каждого стержня и могут меняться только для различных стержней.

Поскольку рассматриваемая рама является несвободной, то она остается геометрически неизменяемой при условной замене жестких узлов шарнирными. При этом очевидно, что в составляемых уравнениях равновесия для узлов ничего не изменяется. Поэтому для определения продольных сил в стержнях

несвободных рам при действии узловой нагрузки может использоваться шарнирно-стержневая система, получаемая из заданной несвободной рамы при условной замене жестких узлов шарнирными.

Сделанный вывод позволяет вернуться к вопросу о правомерности использования шарнирных узлов при расчете ферм. Реальная ферма, строго говоря, является несвободной рамной конструкцией. Поэтому при узловой схеме нагружения во всех стержнях фермы изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. И при их определении жесткие узлы фермы могут заменяться шарнирными. Однако следует помнить, что это справедливо только при условии соблюдения допущений, введенных при расчете рам методом перемещений.

11.5. Резюме

Метод перемещений, как и метод сил, применяется для расчета статически неопределимых рамных конструкций.

В основе расчета статически неопределимых рамных конструкций методом перемещений лежит переход от заданной кинематически неопре-

109

делимой системы к расчету основной системы. Основной системой метода перемещений является эквивалентная кинематически определимая система, получаемая наложением дополнительных связей на узлы заданной системы. Эквивалентность двух систем должна состоять в одинаковости внутренних усилий – статическая эквивалентность, и одинаковости перемещений – кинематическая эквивалентность.

Канонические уравнения метода перемещений представляют собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно основных неизвестных. Основные неизвестные метода перемещений являются узловые перемещения заданной системы.

Для определения внутренних усилий внутренних усилий в заданной системе согласно принципу суперпозиции складываются внутренние усилия, полученные в основной системе от основных неизвестных и заданной нагрузки.

Использование свойств симметрии заданной системы при образовании основной системы позволяет разделить основные неизвестные на симметричные и антисимметричные величины, которые находятся независимо друг от друга.

11.6. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–кинематическая неопределимость;

–основные допущения;

–заданная система;

–основная система;

–канонические уравнения;

–единичные состояния;

–формулы для вычисления коэффициентов канонических уравнений;

–грузовое состояние;

–формулы для вычисления свободных членов канонических урав-

нений;

–формулы для определения окончательных внутренних усилий;

–группировка основных неизвестных.

110