Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

Запишем второе уравнение трех моментов, связанное со второй промежуточной опорой

Свободный член в уравнении (10.31) отсутствует, так как и к этой опоре примыкают два незагруженных пролета. Из (10.31) найдем отношение опорных моментов. С учетом ранее полученного соотношения (10.30) оно имеет вид

Из (10.32) следует, что и в третьем незагруженном пролете опорные моменты имеют разные знаки, их отношение не зависит от нагрузки, а модуль этого отношения не менее 2.

Обобщая соотношения (10.30), (10.32), получим, что в произвольном i-том незагруженном пролете соотношение опорных моментов имеет вид

Тогда, в соответствии с соотношениями (10.30), (10.32), (10.33), следует, что в незагруженных пролетах неразрезной балки (рис. 10.21) опорные моменты обладают следующими свойствами.

Первое свойство. Опорные моменты по концам незагруженных пролетов имеют разные знаки.

Второе свойство. Отношение опорных моментов по концам незагруженных пролетов не зависит от нагрузки, а зависит только от жесткостных и геометрических параметров неразрезной балки.

Третье свойство. На эпюре моментов в незагруженных пролетах имеется инвариантная нулевая точка, положение которой не зависит от нагрузки, а полностью зависит только от жесткостных и геометрических параметров неразрезной балки.

Четвертое свойство. Опорные моменты в незагруженных пролетах убывают по модулю по мере удаления от загруженного пролета неразрезной балки.

Инвариантная нулевая точка на эпюре моментов незагруженного пролета называется моментным фокусом. Поэтому установленные четыре свойства и называются фокальными свойствами неразрезной балки.

Они описывают закономерности в распределении изгибающих моментов в

81

незагруженных пролетах неразрезной балки. Эти свойства справедливы при условии расположения нагрузки с одной стороны по отношению к незагруженным пролетам. Частным случаем такого расположения нагрузки является загружение одного пролета.

В зависимости от расположения нагрузки по отношению к незагруженному пролету различают два вида моментных фокуса – левый и правый моментные фокусы.

Левым моментным фокусом называется инвариантная нулевая точка на эпюре моментов незагруженного пролета при условии, что нагрузка располагается справа от этого пролета (рис. 10.22).

На рис. 10.22 левый моментный фокус i-того пролета обозначен Fi. Правым моментным фокусом называется инвариантная нулевая

точка на эпюре моментов в незагруженном пролете при условии, что нагрузка располагается слева от этого пролета (рис. 10.23).

На рис. 10.23 правый моментный фокус i-того пролета обозначен F'i.

С понятием моментного фокуса связано понятие моментного фокусного отношения. Моментным фокусным отношением называется абсолютная величина отношения большего опорного момента незагруженного пролета к меньшему опорному моменту этого пролета. Различают два вида моментных фокусных отношений – левое и правое. Будем обозначать левое моментное фокусное отношениеk и правое моментное фокусное отношениеk' .

В соответствии с рис. 10.22 левое моментное фокусное отношение i-того пролета описывается следующим отношением опорных моментов

82

а в соответствии с рис. 10.23 правое моментное фокусное отношение i-того пролета описывается следующим отношением опорных моментов

10.3.2. Определение моментных фокусных отношений

Формулы (10.34), (10.35), поясняющие суть моментных фокусных отношений, не позволяют находить численные значения этих отношений. Входящие в эти формулы опорные моменты являются неизвестными величинами.

Для получения формулы, позволяющей определять величины левых моментных фокусных отношений, рассмотрим два произвольных незагруженных пролета неразрезной балки, по отношению к которым нагрузка располагается справа

(рис. 10.24, а).

В этом случае эпюра моментов в этих пролетах пройдет через левые моментные фокусы. Возможное очертание эпюры моментов показано на рис.10.24, б. Тогда

опорные моменты, обозначенные на эпюре, будут связаны друг с другом следующими соотношениями

Запишем уравнение трех моментов для i-1–ой промежуточной опоры

Подставим соотношения (10.36) в (10.37) и после несложных преобразований уравнение примет вид

li 1 2 li 1 li ki 1 liki 1ki 0

Разрешая уравнение относительно ki , получим формулу

Формула (10.38) позволяет вычислять левое моментное фокусное отношение произвольного пролета через левое моментное фокусное отноше-

83

ние предшествующего ему пролета. Она позволяет осуществлять цепочечные вычисления левых моментных фокусных отношений и поэтому называется рекуррентной формулой для их вычисления.

Для получения аналогичной формулы, позволяющей определять величины правых моментных фокусных отношений, рассмотрим два произвольных незагруженных пролета неразрезной балки, по отношению к которым нагрузка располагается слева (рис. 10.25, а)

В этом случае эпюра моментов в этих пролетах пройдет через правые моментные фокусы. Возможное очертание эпюры моментов

показано на рис. 10.24, б. Тогда опорные моменты, обозначенные на эпюре, будут связаны друг с другом следующими соотношениями

Запишем уравнение трех моментов для i–ой промежуточной опоры

Подставим соотношения (10.39) в (10.40) и после несложных преобразований уравнение примет вид

likiki 1 2 li li 1 ki 1 li 1 0

Разрешая уравнение относительно ki , получим формулу

Формула (10.41) позволяет вычислять правое моментное фокусное отношение произвольного пролета через правое моментное фокусное отношение последующего за ним пролета. Она позволяет осуществлять цепочечные вычисления правых моментных фокусных отношений и поэтому называется рекуррентной формулой для их вычисления.

Для осуществления цепочечных вычислений левых и правых моментных фокусных отношений по рекуррентным формулам (10.38), (10.41) необходимо знать начальные моментные фокусные отношения – левое мо-

84

ментное фокусное отношение первого пролета и правое моментное фокусное отношение последнего пролета.

В случае простой неразрезной балки эпюра моментов в двух первых незагруженных пролетах может иметь очертание, показанное на рис. 10.26, а, а в двух последних незагруженных пролетах – очертание, показанное на рис. 10.26, б.

Рис. 10.26

Тогда, в соответствии со смыслом понятия моментного фокусного отношения, получим следующие значения начальных моментных фокусных отношений:

– левое моментное фокусное отношение первого пролета

– правое моментное фокусное отношение последнего пролета

Так как при появлении незагруженных консолей, примыкающих к крайним пролетам простой балки, в очертаниях эпюр, показанных на рис. 10.26, а и б, ничего не изменяется, то полученные начальные значения моментных фокусных отношений (10.42) и (10.43) справедливы и для неразрезных балок с консолями.

В случае неразрезных балок с защемляющими опорами, с учетом их замены эквивалентным шарнирно стержневым изображением (рис. 10.27) формальными начальными значениями моментных фокусных в крайних фиктивных пролетах

85

найдем по рекуррентным формулам (10.38), (10.41) следующие начальные значения моментных фокусных отношений в крайних существующих пролетах:

– левое моментное фокусное отношение

Рис. 10.27

Таким образом, из полученных начальных значений (10.42), (10.44) для левых моментных фокусных отношений и (10.43), (10.45) для правых моментных фокусных отношений получается следующий диапазон изменения моментных фокусных отношений при вычислениях по рекуррентным формулам

10.3.3. Применение моментных фокусных отношений к определению изгибающих моментов от действия нагрузки

Рассмотрим неразрезную балку произвольной постоянной нагрузкой (условно показанную в виде распределенной нагрузки с переменной интенсивностью) в некотором пролете № i (рис. 10.28, а).

Рис. 10.28

86

Тогда качественное очертание эпюры моментов, с учетом установленных фокальных свойств, будет иметь вид, показанный на рис. 10.28, б. Для определения значений ординат на данной эпюре необходимо в первую очередь определить опорные моменты по концам загруженного пролета.

Используем для определения опорных моментов по концам загруженного пролета уравнения трех моментов при действии нагрузки.

Для рассматриваемой схемы нагружения структура матрицы коэффициентов и вектора сводных членов системы уравнений трех моментов будут иметь следующий вид (рис. 10.29).

Рис. 10.29

В таблице, показанной на рис. 10.29, номера строк обозначают номера уравнений трех моментов, а номера столбцов – номерам основных неизвестных, входящих в эти уравнения. Нулевым значениям коэффициентов и свободных членов соответствуют незаполненные клетки, ненулевым значениям – заполненные точками. Следовательно, система уравнений трех моментов состоит из трех подсистем уравнений: двух однородных и одной неоднородной.

Неоднородная подсистема уравнений включает два уравнения трех моментов, связанные с i-1-й и i-той промежуточными опорами

87

и содержит 2 неизвестных опорных момента по концам загруженного пролета – Xi 1, Xi и 2 неизвестных опорных момента Xi 2, Xi 1, возникающих на дальних концах незагруженных пролетов, примыкающих слева и справа к загруженному пролету. В соответствии с фокальными свойствами неразрезной балки они связаны с опорными моментами загруженного пролета соотношениями

Подставим соотношения (10.48) в уравнения (10.47). С учетом рекуррентных формул (10.38), (10.41) и расположения нагрузки только в пролете № i, уравнения примут вид

Решая (10.49), получим формулы для вычисления опорных моментов по концам загруженного пролета

Вычислив опорные моменты по концам загруженного пролета по формулам (10.50), затем можно найти все остальные опорные моменты с использованием соответствующих моментных фокусных отношений. Описанный метод определения изгибающих моментов в неразрезной балке не требует составления и решения системы уравнений трех моментов. Это метод называется методом моментных фокусных отношений.

10.3.4.Алгоритм определения изгибающих моментов неразрезной балки методом моментных фокусных отношений

Для заданной неразрезной балки с неподвижной нагрузки, расположенной в произвольном числе пролетов:

1. Вычисляем левые и правые моментные фокусные отношения по рекуррентным формулам (10.38), (10.41).

88

2.Рассматриваем нагружение каждого пролета в отдельности и для каждой схемы нагружения:

2.1.Находим опорные моменты загруженного пролета по форму-

лам (10.50).

2.2.Находим опорные моменты незагруженных пролетов с использованием моментных фокусных отношений.

2.3.Строим эпюру моментов с использованием моментных фокусов

3.Используя принцип суперпозиции, строим эпюру моментов для заданной нагрузки.

10.4.Расчет неразрезных балок на действие временной нагрузки

10.4.1.Понятие объемлющей эпюры

Особенностью действия временной вертикальной нагрузки на неразрезную балку (рис. 10.30) является возможность ее произвольного расположения на балке. Поэтому при расчете неразрезной балки на действие такой нагрузки отыскивают ее опасные положения, при которых внутренние усилия (изгибающий момент или поперечная сила) в расчетных сечениях принимают экстремальные значения.

Рис. 10.30

Для каждого сечения может быть два опасных положения временной нагрузки. В одном случае внутреннее усилие будет принимать максимальное, в другом – минимальное значение. График, описывающий распределение экстремальных значений внутреннего усилия от действия временной нагрузки по длине неразрезной балки и называется объемлющей эпюрой этого внутреннего усилия.

Объемлющие эпюры внутренних усилий неразрезной балки состоят из верхней и нижней частей. Верхняя часть описывает распределение минимальных значений внутренних усилий. Нижняя часть описывает распределение максимальных значений внутренних усилий.

89

10.4.2. Способы построения объемлющих эпюр

Существует два способа построения объемлющих эпюр – точный и

упрощенный.

Точный способ построения объемлющих эпюр основан на использовании линий влияния соответствующего внутреннего усилия. По линиям влияния, построенным для каждого расчетного сечения, находятся максимальное и минимальное значения внутреннего усилия. Объединение найденных значений внутренних усилий на одном графике и позволяет получить точное очертание объемлющей эпюры рассматриваемого внутреннего усилия.

Упрощенный способ построе-

ния объемлющих эпюр основан на использовании обычных эпюр внутренних усилий. Рассмотрим суть построения объемлющих эпюр этим способом на частном примере.

Построим объемлющую эпюру изгибающих моментов для трехпролетной неразрезной балки. Загрузим поочередно каждый пролет временной нагрузкой и, используя моментные фокусные отношения, построим эпюры моментов (рис. 10.31).

Ординаты на эпюрах моментов имеют два индекса. Первый индекс указывает номер расчетного сечения, в котором определяется изгибающий

момент, а второй индекс указывает номер загруженного пролета.

Тогда максимальные изгибающие моменты в каждом расчетном сечении получаются сложением соответствующих положительных величин моментов. Например, для перового расчетного сечения получим

M1max M11 M13

90