Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

r02 I0 . Следовательно, все интегралы, входящие в (9.11), (9.12), можно

A0

записать одинаково

и использовать для их вычисления формулу метода трапеций

Смысл величин, входящих в формулу (9.13), понятен изрис. 9.6.

Рис. 9.6

Введем обозначение для выражения в скобках правой части форму-

лы (9.13)

Тогда с учетом (9.14) формула для вычисления определенных интегралов, входящих в (9.11), (9.12), принимает компактный вид

9.1.4. Определение основного неизвестного

Из уравнения (9.4) можно записать, что

Тогда подставляя в (9.16) (9.11), (9.12) и учитывая (9.15), получим следующую рабочую формулу для определения основного неизвестного

61

9.2. Определение внутренних усилий в двухшарнирной арке

Поскольку расчет двухшарнирной заменен расчетом эквивалентной трехшарнирной арки, то для определения опорных реакций и внутренних усилий двухшарнирной арки определим опорные реакции и внутренние усилия в трехшарнирной арке от совместного действия основного неизвестного и заданной нагрузки.

Для определения опорных реакций и внутренних усилий, возникающих в трехшарнирной арке от действия основного неизвестного, умножим соответствующие величины единичного состояния на основное неизвестное. Тогда опорные реакции будут равны

а формулы для определения внутренних усилий имеют вид

Опорные реакций и внутренние усилия, возникающие в трехшарнирной арке от действия неподвижной вертикальной нагрузки, как уже отмечалось выше, определяются по формулам модуля М-5 первой части курса. Опорные реакции равны

VAP VA0 ; VBP VB0 ;

а формулы для определения внутренних усилий имеют вид

NP QP0 sin HP cos .

Тогда, применяя принцип суперпозиции, получим следующие формулы для определения в двухшарнирной арке опорных реакций

и внутренних усилий

M m1X1 MP; Q q1X1 QP; N n1X1 NP .

62

9.3. Поверки правильности расчета двухшарнирной арки

Кинематическая поверка заключается в проверке соблюдения условия для замкового сечения двухшарнирной арки

1 0 .

которое с учетом формулы Максвелла – Мора принимает вид

Выполнив с левой частью (9.23) преобразования, аналогичные преобразованиям формул (9.5), (9.6), получим

Применяя для вычисления интегралов, входящих в (9.24), формулу метода трапеций, получим окончательное выражение для кинематической поверки

Входящие в (9.25) 5 и 6 вычисляются по формуле (9.14).

При выполнении условий (9.22) и (9.25) опорные реакции и внутренние усилия считаются найденными правильно.

63

9.5. Резюме

При расчете двухшарнирной арки методом сил предпочтительным вариантом основной системы является трехшарнирная арка.

При определении коэффициента и свободного члена канонического уравнения метода сил по формуле Максвелла – Мора нельзя пользоваться правилом Верещагина. Для вычисления интегралов, входящих в формулу Максвелла – Мора используются численные методы.

Для определения внутренних усилий внутренних усилий в двухшарнирной арке согласно принципу суперпозиции складываются внутренние усилия, найденные в трехшарнирной арке от основного неизвестного и заданной нагрузки.

Для проверки правильности полученных значений внутренних усилий выполняется статическая и кинематическая поверки.

9.6. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–заданная система;

–основная система метода сил;

–каноническое уравнение метода сил;

–формула для определения коэффициента канонического уравнения метода сил;

–формула для определения свободного члена канонического урав-

нения;

–формулы для определения внутренних усилий в единичном состоянии;

–формулы для определения окончательных внутренних усилий;

–поверки правильности расчёта двухшарнирной арки.

Проверьте, можете ли Вы вывести:

– уравнения и формулы для расчёта двухшарнирной арки.

64

М-10. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

10.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

рассмотрение особенностей применения метода сил для расчета неразрезных балок на действие нагрузки и осадки опор;

преобразование канонических уравнений метода сил в уравнения трех моментов;

определение внутренних усилий в неразрезной балке от действия неподвижной нагрузки и осадки опор;

изучение особенностей изменения изгибающих моментов в незагруженных пролетах неразрезных балок от действиянеподвижной нагрузки;

введение понятия объемлющей эпюры и рассмотрение способов ее построения.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Общие сведения о неразрезной балке.

2. Применение метода сил для расчета неразрезных балок на действие неподвижной нагрузки и осадки опор.

3. Расчет неразрезных балок на действие неподвижной нагрузки с использованием фокальных свойств

4. Расчет неразрезных балок на действие временной нагрузки.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [4, c. 258 – 291]; [5, c. 288 – 328].

10.1.Общие сведения о неразрезной балке

10.1.1. Понятие о неразрезной балке

Среди конструкций, применяемых для перекрытия пролетов в сооружениях различного назначения, важное место занимают балочные конструкции. К их числу относятся простые балки, многопролетные шарнирные балки и неразрезные балки. Но если первые два типа балочных конструкций относятся к статически определимым конструкциям, то неразрезная балка является внешне статически неопределимой конструкцией.

65

Неразрезной балкой называется балка, имеющая не менее двух пролетов и не прерываемая на всем своем протяжении сквозными разрезами и шарнирами. Пример простейшей двухпролетной неразрезной балки показан на рис. 10.1.

Рис. 10.1

Неразрезные балки могут быть железобетонными, металлическими и деревянными. По сравнению с аналогичными простыми и многопролетными шарнирными балками они имеют определенные преимущества и поэтому широко применяются при возведении различных сооружений.

Примерами применения неразрезных балок в реальной строительной практике являются мостовые конструкции, подкрановые балки, ребристые железобетонные перекрытия, металлические балочные клетки, деревянные и металлические прогоны покрытий.

10.1.2. Разновидности неразрезных балок

Принято различать следующие разновидности неразрезных балок:простые неразрезные балки (рис. 10.2);

Рис. 10.2

неразрезные балки с консолями (рис. 10.3);

Рис.10.3

неразрезные балки с защемляющими опорами (рис. 10.4).

Рис. 10.4

66

В устройстве опорных закреплений неразрезных балок имеются две особенности.

Первая особенность. Все опоры, кроме одной, допускают продольные перемещения тела балки вследствие деформаций конструкционного материала. Это позволяет исключить температурные напряжения при равномерном нагреве или охлаждении неразрезной балки.

Вторая особенность. Свободная укладка неразрезной балки на опоры не разрешается. Все опоры должны быть двусторонними связями, исключающими отрыв балки от опор. При отрыве балки от опор произойдет изменение расчетной схемы балки и, как следствие этого, возможно исчерпание несущей способности балки.

10.1.3. Система нумерации опор и пролетов

При расчете неразрезных балок любой разновидности принята взаимосвязанная единая система обозначения опор и пролетов. Согласно этой системе счет опор и пролетов производится слева направо. Счет опор начинается с нуля, а счет пролетов – с единицы. В этом случае номер пролета всегда совпадает с номером правой опоры этого пролета.

Наиболее естественно данная система реализуется при нумерации опор и пролетовпростойнеразрезнойбалки.Примеробозначенияпоказаннарис.10.5.

Рис. 10.5

В случае неразрезной балки с консолями последние не включаются в единую систему нумерации пролетов, так как являются статически определимыми участками неразрезной балки. Длины консолей обозначаются независимо, а все остальное обозначается, как и в случае простой неразрезной балки. Пример обозначения показан на рис. 10.6.

Рис. 10.6

В случае неразрезной балки с защемляющими опорами последние заменяются эквивалентным шарнирно-стержневым изображением. В ре-

67

зультате получается простая неразрезная балка с одним или двумя фиктивными пролетами нулевой длины, для которой и производится обозначение опор и пролетов. Пример обозначения показан на рис.10.7

Рис. 10.7

При принятой системе нумерации опор и пролетов степень статиче-

ской неопределимости неразрезной балки любой разновидности опреде-

ляется по формуле

исовпадает с числом промежуточных опор.

10.2.Применение метода сил для расчета неразрезных балок на действие неподвижной нагрузки и осадки опор

10.2.1. Выбор расчетного варианта основной системы

Рассмотрим простую неразрезную балку, имеющую n пролетов. Изгибная жесткость считается постоянной в каждом пролете, но переменной в различных пролетах. Балка подвержена действию произвольной неподвижной нагрузки и осадки опор. Исходная система называется заданной система и она, как и ранее, считается линейно деформируемой системой (рис.10.8).

Рис. 10.8

Внешние воздействия показаны на рис. 10.8 условными буквенными обозначениями: P – нагрузка, c – осадка опор.

68

При расчете рассматриваемой неразрезной балки методом сил возможно использование различных вариантов основной системы и все они позволяют получить следующую систему канонических уравнений

Однако, как было выяснено в модуле М.8, трудоемкость составления и решения системы канонических уравнений может изменяться при использовании различных вариантов основной системы метода сил. Сделаем анализ трудоемкости составления и решения системы уравнений (10.2) для двух вариантов основной системы.

В качестве первого варианта основной системы выберем простую балку, полученную из заданной системы удалением всех промежуточных опор (рис. 10.9).

Рис. 10.9

Рассмотрим два произвольных единичных состояния № i (рис. 10.10)

Рис. 10.10

и номера k (рис. 10.11)

Рис. 10.11 69

и изобразим качественное очертание единичных эпюр изгибающих моментов. Нетрудно увидеть, что при перемножении этих эпюр ни один из коэффициентов канонических уравнений (10.2) в ноль не обращается

ik 0 i,k 1,...,n 1 .

Следовательно, вариант основной системы метода сил в виде простой балки не приносит никаких упрощений, как при составлении, так и при решении канонических уравнений (10.2).

В качестве второго варианта основной системы выберем многопролетную шарнирную балку, полученную из заданной системы введением шарниров во все промежуточные опорные сечения (рис.10.12).

Рис. 10.12

И здесь также рассмотрим два произвольных единичных состояния № i

(рис. 10.13)

Рис. 10.13

и номера k (рис. 10.14) и тоже изобразим качественное очертание единичных эпюр изгибающих моментов. Нетрудно увидеть, что в этом случае все коэффициенты, у которых модуль разности индексов больше единицы, обращаются в ноль

70