Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

Таким образом, канонические уравнения метода сил для рассчитываемой рамы, с учетом найденных значений коэффициентов и свободных членов, принимают вид

2253,1X1 2835,9 0, 58X2 165,3X3 52,2 0

165,X2 709,6X3 148,77 0

Решая систему канонических уравнений, получим следующие значения основных неизвестных

X1 1,259кН, X2 -0,9кН, X3 0 .

Формула для определения окончательных изгибающих моментов рассчитываемой рамы имеет вид

M M а M с,

где

M а m1X1 MPа

– доля окончательного изгибающего момента от действия антисимметричной составляющей нагрузки, а

M c m2 X2 m3 X3 MPс

– доля окончательного изгибающего момента от действия симметричной составляющей нагрузки. Построенная в соответствии с этими формулами эпюра окончательного изгибающего момента приведена на рис. 3.8.

Рис. 3.8

Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 3.9, найти изгибающие моменты и построить эпюры этих внутренних усилий

161

Рис. 3.9

Размеры рам и значения нагрузок приведены в табл. 3.1. Поперечные сечения элементов всех рам имеют одинаковую изгибную жесткость EIZ .

Тема № 4. Определение внутренних усилий в плоских статически неопределимых рамах от неподвижной нагрузки с использованием матричной формы метода сил

Цель занятия:

Научиться определять изгибающие моменты от действия постоянной нагрузки с использованием с использованием матричной формы метода сил.

162

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Для числен-

ной реализации матричной формы метода сил необходимо:

1.Осуществить дискретизацию расчетной схемы стержневой конструкции. В результате дискретизации расчетная схема конструкции разбивается на s отдельных элементов, соединенных между собой и с основанием в f узлах, и в ней выделяется r расчетных сечений.

2.Осуществить дискретизацию внешней нагрузки. В результате дискретизации и формируется вектор нагрузки

G G1Gf

в случае одной схемы нагружения или матрица нагрузок

в случае сочетания k схем нагружения.

3.Образовать основную систему метода сил и для нее:

3.1. Сформировать матрицу податливости изгибным деформациям разрозненных элементов основной системы

3.2. Рассмотреть единичные состояния, связанные с действием основных неизвестных, и сформировать матрицу влияния изгибающих моментов основной системы

3.3. Рассмотреть грузовые единичные состояния и сформировать матрицу влияния изгибающих моментов основной системы, связанную с действием нагрузки

163

4. Получить матрицу влияния изгибающих моментов заданной сис-

темы

5. Определить изгибающие моменты по формуле:

– в случае одной схемы нагружения

MLM G ;

–в случае сочетания k схем нагружения

MLM G .

6.Выполнить кинематическую поверку правильности нахождения внутренних усилий

L0m BM M 0.

Пример 5. Для рамы, показанной на рис. 4.1, построить эпюру M.

Рис. 4.1

Осуществляем дискретизацию расчетной схемы рамы (рис. 4.2).

В результате проведенной дискретизации рама разбита на пять элементов, соединенных между собой и с основанием в шести узлах, и в ней выделено восемь расчетных сечений

164

Поскольку изгибающие моменты в расчетных сечениях, расположенных по разные стороны от узла, одинаковые, то для сокращения объема вычислений пары расчетных сечений во втором и четвертом узлах объединены в общие расчетные сечения 2 и 5.

Осуществляем дискретизацию нагрузки (рис. 4.3) и формируем вектор нагрузки

3 G 2 .

42

Образуем основную систему метода сил (рис. 4.4)

Рис. 4.4

и формируем матрицу податливости изгибным деформациям разрозненных элементов основной системы, которая имеет следующую структуру

165

Матрицы податливости отдельных элементов, с учетом значений геометрических и жесткостных параметров элементов, имеют вид

Тогда матрица податливости, с учетом объединения пар расчетных сечений во втором и четвертом узлах, примет вид

Для формирования матрицы влияния изгибающих моментов основной системы, связанные с действием основных неизвестных, рассмотрим единичные состояния и построим единичные эпюры изгибающих моментов.

166

Первое единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.5.

Рис. 4.5

Второе единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Тогда матрица влияния изгибающих моментов основной системы, связанная с действием основных неизвестных, имеет вид

167

При формировании матрицы влияния изгибающие моменты в единичных состояниях считаются положительными, если они растягивают внутренние волокна элементов, в противном случае они считаются отрицательными.

Для формирования матрицы влияния изгибающих моментов основной системы, связанную с действием нагрузки, рассмотрим грузовые единичные состояния и построим единичные эпюры изгибающих моментов.

Первое грузовое единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7

Второе грузовое единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Третье грузовое единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.9.

Рис. 4.9

168

Четвертое грузовое единичное состояние и соответствующая ему единичная эпюра показана на рис. 4.10.

Рис. 4.10

Тогда матрица влияния изгибающих моментов основной системы, связанная с действием нагрузки, имеет вид

При формировании матрицы влияния изгибающие моменты в единичных грузовых состояниях считаются положительными, если они растягивают внутренние волокна элементов, в противном случае они считаются отрицательными.

Тогда матрица влияния изгибающих моментов заданной системы, полученная с помощью формулы

имеет вид

169

LM

Для определения изгибающих моментов заданной системы умножим полученную матрицу влияния на вектор нагрузки и найдем

-4.0751.502

1.079

1.079

M 3.799

-1.48

-1.48

0

Эпюра изгибающих моментов, соответствующая полученному вектору, показана на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Выполняя кинематическую поверку правильности нахождения изгибающих моментов, получим

170