Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

промежуточные поверки – осуществлять контроль правильности выполнения промежуточных этапов расчета;

окончательные поверки – проверять правильность построения эпюр окончательных внутренних усилий.

8.2.1. Промежуточные поверки метода сил

1.Статические промежуточные поверки – осуществляются в ос-

новной системе после построения эпюр внутренних усилий в единичных и грузовом состояниях основной системы и служат для проверки правильности их построения. Такие поверки заключаются в проверке равновесия узлов, стержней и основной системы в целом по правилам для статически определимых стержневых систем.

2.Кинематические промежуточные поверки – осуществляются в основной системе после нахождения коэффициентов и свободных членов канонические уравнения, служат для проверки правильности их нахождения и имеют следующую структуру

2. Кинематические промежуточные поверки

2.1. Поверки коэффициентов – служат для проверки правильности нахождения коэффициентов при основных неизвестных в канонических уравнениях метода сил. Такие поверки бывают двух видов – суммарная и построчные.

Суммарная поверка коэффициентов при основных неизвестных

служит для интегральной проверки правильности нахождения всех коэффициентов канонических уравнений метода сил. С этой целью осуществляют следующее:

вычисляют сумму всех найденных коэффициентов при основных неизвестных в канонических уравнениях

31

i 1 j 1

строят суммарную единичную эпюру ms сложением построенных

эпюр изгибающих моментов во всех единичных состояниях основной системы

n

ms mi ,

i1

умножают суммарную единичную эпюру изгибающих моментов ms саму на себя

полученную величину (8.13) сопоставляют с ранее вычисленной суммой (8.12). Если все коэффициенты вычислены точно, то соблюдается

Если равенство (8.14) не соблюдается, то оценивается относительная погрешность вычисленных коэффициентов. При этом возможны два исхода.

При первом исходе величина их относительной погрешности не превышает 5 %

В этом случае считается, что все коэффициенты при основных неизвестных найдены с достаточной точностью и их поверка на этом заканчивается.

При втором исходе величина относительной погрешности вычисленных коэффициентов канонических уравнений превышает 5 %

В этом случае точность нахождения коэффициентов считается недостаточной, и для локализации причины неточности найденных коэффициентов выполняют построчные поверки коэффициентов.

Построчные поверки коэффициентов при основных неизвестных

служат для проверки правильности нахождения коэффициентов в каждом отдельном каноническом уравнении метода сил. С этой целью для каждого канонического уравнения осуществляют следующее:

32

вычисляют сумму коэффициентов при основных неизвестных для каждого канонического уравнения

j1

умножают последовательно каждую единичную эпюру изгибающих моментов mi на суммарную единичную эпюру ms

полученную величину (8.16) сопоставляют с ранее вычисленной суммой (8.15). Если все коэффициенты i-го канонического уравнения вы-

Если равенство (8.17) не соблюдается, то оценивается относительная погрешность вычисленных коэффициентов i-го канонического уравнения. При этом возможны два исхода.

При первом исходе величина их относительной погрешности не превышает 5 %

В этом случае считается, что коэффициенты при основных неизвестных в i-ом каноническом уравнении найдены с достаточной точностью и поверка коэффициентов данного уравнения на этом заканчивается.

При втором исходе величина относительной погрешности вычисленных коэффициентов i-го канонического уравнения превышает 5 %

В этом случае точность нахождения коэффициентов при основных неизвестных в i-том каноническом уравнении считается недостаточной, и проверяются все расчеты, связанные с их вычислением.

2.2. Поверка грузовых свободных членов – служит для интеграль-

ной проверки правильности нахождения свободных членов канонических уравнений метода сил от действия нагрузки. С этой целью осуществляют следующее:

вычисляют сумму всех найденных грузовых свободных членов канонических уравнений

33

i1

умножают суммарную единичную эпюру изгибающих моментов ms на эпюру моментов грузового состояния MP

полученную величину (8.19) сопоставляют с ранее вычисленной суммой (8.18). Если все грузовые свободные члены системы канонических

Если равенство (8.20) не выполняется, то оценивается относительная погрешность вычисленных грузовых свободных членов канонических уравнений. При этом возможны два исхода.

При первом исходе величина их относительной погрешности не превышает 5 %

P P

P 100 5% .

В этом случае считается, что грузовые свободные члены канонических уравнений найдены с достаточной точностью и их поверка на этом заканчивается.

При втором исходе величина относительной погрешности вычисленных грузовых свободных членов превышает 5%

P P

P 100 5%.

В этом случае точность нахождения грузовых свободных членов канонических уравнений считается недостаточной, и проверяются все расчеты, связанные с их вычислением.

3. Алгебраические промежуточные поверки – служат для провер-

ки правильности решения канонических уравнений

11X1 ... 1n Xn 1P 0

........................................... (8.21)

n1X1 ... nn Xn nP 0

и оценки погрешностей найденных значений основных неизвестных

34

Здесь X1,..., Xn – найденные приближенные значения основных неизвестных; X1,..., Xn – неизвестные точные значения основных неизвестных;1,..., n – неизвестные абсолютные погрешности найденных значений основных неизвестных.

Суть алгебраических промежуточных поверок заключаются в следующем. Найденные приближенные значения основных неизвестных (8.22) подставляются в канонические уравнения (8.21), которые в этом случае не обязательно должны равняться нулю

11X1 ... 1n Xn 1P 0

........................................... (8.23)

n1X1 ... nn Xn nP 0

С учетом (8.22) система уравнений (8.23) примет вид следующих соотношений

11X1 ... 1n Xn 1P 11 1 ... 1n n 0

...................................................................... (8.24)

n1X1 ... nn Xn 1P n1 1 ... nn n 0

Исключая из каждого соотношения (8.24) с помощью (8.21) первые n+1 слагаемое, получим величины абсолютных ошибок, связанные с решением канонических уравнений

11 1 ... 1n n 1 1 0

.................................................

Для оценки допустимости погрешностей найденных значений основных неизвестных вычисляются относительные ошибки, возникающие при решении канонических уравнений. При этом возможны два исхода.

При первом исходе величина относительной ошибки в каждом каноническом уравнении не превышает 5%

35

Здесь min( i , i ) (i 1,...,n) означает, что из двух величин берется наи-

меньшая по модулю. В этом случае считается, что канонические уравнения решеныправильноиосновныенеизвестныенайденысдостаточнойточностью.

При втором исходе величины относительных ошибок в отдельных или во всех канонических уравнениях превышают 5%

В этом случае считается, что канонические уравнения решены неправильно, а основные неизвестные найдены с недостаточной точностью.

8.2.2. Окончательные поверки метода сил

1.Статические окончательные поверки – осуществляются в за-

данной системе после построения эпюр окончательных внутренних усилий. Они заключаются в проверке равновесия узлов, стержней и заданной системы в целом по тем же правилам, что и для статически определимых стержневых систем.

Такие поверки позволяют проверить правильность получения окончательных эпюр при умножении единичных эпюр внутренних усилий на основные неизвестные и сложении их между собой и с грузовыми эпюрами. Но они не позволяют проверить правильность составления канонических уравнений и нахождения основных неизвестных.

2.Кинематические окончательные поверки – осуществляются в заданной системе после построения эпюр окончательных внутренних усилий. Они заключаются в последовательном умножении каждой единичной эпюры изгибающих моментов mi на эпюру окончательных изгибающих

моментов и имеют вид:

при расчете на действие нагрузки

при расчете на действие температуры

при расчете на действие осадки опор

36

Такие поверки позволяют проверить правильность составления канонических уравнений и нахождения основных неизвестных. Но они не позволяют проверить правильность исходных эпюр внутренних усилий в единичных состояниях и грузовом состоянии.

Таким образом, две окончательные поверки взаимно дополняют друг друга и только в случае выполнения каждой из них можно полагать, что внутренние усилия в заданной системе от действующих внешних факторов найдены правильно.

8.3.Особенности расчета методом сил симметричных плоских статически неопределимых стержневых конструкций

8.3.1.Возможные упрощения составления и решения канонических уравнений метода сил

Центральным моментом расчета статически неопределимых стержневых конструкций методом сил является составление канонических уравнений и их решение для определения основных неизвестных. Поэтому трудоемкость расчета, прежде всего, зависит от числа составляемых канонических уравнений. Число таких уравнений равняется степени статической неопределимости рассчитываемой стержневой конструкции и для произвольной статически неопределимой стержневой конструкции составляется система n канонических уравнений

Кроме того, трудоемкость расчета методом сил зависит от числа совместно решаемых уравнений для определения основных неизвестных. Число совместно решаемых канонических уравнений зависит от выбора варианта основной системы метода сил. Следует различать следующие возможные разновидности основных систем метода сил.

Во-первых, обычная основная система, когда для определения основных неизвестных нужно совместно решать все n канонических уравнений системы (8.22). Такой вариант решения канонических уравнений является самым неблагоприятным.

37

Во-вторых, идеальная основная система, когда система канонических уравнений распадается на n отдельных уравнений, содержащих по одному неизвестному

...........................................................................

..................................................... nn Xn nP 0

Каждое уравнение (8.23) позволяет независимо найти соответствующее основное неизвестное. Такой вариант решения канонических уравнений является наиболее благоприятным. В принципе, приведение системы канонических уравнений к виду (8.23) возможно для любой статически неопределимой стержневой конструкции. В общем случае трудоемкость процесса приведения канонических уравнений к виду (8.23) достаточна велика. Однако существуют приемы, позволяющие для статически неопределимых стержневых конструкций частного вида, достаточно просто получать идеальные основные системы метода сил [4].

В-третьих, рациональная основная система, когда система канони-

ческих уравнений распадается на две отельные подсистемы уравнений

X1,..., Xk , вторая – Xk 1,..., Xn . Поэтому решение системы канонических

уравнений в виде (8.24) позволяет, не сокращая числа неизвестных, найти их независимо по частям.

Одним из приемов получения рациональной основной системы является использование свойств симметрии рассчитываемой статически неопределимой стержневой конструкции. В строительной механике используется понятие геометрической или пространственной симметрии, согласно которому конструкция должна быть инвариантна относительно геометрических преобразований – поворота вокруг оси или отражения в плоскости.

38

Поэтому признаками симметрии стержневой конструкции относительно некоторой оси являются:

симметрия общих геометрических размеров;

симметрия схем узловых соединений и опорных закреплений;

симметрия жесткостных характеристик конструктивных элементов.

8.3.2. Расчет симметричных систем частного вида

Рассмотрим одноэтажную однопролетную раму (рис. 8.4), удовлетворяющую все признакам симметрии и обладающую осью симметрии. На раму действует произвольная нагрузка, показанная на рис. 8.4 условным буквенным обозначением P .

Рассматриваемая рама три раза статически неопределимая система

закреплениях. Расчет такой рамы, при любой схеме удаления лишних связей для получения основной системы метода сил, связан с составлением и решением трех канонических уравнений

Первый вариант основной системы может быть получен удалением всех лишних связей на одной из рамных опор, например, правой (рис. 8.5, а)

Рис. 8.5

39

Выясним, к какой разновидности основных систем метода сил относится выбранный вариант основной системы. Для этого проанализируем с помощью формулы Максвелла – Мора, какие значения могут принимать побочные коэффициенты канонических уравнений (8.25). При анализе величин коэффициентов ограничимся учетом влияния только изгибных деформаций

Рассмотрим три единичных состояния основной системы и построим эпюры соответствующих единичных изгибающих моментов (рис.8.5.б). Очертания этих эпюр не имеют никаких характерных особенностей и, очевидно, что при их перемножении согласно правилу Верещагина ни один из побочных коэффициентов в ноль не обращается

Поэтому для определения основных неизвестных, согласно выбранному варианту основной системы метода сил, нужно совместно решать три канонических уравнения системы (8.25). Следовательно, рассмотренный первый вариант основной системы является обычным и не приносит никаких упрощений при составлении и решении канонических уравнений.

Второй вариант основной системы может быть получен удалением трех лишних связей введением сквозного разреза в сечении, лежащем на оси симметрии рассматриваемой рамы (рис. 8.6, а)

Рис. 8.6

При этом, в отличие от первого варианта, основная система удовлетворяет признакам симметрии.

Как и в первом случае, проведем анализ величин побочных коэффициентов, используя для этого формулу Максвелла – Мора. Для этого опять

40