Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

И только коэффициенты, для которых это условие не выполняется, отличны от нуля

Рис. 10.14

С учетом условий (10.3) и (10.4) канонические уравнения (10.2) принимают вид трехдиагональной ленточной системы уравнений

Входящие в (10.5) основные неизвестные являются опорными моментами неразрезной балки, возникающими от действия нагрузки и осадки опор. Составление и решение уравнений (10.5) менее трудоемко по сравнению с исходными уравнениями (10.2).

Таким образом, для дальнейшего расчета неразрезной балки методом сил принимается второй вариант основной системы (рис. 10.12).

11.2.2. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов канонических уравнений (10.5) применяется формула Максвелла – Мора для вычисления единичных перемещений, учитывающая влияние только изгибных деформаций

Применение формулы (10.6) связано с рассмотрением трех единичных состояний и построением единичных эпюр изгибающих моментов mi 1, mi , mi 1.

Единичное состояние Xi 1 и соответствующая ему единичная эпюра mi 1 показаны на рис. 10.15

71

Единичное состояние Xi и соответствующая ему единичная эпюра mi показаны на рис. 10.16.

Перемножая по правилу Верещагина единичные эпюры mi 1 и mi , найдем побочный коэффициент

Из полученных формул (10.7) – (10.9) следует, что для определения коэффициентов канонических уравнений метода сил при расчете неразрезной балки согласно принятому варианту основной системы (рис. 10.12) не нужно каждый раз строить и перемножать единичные эпюры изгибающих моментов. Для их определения достаточно в полученные конечные форму-

72

лы подставить геометрические и жесткостные параметры соответствующих пролетов неразрезной балки.

10.2.3. Определение свободных членов канонических уравнений

Канонические уравнения (10.5) содержат свободные члены, связанные с действием нагрузки и осадки опор.

Свободные члены, связанные с действием нагрузки, являются перемещениями, возникающими в основной системе по направлению основных неизвестных. Поэтому они определяются по формуле Максвелла – Мора для определения перемещений от нагрузки с учетом влияния только изгибных деформаций

же связано с рассмотрением грузового состояния и построением грузовой эпюры изгибающих моментов MP .

Грузовое состояние при действии нагрузки произвольного вида и

где SiA ici , SiB1 i 1di 1 – статические моменты участков грузовой

эпюры i и i+1 пролетов, соответственно, относительно левой и правой опор этих пролетов. Левая опора условно обозначена символом A , правая – символом B.

73

Из полученной формулы (10.11) следует, что для определения свободных членов от нагрузки канонических уравнений метода сил при расчете неразрезной балки согласно принятому варианту основной системы (рис.10.12) не нужно каждый раз перемножать единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов. Для их определения достаточно в полученные конечные формул подставить геометрические и жесткостные параметры соответствующих пролетов неразрезной балки, а также параметры грузовой эпюры в этих пролетах.

Свободные члены, связанные с действием осадки опор, являются перемещениями, возникающими в основной системе по направлению основных неизвестных, и представляют собой взаимные углы поворота торцов на промежуточных опорах. Тогда из рис. 10.19

Рис. 10.19

следует,чтопроизвольныйсвободныйчленномераi определяетсяпоформуле

Здесь i 1 и i – углы поворота пролетов основной системы, примыкаю-

щих к опоре номера i, от заданной осадки опор.

Так как неразрезная балка считается линейно деформируемой системой, то для определения угла поворота произвольного пролета можно использовать приближенную формулу

i 1,...,n

При этом угол поворота считается положительным, если поворот пролета относительно его левой опоры происходит по часовой стрелке. В противном случае угол поворота считается отрицательным.

74

10.2.4. Вывод уравнения трех моментов

Подставим в уравнение (10.5) формулы (10.7) – (10.9) и (10.1) и умножим обе части уравнения 6EI0. Величина EI0 называется типовой жесткостью и за нее может быть принята жесткость любого пролета неразрезной балки. Тогда уравнение (10.5), после несложных преобразований и введения специальных обозначений, примет вид

j i 1,i,i 1

–так называемые приведенные длины пролетов неразрезной балки, примыкающие к опоре номера i, а

– приведенные статические моменты площадей участков грузовой эпю-

ры i и i+1 пролетов, соответственно, относительно левой и правой опор этих пролетов.

Полученное уравнение (10.13), содержащее в качестве неизвестных величин три опорных момента неразрезной балки, имеет трехчленную структуру и называется уравнением трех моментов для случая действия нагрузки. Это уравнение имеет кинематическую природу. Оно выражает собой равенство нулю взаимного угла поворота торцов на любой промежуточной опоре основной системы от действия трех смежных с этой опорой основных неизвестных и заданной нагрузки.

Для вывода уравнения трех моментов, связанного с действием осадки опор, подставим в уравнение (10.5) формулы (10.7) – (10.9) и (10.12) и также умножим обе части уравнения 6EI0. Тогда уравнение (10.5), с учетом введенного понятия приведенной длины, примет вид

75

Полученное трехчленное уравнение (10.14) называется уравнением трех моментов для случая действия осадки опор. Оно также имеет ки-

нематическую природу и выражает собой равенство нулю взаимного угла поворота торцов на любой промежуточной опоре основной системы от действия трех смежных с этой опорой основных неизвестных и заданной осадки опор.

10.2.5. Особенности составления первого и последнего уравнения трех моментов

Полученные уравнения трех моментов (10.13), (10.14) отличаются свободными членами, стоящими в правых частях. Поэтому при выяснении особенностей составления первого и последнего уравнений трех моментов будем в обоих случаях представлять свободные члены как некую константу C1. Тогда, полагая в (10.13) и (10.14) i=1, запишем первое уравнение трех моментов в обобщенном виде

Рассмотрим, какие значения может принимать, входящий в (10.15), опорный момент неразрезной балки X0, и как это будет влиять на структуру уравнения.

В случае простой балки

X0 0,

так как при любых внешних воздействиях на шарнирной опоре момент возникать не может. Следовательно, в уравнении (10.15) остаются две не-

В случае неразрезной балки с консолью

X0 0

если консоль ненагружена и

X0 Mк ,

где Mк – изгибающий момент, возникающий в опорном сечении нулевой опоры неразрезной балки, со стороны загруженной статически определимой консоли. Тогда в первом случае снова приходим к уравнению (10.16), а во втором случае приходим к двухчленному уравнению следующего вида

В случае неразрезной балки с защемляющей опорой с учетом ее замены эквивалентным шарнирно-стержневым изображением (рис. 10.17) и

76

того факта, что первый пролет фиктивный, получим двучленное уравнение следующего вида

Проводя рассуждения аналогичные первому уравнению трех моментов (10.15), можно показать, что и последнее уравнение (10.19) для всех типов неразрезной балки имеет двучленную структуру.

10.2.6. Решение системы уравнений трех моментов

Система уравнений трех моментов с учетом особенностей структуры первого и последнего уравнений в общем случае имеет вид

Система уравнений (10.20) является системой линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, все элементы которой, не лежащие на главной и двух соседних диагоналях, равны нулю.

Решение систем уравнение с трехдиагональной матрицей коэффициентов наиболее просто осуществлять методом прогонки. Алгоритм метода прогонки состоит из прямого и обратного хода.

На первом шаге прямого хода, используя первое уравнение (10.20), неизвестный опорный момент X1 выражается через неизвестный опорный момент X2 и подставляется во второе уравнение. После этого во втором уравнении остаются два неизвестных опорных момента X2 и X3 . Продолжая последовательно процесс выражения неизвестного опорного момента меньшего номера через неизвестный опорный момент большего номера и

77

подстановки его в последующее уравнение, получим последнее уравнение (10.20), содержащим один неизвестный опорный момент Xn-1 .

На первом шаге обратного хода, используя полученное последнее уравнение, находится опорный момент Xn-1 . Затем в обратном порядке находятся все остальные неизвестные опорные моменты.

10.2.7. Определение внутренних усилий неразрезной балки

Так как неразрезная балка рассчитывается методом сил, то возникающие в ней от действия нагрузки изгибающие моменты находятся по формуле

а формула для определения изгибающих моментов от действия осадки опор имеет вид

С учетом особенностей принятого варианта основной системы на изгибающие моменты в каждом пролете оказывают влияние только опорные моменты этого пролета. Поэтому формула (10.21) примет вид

Аналитические выражения, описывающие изменение единичных изгибающих моментов в произвольном пролете номера i, имеют вид

i 1,...,n

78

а формула (10.24) для определения изгибающих моментов в случае действия осадки опор примет вид

i 1,...,n

Для получения формул, позволяющих определять поперечные силы в неразрезной балке, воспользуемся дифференциальной зависимостью

Q dMdx

Тогда с учетом (10.27) и (10.28) формулы для определения поперечных сил имеют вид в случае действия нагрузки

QXi liXi 1 QP

ив случае действия осадки опор

Q Xi Xi 1 li

Опорные реакции неразрезной балки согласно рис. 10.20 определяются по формуле

Ri Qiлев1 Qiпр

1.При наличии защемляющих опор произвести их эквивалентное стержневое изображение.

2.Выполнить нумерацию опор и пролетов, начиная счет первых с 0 и счет вторых с 1.

3.Составить уравнение трех моментов для каждой промежуточной

опоры.

4.Решить систему уравнений трех моментов и найти значения опорных моментов в сечениях промежуточных опор.

5.Определить для каждого пролета в характерных сечениях значения изгибающих моментов и поперечных сил и построить их эпюры.

79

6.По найденным значениям поперечных сил в соответствующих сечениях, примыкающих к опорам, определить опорные реакции.

7.Выполнить окончательные статические и кинематические поверки метода сил.

10.3.Расчет неразрезных балок на действие неподвижной нагрузки

сиспользованием фокальных свойств

10.3.1.Фокальные свойства неразрезной балки

Рассмотрим неразрезную балку, загруженную неподвижной нагрузкой в одном пролете (рис. 10.21).

Рис. 10.21

При таком нагружении схеме деформирования очертанию изогнутой оси неразрезной балки присуща определенная закономерность. Она заключается в чередовании направления прогибов в незагруженных пролетах. Поскольку очертание изогнутой оси неразрезной балки связано с изгибающими моментами выясним, какие в этом случае возникают закономерности распределения изгибающих моментов в незагруженных пролетах.

Запишем первое уравнение трех моментов, связанное с первой промежуточной опорой

Свободный член в уравнении (10.29) отсутствует, так как к первой промежуточной опоре примыкают два незагруженных пролета. Из (10.29) найдем соотношение опорных моментов

Из (10.30) следует, что опорные моменты во втором незагруженном пролете имеют разные знаки. Их отношение является некоторой постоянной величиной k2, которая зависит только от геометрических и жесткостных параметров балки и не зависит от нагрузки. Модуль этого отношения не может быть менее 2.

80