Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

LmT BM M

Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 4.12, найти построить эпюры изгибающих моментов и выполнить кинематическую поверку их правильности

Рис. 4.12

Размеры рам и значения нагрузок приведены в табл. 4.1. Поперечные сечения элементов всех рам имеют одинаковую изгибную жесткость EIZ .

Тема № 5. Определение внутренних усилий в неразрезной балке от неподвижной нагрузки с использованием уравнений трех моментов

Цель занятия:

Научиться определять изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от действия постоянной нагрузки.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Уравнение трех моментов при действии нагрузки имеет вид

171

Решение такой системы уравнений, осуществляемое методом прогонки, позволяет найти опорные моменты неразрезной балкиXi (i=1,…,n-1).

Формула для определения изгибающих моментов в пролетах неразрезной балки имеет вид

Mli li x Xi 1 lxi Xi M P

i 1,...,n

Поперечные силы в пролетах неразрезной балки определяются по формуле

Q Xi liXi 1 QP

Формула для определения опорных реакций имеет вид

Ri Qiлев1 Qiпр .

i 0,1,...,n

Пример 6. Для неразрезной балки, показанной на рис. 5.1, определить изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий.

Рис. 5.1

Введем эквивалентное стержневое изображение для защемляющей опоры и произведем нумерацию опор и пролетов (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Тогда параметры эквивалентной неразрезной балки принимают значения

172

l1 0 l2 6м l3 8м l4 8м b 2м

I0 I I2 I I3 2I I4 2I

Составляем систему уравнений трех моментов

и определяем величины, входящие в коэффициенты уравнений трех моментов

Строим грузовую эпюру моментов (рис. 5.3)

Рис. 5.3

Формулы для определения приведенных статических моментов участков грузовых эпюр имеют вид

Численные значения величин, входящих в свободные члены уравнений трех моментов, равны

173

S2A S2B 108 кНм3

S3A S3B 341.3 кНм3

S4A S4B 341.3 кНм3

и

X4 Mк 4 кНм

Тогда система уравнений трех моментов в численном виде имеет вид

2X1 X2 18

3X1 10X2 2X3 118

X2 4X3 60

В результате решения этих уравнений получим следующие значения опорных моментов неразрезной балки

X1 5.2 кНм

X2 7.63 кНм

X3 13.1 кНм

Тогда эпюра опорных моментов имеет вид, показанный на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Окончательная эпюра моментов, полученная сложением грузовой эпюры и эпюры опорных моментов, имеет вид, показанный на рис. 5.5.

Рис. 5.5

174

Тогда окончательная эпюра поперечных сил имеет вид, показанный на рис. 5.6.

Рис. 5.6

С помощью эпюры Q определяем опорные реакции

R1 5.6 кН

R2 13.7 кН

R3 17.8 кН

R4 10.9 кН

Для проверки правильности определения опорных реакций в соответствии со схемой балки, показанной на рис. 5.7, составим уравнение проекций на ось y

y 0; 5.6 13.7 17.8 10.9-2 24 48-48 0

иуравнение моментов относительно заделки

M1 0; 5.2-13.7 6-17.8 14-10.9 22 2 24 12 -576.4 576 -0.4

Рис. 5.7

Полученная погрешность

5760.4 100% 0.07%

существенно меньше допустимой погрешности инженерных расчетов.

175

Задачи для самостоятельного решения. Для балок, показанных на рис. 5.8, найти изгибающие моменты, поперечные силы, опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Рис. 5.8

Тема № 6. Определение внутренних усилий в неразрезной балке от неподвижной нагрузки методом моментных фокусных отношений

Цель занятия:

Научиться определять изгибающие моменты от действия постоянной нагрузки, используя моментные фокусные отношения.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Рекуррентные формулы для вычисления моментных фокусных отношений имеют вид:

– левые моментные фокусные отношения

ki 2 lili1 (2 ki11 ) ;

– правые моментные фокусные отношения

ki 2 lili1 (2 ki11 ) .

Опорные моменты загруженного пролета вычисляются по формулам

176

Пример 7. Для неразрезной балки, показанной на рис. 6.1, определить изгибающие моменты с помощью моментных фокусных отношений.

Рис. 6.1

Задаем параметры нагрузки

q 4 кН / м P 8 кН .

Задаем параметры неразрезной балки

l1 12 м l2 12 м l3 12 м l4 12 м l5 12 м

EI0 EI EIi EI (i 1,...,5)

и определяем приведенные длины пролетов

Используя рекуррентные формулы, вычислим левые k1

k2 4 k3 3.75

k4 3.733 k5 3.732

и правые моментные фокусные отношения k5 k4 4

k3 3.75 k2 3.733 k1 3.732

Стоим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 6.2)

Рис. 6.2

177

и определяем статические моменты ее площадей в загруженных пролетах

S2A S2B 3456 кНм3

S4A S4B 864 кНм3

Рассматриваем первое нагружение – нагрузка во втором пролете. Определяем опорные изгибающие моменты на левом конце

и на правом конце загруженного пролета

Используя правые моментные фокусные отношения, находим изгибающие моменты по концам незагруженных пролетов

X13 X12 8.269 кНм k3

X14 X13 2.067 кНм k4

X15 X14 0

k5

Рассматриваем второе нагружение – нагрузка в четвертом пролете. Определяем опорные изгибающие моменты на левом конце

и на правом конце загруженного пролета

Используя левые моментные фокусные отношения, находим изгибающие моменты по концам незагруженных пролетов

X25 X24 0

k5

X22 X23 2.067 кНм k3

X21 X22 0.517 кНм k2

X20 0

178

Суммарные опорные моменты определяем по формулам

X1 X11 X21 28.765 кНм

X2 X12 X22 28.941 кНм

X3 X13 X23 0.517 кНм

X4 X14 X24 9.129 кНм

Окончательная эпюра моментов имеет вид, показанный на рис. 6.3

Рис. 6.3

Задачи для самостоятельного решения. Для балок, показанных на рис. 5.8 найти изгибающие моменты с помощью моментных фокусных отношений и построить их эпюры.

Тема № 7. Определение внутренних усилий в плоских статически неопределимых рамах от неподвижной нагрузки

методом перемещений

Цель занятия: научиться:

1.Определять внутренние усилия от действия постоянной нагрузки.

2.Выполнять поверки правильности их определения.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. В основе рас-

чета стержневых конструкций методом перемещений лежит переход от заданной кинематически неопределимой системы к расчету основной кинематически определимой системе. Основная система получается из заданной наложением на ее узлы дополнительных связей в соответствии с числом и видом неизвестных перемещений узлов.

179

Неизвестные узловые перемещения называются основными неизвестными метода перемещений. Для их определения составляются канонические уравнения, которые при расчете на действие нагрузки имеют вид

r11Z1 ... r1nZn R1P 0,

......................................

rn1Z1 ... rnnZn RnP 0.

Канонические уравнения представляют собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно основных неизвестных Z1,...,Zn . Для решения канонических уравнений необходимо определить

коэффициенты при основных неизвестных rij и свободные члены RiP . Для определения коэффициентов rij нужно образовать единичные

состояния основной системы, загрузив ее последовательно безразмерными

RiP i 1,...,n необходимо рассмотреть основную систему под действием нагрузки и построить эпюры изгибающих моментов MP и поперечных сил QP . Такие эпюры MP , QP называются грузовыми, а соответствующая им

схема нагружения считается грузовым состоянием основной системы. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических

уравнений может производиться статическим способом или способом перемножения эпюр. На практике обычно применяют первый способ, который более прост. Способ перемножения эпюр целесообразно применять при расчете рам с наклонными элементами.

Суть статического способа заключается в вырезании сквозными сечениями узлов и отдельных частей основной системы и определении реакций в наложенных связях из условий равновесия вырезанных частей. Такое вырезание производится в бесконечной близости от центров узлов. При этом значения изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях перерезанных стержней берутся из соответствующих им эпюр.

После решения канонических уравнений и нахождения основных неизвестных метода перемещений изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в заданной системе от нагрузки, определяются по формулам

MZ m1Z1 ... mnZn , QZ q1Z1 ... qnZn.

180