Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

Рис. 2.2

Первое единичное состояние и соответствующие ему эпюры внутренних усилий показаны на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Второе единичное состояние и соответствующие ему эпюры внутренних усилий показаны на рис. 2.4.

Рис. 2.4

151

Находим коэффициенты канонических уравнений по формуле Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина

Грузовое состояние основной системы и соответствующие ему эпюры внутренних усилий показаны на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Находим свободные члены канонических уравнений по формуле Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина

152

Таким образом, канонические уравнения метода сил для рассчитываемой рамы, с учетом найденных значений коэффициентов и свободных членов, принимают вид

85,333X1 32X2 640 0,

32X1 21,333X2 256 0.

Решая систему канонических уравнений, получим следующие значения основных неизвестных

X1 6,857кН, X2 1,714кН .

Формулы для определения окончательных внутренних усилий рассчитываемой рамы принимают вид

Mm1X1 m2 X2 M P0 , Q q1X1 q2 X2 QP0 ,

Nn1X1 n2 X2 NP0 .

Построенные в соответствии с этими формулами эпюры окончательных внутренних усилий приведены на рис. 2.6.

Рис.2.6

Для проверки правильности найденных внутренних усилий сначала выполним статические поверки. С этой целью проверим равновесие узлов и стержней рамы согласно схемам, приведенным на рис. 2.7

153

Рис. 2.7

и проверкуравновесиярамывцеломсогласносхеме,приведеннойнарис.2.8.

Рис. 2.8

Составляя уравнения равновесия для узла B (рис. 2.7, а)

M 0; 4,572 4,572 0,

y 0; 1,714 1,714 0,

x 0; 9,143 9,143 0,

для стержня AB (рис. 2.7, б)

M A 0; 4 4 2 4,572 9,143 4 36,572 36,572 0,

M B 0; 6,857 4 4 4 2 4,572 32 32 0,

для стержня BC (рис. 2.7, б)

M B 0; 1,714 4 2,284 4,572 6,856 6,856 0,

MC 0; 1,714 4 4,572 2,284 6,856 6,856 0,

154

идля рамы в целом (рис. 2.8)

M A 0; 4 4 2 1,714 4 2,284 9,143 4 38,856 38,856 0,

MC 0; 6,857 4 1,714 4 4 4 2 2,284 34,284 34,284 0,

можно увидеть, что все статические поверки для заданной рамы выполняются.

Кинематические поверки правильности найденных внутренних усилий для заданной рамы имеют вид

и для их осуществления необходимо последовательно перемножить эпюру окончательных изгибающих моментов с эпюрами изгибающих моментов единичных состояний.

В результате осуществления первой кинематической поверки получим

Невязка составляет

0,021 100 0,034% ,

60,939

что меньше допустимой погрешности в 5%.

В результате осуществления второй кинематической поверки получим

Невязка во втором случае составляет

0,011 100 0,09% ,

12,181

что также меньше допустимой погрешности в 5%.

Таким образом, выполненные статические и кинематические поверки показывают, что эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для заданной рамы построены правильно.

155

Задачи для самостоятельного решения. Для рам, показанных на рис. 2.9, найти внутренние усилия, построить эпюры этих усилий и проверить их правильность.

Рис. 2.9

Размеры рам и значения нагрузок приведены в табл. 2.1. Поперечные сечения элементов всех рам имеют одинаковую изгибную жесткость EIZ .

156

Тема № 3. Определение внутренних усилий в симметричных плоских статически неопределимых рамахот неподвижной нагрузки методом сил

Цель занятия:

Научиться определять изгибающие моменты от действия постоянной нагрузки с использованием свойств симметрии.

Исходные уравнения, рабочие формулы и правила. Особенность расчета симметричных плоских статически неопределимых рам методом сил заключается в том, что при образовании основной системе метода сил основные неизвестные должны быть разделены на симметричные и антисимметричные величины. Это позволяет разложить систему канонических уравнений метода сил на две независимые подсистемы уравнений. Это позволяет, не сокращая числа неизвестных, найти их независимо по частям.

Вчастном случае, когда удается удалить все лишние связи в сечениях, принадлежащих оси симметрии, получается автоматическое разделение основных неизвестных метода сил на симметричные и антисимметричные величины,

Вобщем случае применяют группировку однотипных основных неизвестных и искусственное выделение симметричных и антисимметричных составляющих.

Дальнейший расчет связан с раздельным нахождением симметричных и антисимметричных основных неизвестных и осуществляется в той же последовательности, как и для рам, не обладающих симметрией,

Пример 4. Для рамы, показанной на рис. 3.1, построить эпюру M.

Рис. 3.1

Так как у рамы отсутствуют замкнутые контуры, то степень ее статической неопределимости определимости определяется по формуле

Л W

157

Для образования симметричной основной системы метода сил отбросим по одному опорному стержню на каждой опоре. Полученный вариант основной системы, с учетом разделения основных неизвестных на антисимметричные и симметричные, показан на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Канонические уравнения метода сил для рассчитываемой рамы, с учетом ее степени статической неопределимости и разделения основных неизвестных на антисимметричные и симметричные, имеют вид

11X1 1P 0

22 X2 23 X3 2P 0

32 X2 33X3 3P 0

Первое каноническое уравнение позволяет определить антисимметричное основное неизвестное X1 , второе и третье канонические уравнения – сим-

метричные основные неизвестные – X2, X3 .

Для определения коэффициентов и свободных членов образуем единичные и грузовое состояния и строим для них эпюры внутренних усилий как для статически определимых рам.

Первое единичное состояние и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3

158

Второе единичное состояние и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Третье единичное состояние и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 3.5.

Рис. 3.5

Находим коэффициенты канонических уравнений по формуле Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Для определения коэффициента первого канонического уравнения умножим антисимметричную единичную эпюру m1 саму на себя

Для определения коэффициентов второго и третьего канонических уравнений умножим симметричные единичные эпюры m2 и m3 сами на себя и друг на друга

159

Грузовое антисимметричное состояние основной системы и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов показана на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Грузовое симметричное состояние основной системы и соответствующая ему эпюра изгибающих моментов показана на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Находим свободные члены канонических уравнений по формуле Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Для определения свободного члена первого канонического уравнения умножим антисимметричную единичную эпюру m1 на грузовую эпюру антисимметричного состояния

Для определения свободных членов второго и третьего канонических уравнений умножим симметричные единичные эпюры m2 и m3 на грузовую эпюру симметричного состояния

160