1.2 Представление входного сигнала в виде совокупности простых составляющих
В реальных системах входной сигнал может иметь произвольную форму. Для изучения поведения линейной системы сложный входной сигнал представляют в виде совокупности простых сигналов.
Сигнал
можно представить в виде совокупности
интегралов от единичных скачков,
действующих в момент времени
или в момент времени
.
.
.
.
Таким образом, любой сигнал может быть представлен в виде совокупности элементарных сигналов типа единичного скачка, мгновенного импульса, синусоиды. Такое представление входного сигнала позволяет определить выходной сигнал системы как совокупность составляющих, получающихся от простых сигналов на входе системы.
1.3 Реакция системы на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля (частный случай интеграла Коши)
Если входной сигнал задан функцией времени, то сигнал на выходе системы может быть найден с помощью переходной или весовой функции.
Определим реакцию системы на это произвольное входное воздействие с использованием понятия весовой функции.
Пусть
входной сигнал
имеет произвольный вид. Разобьём
временной интервал на отрезки
и
определим входное воздействие как сумму
дельта -
функций с амплитудой
,
тогда
.
По
определению
реакция системы на
.
Используя это, определим выход как
предел суммы реакций на импульсы шириной
.
Эта
формула описывает выход системы точно
при
,
следовательно,
.
. (1)
Реакция системы на произвольное входное воздействие с использованием понятия переходной функции определяется аналогично:
(2)
Полученные соотношения (1) им (2) называются интегралами Дюамеля при нулевых начальных условиях.
Для
входного воздействия произвольного
вида, прикладываемого в момент
,
может быть определён сигнал на выходе
системы при нулевых начальных условиях
на основании интеграла Дюамеля по
переходной
,
или импульсной переходной
функции, где
-
вспомогательная переменная, изменяющаяся
в пределах от 0 до
.
2. Практическая часть
2. 1. Вычисление временных характеристик
Пример 1.
Определить
и
звена с передаточной функцией
.
Решение.
Выходной
сигнал в изображении по Лапласу имеет
вид:
.
Пусть
,
тогда
.
,
где
.
Для вычисления оригинала можно воспользоваться таблицей или формулой (2.1) из лабораторной работы № 2.
;
.
Пусть
,
тогда
и
,
где
Для вычисления оригинала можно воспользоваться формулой (2.2) из лабораторной работы № 2.
.
Вычисление и построение временных характеристик может проводиться:
- по вычислительному алгоритму, рассмотренному в лабораторной работе № 2;
- с использованием стандартных функций step и impulse.
Например:
.
Вычисление и построение импульсной переходной функции. Код в редакции command window, представлен ниже.
>> q=[25]; p= [1 2 25]; - задание числителя и знаменателя
>>t=[0:0.01:5];
Первый вариант задания функции
>>sys=tf(q,p) - задание передаточной функции
>>w=impulse(sys,t); - вычисление ИПФ
>>plot(t, w); grid on, xlabel ('Time(sec)'), ylabel('x(t)').
Второй вариант задания функции
>> w1=tf (q, p);
>> impulse (w1,5); grid on; xlabel ('Time(sec)'), ylabel ('h(t)') - построение ИПФ
На рис. 1. приведен график функции, построенный с использованием оператора impulse.
Рис. 1. График функции, построенный с использованием оператора impulse
Вычисление и построение переходной функции
>>h=step (sys, t); - вычисление переходной функции
>>plot(t, h); grid on, xlabel ('Time(sec)'), ylabel('h(t)').
или
>> h1=tf (q, p);
>> step (h1,5); grid on; xlabel ('Time(sec)'), ylabel ('h1(t)') - построение ПФ
На рис. 2. приведен график функции, построенный с использованием оператора step.
Рис. 2. График функции, построенный с использованием оператора step