1.2 Математическое описание систем с помощью ду

Рассмотрим детерминированную непрерывную стационарную динамическую систему, состоящую из звеньев, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

, (1)

где - параметры системы при .

Число называется порядком дифференциального уравнения (ДУ) или порядком системы. Введём для операции дифференцирования оператор дифференцирования , т.е. или , тогда уравнение (1) запишется в виде:

(2)

При записи и преобразовании ДУ оператор дифференцирования нужно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение как произведение, не обладающее свойством коммутативности.

Учитывая это замечание, вынесем и за скобки:

(3)

Т.о., мы перешли к форме записи ДУ, которая называется операторной или символической.

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами записывают в теории управления в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и её производные, записываются в левой части уравнения, а все остальные в правой. В правой части члены, содержащие входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент выносят за скобки. Коэффициенты при выходной и входной величине делают равным 1.

(4)

Введём обозначения: .

Это постоянные времени, которые характеризуют инерционные свойства системы.

- коэффициент передачи или передаточный коэффициент, который характеризует уровень сигнала на выходе системы.

Окончательно получаем уравнение (1) в стандартной форме:

(1.5)

1.3 Операторная передаточная функция

Вернёмся к уравнению (3) и введём обозначения:

.

Тогда уравнение (3) можно записать в компактной форме:

(6)

Оператор при выходной величине называется собственным оператором системы, оператор при входной величине – оператором воздействия. Уравнение (6) можно записать в виде:

Назовём отношение оператора воздействия к собственному оператору операторной передаточной функцией и будем обозначать

(7)

Уравнение (7) представляет вторую форму записи ДУ.

Замечание. Приведённые выше записи являются символическими, поскольку не дают решения исходного ДУ относительно выходной величины, т.к. не определена операция деления оператора на оператор.

Рассмотрим пример: получим дифференциальное уравнение и передаточную функцию простейшего четырёхполюсника, содержащего резистор и конденсатор.

Составим дифференциальное уравнение системы (RC - цепочка):

Рис. 1 Систем: RC - цепочка

Система описывается следующими уравнениями

, (8)

. (9)

Продифференцируем уравнение (8), получим

.

Выразим из (9) , получим: .

Найдём соотношение вход-выход:

,

или

.

Введём оператор дифференцирования: .

Проведём преобразования: .

Введём обозначения: ,

тогда .

Обозначим , тогда передаточная функция будет иметь вид: .

Вычисления можно упростить, если сразу в (8) и (9) перейти к оператору дифференцирования.

2. Практическая часть

Объектом исследования в данной лабораторной работе являются аналитические формы представления динамических процессов, а целью – получение структурных математических моделей типовых линейных звеньев.

Модели линейных систем могут быть представлены аналитически в виде:

• дифференциального уравнения n-го порядка;

• системы n дифференциальных уравнений первого порядка;

• передаточной функции, записанной в общем виде;

• передаточной функции как соединении типовых передаточных функций элементарных звеньев.

Запишем линейное дифференциальное уравнение в виде

или

где и - постоянные коэффициенты; - выходная, - входная переменные; для реальных систем .

Перейдём к операторной (символической) форме записи

, (10)

- символ дифференцирования;

Решение этого уравнения найдём для нулевых начальных условий

Передаточная функция в операторной форме имеет вид:

При для всех и дифференциальное уравнение записывается как , а передаточная функция имеет вид

. (11)

Выходную переменную можно получить путем последовательного интегрирования старшей производной . Для этого потребуется последовательно включенных интеграторов, сигналы на входах которых представляют собой производные от до . Старшая производная получается путём суммирования производных более низкого порядка.

Запись дифференциального уравнения (11) можно представить в виде

(12)

Рассмотренный метод моделирования называется методом математического моделирования систем управления путём понижения порядка дифференциального уравнения.