1.1 Алгебраические критерии

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения системы:

.

Замечание. Исторически сложилось, что запись коэффициентов характеристического уравнения идёт в порядке возрастания, т.е. при старшей производной находится коэффициент с младшим индексом.

Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, т.е.

.

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным.

Для систем более высокого порядка этого условия устойчивости недостаточно.

1.2 Критерий устойчивости Гурвица (алгебраический)

В 1895г. немецким математиком Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы. Приведём критерий без доказательства.

Для характеристического уравнения составим квадратную матрицу, содержащую строк и столбцов.

Для того чтобы воспользоваться критерием, необходимо составить матрицу Гурвица: по диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов вписываются все коэффициенты по порядку от до . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента на его месте записывается «0».

; .

и т.д.

Сформулируем критерий Гурвица:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители данной системы были положительными при , т.е.

.

Для систем, описываемых уравнениями первого и второго порядка, критерий Гурвица заключается в требовании положительности всех коэффициентов уравнения: .

Если определитель Гурвица равен 0, то система находится на границе устойчивости, т.е. . Последнее равенство возможно в двух случаях: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один корень характеристического уравнения нулевой), во втором случае – на границе колебательной устойчивости (характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней).

1.3 Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, т.к. сравнительно легко позволяют исследовать устойчивость систем высоких порядков, а также имеют простую геометрическую интерпретацию.

В основе частотных методов лежит принцип аргумента — следствие из теоремы функций комплексного переменного, а именно теоремы Коши, относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области.

Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий сформулирован в 1938г. советским учёным Михайловым и является геометрической интерпретацией принципа аргумента.

Рассмотрим приращение аргумента на интервале частот от 0 до , тогда

,

где — число корней в правой части комплексной плоскости; — число корней в левой части комплексной плоскости.

Если все корни этого уравнения (1) находятся в левой части комплексной плоскости , то система устойчива, т.е. и изменение аргумента:

.

Определение. Система управления устойчива, если годограф , начинаясь на действительной положительной полуоси, при изменении частоты от 0 до огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно квадрантов, где - порядок характеристического уравнения.

На рис. 6.1 приведены характеристики, соответствующие устойчивой системе. При изменение аргумента равно , при изменение аргумента равно и характеристическая кривая проходит через два квадранта, и т.д.

Рис. 1. Характеристические кривые (годографы) для устойчивых систем ( )

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причём её конец уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения системы.

Неустойчивость системы связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.2).

Рис. 2. Годограф неустойчивой системы

Критерий Михайлова можно записать в другой форме:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вещественная и мнимая функции Михайлова, приравненные к нулю, имели действительные и перемежающиеся корни, причём общее число корней равно порядку характеристического уравнения.

Условие перемежаемости частот позволяет отказаться от построения кривой Михайлова.