Критерий устойчивости Найквиста

В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования систем с единичной отрицательной обратной связью (рис. 3).

Рис. 3. Замкнутая система.

Критерий основан на рассмотрении амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости соответствующей замкнутой системы.

Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы может быть получена как аналитически, так и экспериментально.

Напомним основные определения критерия Найквиста для статических систем:

1. Если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы не охватывал критическую точку (-1, j0) в положительном направлении (против часовой стрелки).

2. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ годограф разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рис. 4. Годографы устойчивой замкнутой системы:

а – разомкнутая система неустойчива (l = 1);

б – разомкнутая система устойчива (l = 0).

При сложной форме годографа могут возникнуть затруднения при определении числа её оборотов вокруг критической точки (-1, j0). В этом случае используют правило переходов, предложенное Я.З. Цыпкиным.

Назовём переход характеристики через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) положительным, если он происходи сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу верх.

Если характеристика начинается или заканчивается на отрезке левее критической точки (-1, j0, то в этих случаях она совершает полперехода.

3. Если разомкнутая система неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от 0 до ∞ разность отрицательных и положительных переходов годографа разомкнутой системы через отрезок вещественной отрицательной полуоси левее критической точки (-1, j0) была равна l/2 раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

АФЧХ разомкнутых статических систем при изменении частоты ω от 0 до ∞ образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем при ω=0 годограф начинается в бесконечности. Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка v необходимо начало АФЧХ разомкнутой системы дополнить дугой бесконечного радиуса против часовой стрелки до пересечения с вещественной положительной полуосью (т.е. сделать контур замкнутым) и применить соответствующее правило по критерию устойчивости Найквиста (рис. 5).

Рис. 5. Годограф устойчивой замкнутой системы.

Задание на выполнение лабораторной работы

Эксперимент 1. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .

1.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink, используя блоки (см. ЛР № 1 эксп. 3);

1.2. Получите реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие при ;

1.3. Исследуйте устойчивость заданной разомкнутой системы:

- по коэффициентам характеристического уравнения

- по корням;

- по кривой переходного процесса;

- по критерию Гурвица;

Сделайте вывод об устойчивости заданной системы, результаты занесите в табл.6.1.

1.4. Охватите звено единичной отрицательной обратной связью (рис. 3), получите передаточную функцию замкнутой системы;

1.5. Получите семейство переходных характеристик замкнутой системы при изменении коэффициента в пределах от 0.2 до 10).

1.6. Исследуйте устойчивость замкнутой системы:

- по кривой переходного процесса;

- по корням;

- по коэффициентам характеристического уравнения;

- по критерию Гурвица;

1.7. Сделайте вывод об устойчивости замкнутой системы, результаты занесите в таблице 1. Сделайте вывод о влиянии коэффициента на устойчивость;

1.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова;

1.9. Постройте годограф разомкнутой системы с использованием пакета Matlab (используйте материалы лабораторной работы № 5). Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста.

Таблица 1.

Разомкнутая система
Передаточная функция		Характеристический полином
Исследование устойчивости
корни	коэффициенты	по	по Гурвицу
Система устойчива	Система устойчива	Система устойчива	Система устойчива
Замкнутая система
Передаточная функция		Характеристический полином
Исследование устойчивости
корни	коэффициенты	по	по Гурвицу
Система	Система	Система	Система
Переходная характеристика разомкнутой системы		Переходная характеристика замкнутой системы
Критерий Михайлова		Критерий Найквиста
Система		Система

Эксперимент 2. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии .

2.1. Для моделирования использовать схему эксперимента 1, заменив отрицательную обратную связь на положительную.

2.2-2.7. Повторите пункты 1.2-1.7 эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 2. Определите .

2.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова для разных коэффициента ( ). Кривые Михайлова для разных коэффициентов показать на одном рисунке.

2.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста для .

Эксперимент 3. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

3.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink.

3.2.-3.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 3.

3.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при изменении коэффициента .

3.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при изменении коэффициента .

Эксперимент 4. Исследование устойчивости звена с передаточной функцией В разомкнутом состоянии .

4.1. Наберите модель звена c заданными параметрами в пакете Simulink;

4.2.-4.7. Повторите пункты 1.2. -1.7. эксперимента 1, полученные результаты занесите в таблицу 5. Определите .

4.8. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова при К< ;

4.9. Исследуйте устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста при К< .