1.2 Частотные характеристики цепочки последовательно соединенных звеньев
Рассмотрим получение частотных характеристик на примере, из которого ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде
,
причем
(при таком
можно будет не учитывать «горба»
амплитудной частотной характеристики
колебательного звена).
Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид:
.
Логарифмическую амплитудную частотную характеристику можно строить непосредственно по заданной передаточной функции.
Для
этого надо помнить, что, согласно
характеристикам типовых звеньев, каждому
сомножителю типа
в знаменателе соответствует точка
излома характеристики при
с последующим наклоном -20 дб/дек, а
каждому сомножителю такого же типа в
числителе соответствует точка излома
при
с последующим наклоном +20 дб/дек.
Сомножителю
в знаменателе соответствует излом с
наклоном -40 дб/дек, если
.
При
нужно добавочно строить горб, вычислив
превышение Н.
Т.о., пронумеровав по порядку все сомножители передаточной функции:
,
для каждого из них получим характеристики, показанные на рис. 3.3(а) и обозначенные цифрами в кружках.
Простое
сложение их дает искомую логарифмическую
амплитудную частотную характеристику
данной разомкнутой цепи звеньев,
показанную на рис. 3.3 (б).
На рис. 3.3 (в)
согласно написанной выше формуле
изображена фазовая ЧХ
.
Частоты
в точках изломов
называются сопрягающими
частотами.
Рис. 3. Построение ЛАЧХ
2. Практическая часть
Практическая компонента лабораторной работы состоит из двух частей: экспериментальное и аналитическое определение АЧХ и ФЧХ типовых звеньев, сравнение полученных результатов.
Экспериментальное определение АЧХ и ФЧХ связано с определёнными трудностями, т.к. эти характеристики не получаются в явном виде сразу.
Экспериментальное определение АЧХ и ФЧХ проводится в среде Simulink.
На
вход звена (системы) подаётся гармонический
сигнал
.
Частота
может изменяться в широких пределах.
Измерив амплитуду входной величины
и
амплитуду выходной величины
,
получим значение амплитудной характеристики
при данном значении частоты
.
Для определения фазового сдвига при определённом значении частоты необходимо определить значения по горизонтальной оси, соответствующие максимальным значениям выходного и входного сигналов, найти разницу между ними и домножить на масштабирующий коэффициент.
Изменяя
частоту
входного сигнала от 0 до
,
получаем значения
и
для
фиксированных частот, по которым можно
построить АЧХ и ФЧХ системы.
Задание на выполнение лабораторной работы
При выполнении экспериментов используются математические модели из лабораторной работы № 1 эксперименты 1, 2, 3,
Эксперимент1. Экспериментальное определение частотных характеристик пропорционального (усилительного) звена.
Передаточная
функция звена
.
1.1.
Получить самостоятельно частотные
характеристики исследуемого звена:
,
ЛФЧХ и построить качественно графики
полученных функций.
1.2. Для получения схемы набора использовать блоки Sin, Transfer Fcn, Mux, Scope, соединённые последовательно. На блоке Transfer Fcn набрать заданную передаточную функцию. На экране осциллографа обязательно должны быть входной и выходной сигналы.
1.3.
Определить отношение амплитуд сигналов
и сдвиг фаз между ними для различных
значений частоты
в пределах от 0,1 c-1
до 10 c-1.
Эксперимент провести для 3-4 значений
частоты, результаты занести в таблицу
1.
-
значение по горизонтальной оси,
соответствующее максимальному значению
входного сигнала;
-
значение по горизонтальной оси,
соответствующее максимальному значению
выходного сигнала;
-
масштабный коэффициент, соответствующий
цене деления по горизонтальной оси,
позволяющий определить величину фазового
сдвига в градусах.
Например:
,
где 180 – градусы; 3.14 – значение времени,
соответствующее пересечению входного
сигнала горизонтальной оси, при заданной
частоте 1 рад/сек.
Таблица 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2.28 |
2.28 |
1.57 |
2.45 |
-0.88 |
57.32 |
50,44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. По полученным значениям и построить графики.
1.5. Сравнить экспериментальные характеристики с теоретическими, оценить погрешность эксперимента.
Эксперимент 2. Экспериментальное определение частотных характеристик интегрирующего звена.
Передаточная
функция:
.
Скопировать схему моделирования эксперимента 1, задать требуемую передаточную функцию на блоке Transfer Fcn. Получить на экране осциллографа одновременно изображение входного и выходного сигналов.
Повторить пункты 1.1 – 1.5.
Эксперимент 3. Экспериментальное определение частотных характеристик апериодического звена.
Передаточная
функция:
.
Значения K
и T
взять из
таблицы 2.
Повторить пункты 1.1. – 1.5 для указанного звена. Эксперимент провести для 6-8 значений частоты.
Таблица 2. Варианты заданий
№ |
|
|
№ |
|
|
1 |
0.5 |
10 |
14 |
7.0 |
1/5 |
2 |
1.25 |
10/2 |
15 |
7.5 |
1/6 |
3 |
1.5 |
10/3 |
16 |
8.0 |
1/7 |
4 |
2.0 |
10/4 |
17 |
8.5 |
1/8 |
5 |
2.5 |
10/5 |
18 |
9.0 |
1/9 |
6 |
3.0 |
10/6 |
19 |
9.5 |
1/10 |
7 |
3.5 |
10/7 |
20 |
10 |
1/20 |
8 |
4.0 |
10/8 |
21 |
10.5 |
1/25 |
0 |
4.5 |
10/9 |
22 |
12 |
1/30 |
10 |
5.0 |
1.0 |
23 |
8.0 |
1/35 |
11 |
5.5 |
1/2 |
24 |
6.0 |
1/40 |
12 |
6.0 |
1/3 |
25 |
4.0 |
1/45 |
13 |
6.5 |
1/4 |
26 |
2.0 |
1/50 |
Эксперимент 4. Определение частотных характеристик апериодического звена с помощью стандартных функций пакета Matlab.
Частотные
функции:
;
;
;
;
;
,
ЛФЧХ.
Пример:
Передаточная функция звена имеет вид:
1. Вычисление вещественной и мнимой частотных характеристик:
Для
выделения действительной и мнимой части
функции
необходимо
освободиться от комплексного числа в
знаменателе, для этого числитель и
знаменатель функции домножается на
комплексно-сопряжённое знаменателю
число.
.
2. Построение и .
Вычисление и построение частотных характеристик. Код в редакции Command Window, представлен ниже.
>> q=[10]; p=[2 1];
>> w=[0:0.05:30];
>> W=10./(i.*2.*w+1);
>> WR=real(W);
>> plot(w,WR), grid on, xlabel('w'), ylabel('P(w)')
>> WI=imag (W);
>> plot(w,WI), grid on, xlabel('w'), ylabel('Q(w)’)
Рис. 4. График вещественной частотной характеристики, построенный с использованием оператора plot
Рис. 5. График мнимой вещественной частотной характеристики, построенный с использованием оператора plot
Замечание. При построении ДЧХ и МЧХ могут использоваться разные интервалы частот.
3. Построение :
а. По функциям и :
При построении функции необходимо выбрать интервал частот, учитывающий весь диапазон изменения функции
Вычисление и построение частотных характеристик. Код в редакции Command Window, представлен ниже.
w=[0:0.05:500];
>> plot(WR,WI), grid on, xlabel('P(w)'), ylabel('Q(w)')
На
графике АФЧХ обязательно указывается
начало характеристики
,
направление изменения характеристики
при изменении частоты от 0 до
.
Рис. 6. График амплитудно-фазочастотной характеристики
б. С спользованием стандартной функции nyquist
Вычисление и построение амплитудно-фазочастотной характеристики с использованием стандартной функции nyquist. Код в редакции Command Window, представлен ниже.
>> nyquist(q,p)
Рис. 5.7. График аплитудно-фазочастотной рактеристики
4. Вычисление амплитудной частотной характеристики:
;
Вычисление и построение амплитудной частотной характеристики. Код в редакции Command Window, представлен ниже.
>> A=sqrt(WR.^2+WI.^2);
>> plot(w,A), grid on, xlabel('w'), ylabel('A(w)')
Рис. 5.8. График аплитудной-частотной характеристики
Вычисление фазо-частотной характеристики:
.
w=[0:0.05:100];
>> f=atan(WI./WR);
>> plot(w,f), grid on, xlabel('w'), ylabel('f(w)')
Рис. 5.9. График фазо-частотной характеристики
5. Вычисление логарифмической амплитудной частотной характеристики :
Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ с использованием функции bode
>> w=[0:0.05:500];
>> bode(q,p), grid on;
Рис. 5.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ
Функция позволяет определить АЧХ и ФЧХ в линейном масштабе.