Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

примет вид	x − x1	=	y − y1	.	Воспользуемся свойством пропорции:
	0
			m
m( x − x1 ) = 0( y − y1 )			или		m( x − x1 ) = 0 . Поскольку m ≠ 0, то

x − x1 = 0 . Таким образом, если один из знаменателей в уравне-

нии (10.6) равен нулю, то соответствующий ему числитель тоже равен нулю.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим задачу: составить уравнение прямой L, проходя-

щей через две данные точки

→

S М2

М1

M1 ( x1 ; y1 ) и M2 ( x2 ; y2 ) .

В качестве направляющего вектора искомой прямой L можно взять

→

вектор М1М2 = {x2 − x1 ; y2 − y1} . То-

гда каноническое уравнение прямой L

приметвид

x − x1	=	y − y1	.	(10.7)
x2 − x1
		y2 − y1

Уравнение (10.7) – искомое уравнение прямой L, которое на-

зывается уравнением прямой, проходящей через две точки.

Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим каноническое уравнение (10.6) некоторой прямой линии. Примем за параметр t величину, стоящую в левой и правой частях этого уравнения, т.е.

x − x1		y − y1		x − x1	= t,

	=		= t или	l

l		m	y − y1			= t.
				m

Выражая x и y , получим уравнения:

x = lt + x1 ,

(10.8)

y = mt + y1 ,

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

Заметим, что областью изменения параметра t является вся

ось: −∞ < t < +∞ .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим прямую L, не

параллельную

оси

Oy .

Пусть

→

направляющий

век-

→

S = {l ; m} –

тор этой прямой. Введем понятие

угла наклона прямой к оси Ox .

Под углом

( 0 ≤ α < π)

наклона

прямой к

оси Ox

понимается

наименьший

угол,

на

который

нужно повернуть вокруг

точки

пересечения

прямой

оси

против часовой стрелки ось

до ее совпадения с прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ox

называется угловым

коэффициентом прямой и обозначается буквой k , т.е. k = tg α.

Имеет место следующее утверждение: если прямая не парал-

→

= {l ; m}, то угловой

лельна оси Oy и имеет направляющий вектор S

коэффициент этой прямой определяется равенством k =

Рассмотрим

каноническое

уравнение

данной

прямой L:

x − x1

y − y1

. Запишем его в виде y − y1 =

( x − x1 )

и воспользу-

емся утверждением об угловом коэффициенте прямой.

Получим уравнение прямой

y − y1 = k ( x − x1 ) .

(10.9)

Уравнение (10.9) называется уравнением прямой, проходящей через точку (x1, y1) и имеющей угловой коэффициент k.

Далее выразим из уравнения (10.9) переменную y и введем обозначение b = y1 − kx1 .

Тогда получим уравнение

y = kx + b ,

(10.10)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (10.10) число b является отрезком, который от-

секает прямая по оси Oy .

Замечание. Для прямой, параллельной оси Ox , угловой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Ox , угловой коэффициент не существует. Если k > 0 , то угол наклона α острый, если k < 0 , то α – тупой угол.

Нормальное уравнение прямой
		Пусть		на		плоскости
	xOy задана прямая					L . Из на-
	чала координат опустим пер-
	пендикуляр ОР на прямую L
	(рис. 24).
		На	ОР возьмем					еди-
				→		направле-
	ничный вектор n				,	направле-
	ние	которого				совпадает
	с направлением					→		(если
	с направлением				OP			(если
	прямая		L	проходит				через
→	начало		координат,				то на-
→		Обозначим угол между
правление n выбирается произвольно).		Обозначим угол между
→	→
вектором n и осью Ox через α и \| OP \| =		p .
На прямой L выберем произвольную точку M ( x; y)							и соеди-
					→
ним ее с началом координат. Тогда проекция вектора OM = {x, y}
→
на вектор n равна величине	p :

				→		→
→				OM	n
прn OM	= p		или				= p .
прn OM	= p		или	→			= p .
				\| n	\|
	→	=	→				→	= { cos α;sin α} , по-
В силу того, что OM		=	{ x; y} , \| n	\| = 1		и n		= { cos α;sin α} , по-

следнее уравнение в координатной форме примет вид

x cos α+ y sin α = p или x cos α+ y sin α− p = 0 . (10.11)

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Замечание. В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при x и y равна единице (основное тригонометри-

ческое тождество) и коэффициент p ≥ 0 (так как p – расстояние от начала координат до прямой L ).

Например, уравнение 135 x − 1213 y + 2 = 0 не является нормаль-

ным, так как p = −2 , а уравнение − 135 x + 1213 y − 2 = 0 – нормальное.

Для приведения общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 к

нормальному виду следует умножить его на некоторый множитель μ. Получим уравнение

μAx + μBy + μC = 0				(10.12)
Уравнения (10.11) и (10.12) описывают одну прямую, следо-
вательно,
μA = cos α, μB = sin α,			μC = − p.
Тогда μ2 A2 + μ2 B2 = cos2 α+ sin2 α. Значит,
μ = ±		1	.	(10.13)

	A2	+ B2

Множитель μ называется нормирующим множителем.

Итак, для приведения общего уравнения прямой Ax + By + C = 0

к нормальному виду его следует умножить на нормирующий множитель μ, при этом знак μ противоположен знаку свободного члена C

в силу выполненияравенства μC = − p .
Пример		10.2.		Привести	общее уравнение прямой
3x + 4 y − 5 = 0 к нормальному виду.
Решение. Вычислим нормирующий множитель по формуле
(10.13) μ =	1		=	1 (знак нормирующего множителя «+», так
	+ 16
9				5
как С = −5 ).
Умножив данное уравнение на нормирующий множитель, по-
лучим нормальное уравнение прямой:					3 x +	4 y − 1 = 0 .
					5	5

10.4. Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

I. Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями.

L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ,

L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .

	→	= {A1; B1} ,
Нормальным вектором прямой L1 является вектор n1
→	= {A2 ; B2 } (рис. 25).
а нормальным вектором прямой L2 – вектор n2

Пересекаясь, двепрямыеобразуютчетыреугла, которыепопарноравны.

φ	→	L2
φ	n	L2
→	1
→
n2		→
		n1
φ		L1

Рис. 25

Один из углов φ при пересечении двух прямых равен углу между нормалями этих прямых.

	→ →
Следовательно, cos φ =	n n		или
	1	2
	→	→
	\| n1 \| \| n2 \|
cos φ =		A1 A2	+ B1B2	.	(10.14)
cos φ =	A12	+ B12	A22 + B22	.	(10.14)
	A12	+ B12	A22 + B22

Из формулы (10.14) вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

		→		→		A1	=	B1
L1 \|\| L2 n1			\|\|	n2		A1		B1	;
L1 \|\| L2 n1			\|\|	n2		A2		B2	;
						A2		B2
	→		→
L1 L2	n1	n2			A1A2 + B1B2 = 0.

II. Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

x − x1

y − y1

;

x − x2

y − y2

→

Угол между прямыми L1

L2 – угол между их направляю-

→

= {l1 , m1}

щими векторами S1

→

= {l2 , m2 } (рис. 26)

Рис. 26

→ →

Следовательно, cos φ =

S S

или

→

| S1 | | S2 |

cos φ =

l1l2 + m1m2

(10.15)

l12

+ m12 l22 + m22

Из формулы (10.15) получаем условия параллельности и пер-

пендикулярности двух прямых:

L1 || L2

→

|| S2

;

→

L1 L2 S1

l1l2 + m1m2 = 0.

III. Пусть две прямые L1 и L2

заданы уравнениями с угловым

коэффициентом.

L1 : y = k1x + b1 ,

L2 : y = k2 x + b2 .

Углом наклона прямой L1

к оси Ox является угол α1 , углом

наклона прямой L2 – угол α2 , т.е. k1 = tgα1 ,

k2 = tgα2 .

По теореме о внешнем угле треугольника α1 = α2 + φ.

Следовательно, φ = α1 − α2 .

Вычислим tgφ, используя известное тригонометрическое тождество:

tgφ = tg (α1 − α2 ) =	tgα1 − tgα2	=	k1 − k2	.

	1 + tgα1tgα2		1 + k1k2

Таким образом, получим формулу для нахождения угла φ:

tgφ =	k1 − k2	.	(10.16)

	1 + k1k2

α2 α1

Из формулы (10.16) вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

	L1 \|\| L2 tg φ = 0 k1 = k2;
L1 L2	tg φ не существует 1+ k1k2 =	0 k1	= −	1	.

				k2

Пример 10.3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника АВСD: x − 2 y = 0 , x − 2 y + 15 = 0 и уравнение одной из его диагона-

лей 7x + y − 15 = 0 . Найти вершины прямоугольника.

Решение. Заметим, что даны параллельные стороны прямоугольника. Пусть x − 2 y = 0 – уравнение стороны AD, x − 2 y + 15 = 0 –

уравнение стороны ВС, а 7x + y − 15 = 0 – уравнение диагонали АС. НайдемвершинуАпрямоугольника. Решивсистемууравнений

x − 2 y = 0,7 + − 15 = 0,

x y

получим x = 2, y = 1 . Значит, прямые AD и АС пересекаются в точке А (2;1) .

Решив систему уравнений

x − 2 y + 15 = 0,
	= 0,
7x + y − 15

находим x = 1, y = 8 . Значит, прямые ВС и АС пересекаются в точ-

ке С(1;8) .

Составим каноническое уравнение стороны АВ, которая про-

ходит через точку А (2; 1)									→
ходит через точку А (2; 1)				и имеет направляющий вектор S AB =
→	= {1; − 2} (так как АВ ВС).
= nBC	= {1; − 2} (так как АВ ВС).
	АВ:	x − 2	=	y − 1	или	2x + y − 5 = 0 .
	АВ:		=	−2	или	2x + y − 5 = 0 .
	1			−2
	Решив систему уравнений				x − 2 y + 15		= 0,		получим коорди-
	Решив систему уравнений								получим коорди-
наты вершины В(−1;7) .					2x + y − 5 = 0,
наты вершины В(−1;7) .
	Уравнение стороны CD находим из условий, что точка С(1;8)
				→	→
лежит на искомой прямой и nCД = n AB = {2;1} (так как CD \|\| АВ).
	CD: 2( x − 1) + ( y − 8) = 0 или 2x + y − 10 = 0 .
	Решив систему уравнений					x − 2 y =	0,		получим коорди-
	Решив систему уравнений						=		получим коорди-
					2x + y − 10		=	0,

наты вершины D (4;2) .

Таким образом, все вершины прямоугольника найдены.

10.5. Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L общим уравнением Ax + By + C = 0 и точка M * (x* ; y* ) . Требуется найти расстояние от точки M * до

прямой L .

Возьмем произвольную точ-

ку M1 ( x1; y1 ),

лежащую на пря-

мой L

(рис. 27). Тогда расстоя-

ние d от точки M * до прямой L

равно

модулю

проекции вектора

→

М1М*

на нормальный вектор пря-

мой, т.е.

→ →

→

M1M * n

d =

пр→ M1M *

→

{x* − x1 ; y* − y1} ,

В силу того, что М1М* =

n = {A; B}, послед-

нюю формулу запишем в координатной форме:

d =

A(x* − x1 ) + B( y* − y1 )

Ax*

− Ax1

+ By* − By1

A2 + B2

+ B2

Поскольку точка M1 ( x1 ; y1 )

принадлежит прямой L , то

Ax1 + By1 + C = 0 или С = − Ax1 − By1 . Значит,

d =

Ax* + By* + C

(10.17)

A2 + B2

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб46Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб49Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб72Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf