Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ределения следует, что векторы, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом, равны.

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Замечание. Вектор можно полностью охарактеризовать, указав его длину, расположение в пространстве и направление.

6.2. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

I. Сложение векторов

→	→	→	→	→	, ко-
Суммой двух векторов а	и b является вектор с		= a	+ b	, ко-

торый можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Правило треугольника. Ес-

ли начало вектора

→

совпадает

→

= a

+ b

→

концом вектора

а,

то

вектор

→

= a

+ b

идет из начала вектора

→

(рис. 1).

→

а в конец вектораb

Правило параллелограмма.

→

Рис. 1

Если векторы а

и b

приложены

к одной

точке,

то

вектор

→

– диагональ

параллело-

= a

+ b

→

грамма,

построенного

на векто-

= a

+ b

→

рах а и b , идущая из общего на-

→

чала векторов а и b

(рис. 2).

→

Для нахождения суммы не-

→

скольких векторов а1 +

а2

+…+ аk

Рис. 2

( k N )

применяется

правило

многоугольника.

→							Правило многоугольника.
а2					→	Суммой,		например, четырех
					→			→ → → →
					а3			→ → → →
					а3	векторов		а1, a2 , a3 , a4 называ-
						векторов		а1, a2 , a3 , a4 называ-
								→
→					→	ется вектор d , начало которо-
а1					а4	го совпадает с началом вектора
						го совпадает с началом вектора
→	→	→	→	→		→	, а конец – с концом вектора
d	= а1	+ а2	+ а3	+ а4		а1	, а конец – с концом вектора
						→	при	условии, что	точки
	Рис. 3					а4	при	условии, что	точки
	Рис. 3							→	→	→
						приложения векторов a2			, a3	, a4

совпадают с концом предыдущего слагаемого вектора (рис. 3). Операциясложениявекторовобладаетследующимисвойствами:

	→	→	→	→	– перемести-
1)	а	+ b	= b	+ а	– перемести-

тельный закон;

	→	→ →	→	→	→
2)	(а	+ b) + с	= а	+ (b	+ с) – соче-

тательный закон; 3) сумма противоположных век-

→ →

торовравнанулю: а+ (− а) = 0. Замечание.

→→

Разность двух векторов а и b определяется следующим образом:

→	→	→	→
а	– b	= а	+(– b ) (рис. 4).

II. Умножение вектора на число

Пусть λ – некоторое действительное число, отличное от нуля.

→

Произведением вектора а

( а ≠ 0) на число λ называется век-

→

тор b

= λa, коллинеарный вектору а, имеющий длину

→

, если

Направление вектора b совпадает с направлением вектора а

λ > 0,

и противоположно ему, если λ < 0.

Например, на рис. 5 изображены векторы (рис. 5).

→

=3 а или а

→

= −

→

= −2 c или

d .

→

– распределительный закон относи-

λ ( а+ b ) =λа

λb

тельно суммы векторов;

2) (λ+μ)

→

– распределительный закон относительно

λа

+μа

суммы чисел;

→

– сочетательный закон.

3) (λ μ)a

μa

Пример 6.1.

В треугольнике

АВС дано:

→

АВ = а,

= b,

→

– медиана. Выразить вектор AM через векторы a и b .

Решение.

Через точку М проведем прямые

Операция умножения вектора на число подчиняется следую-

щим законам:

С1М и В1М,

параллельные сторонам

→

АВ и АС. Получим параллелограмм

АВ1МС1,

котором

АМ –

диагональ.

→

Следовательно,

АМ

AВ1 + AС1 . Но

→

1 →

→

1 →

→

АВ1 = 2 а, AC1 = 2 b ( B1M и C1M –

средние линии треугольника, поэтому

АB1 = В1В ,

АС1 = С1С ).

Получаем

→

АМ

а+

b или АМ

(а

+ b) .

Пример 6.2. Какому условию должны удовлетворять ненулевые

→

векторы a и b

, чтобыимеломестосоотношение | а

+ b |=| а

− b | ?

	Решение.					→		В		С
						→		В		С
	Построим на векторах a							→
→	выходящих из точки А,							а
и b ,	выходящих из точки А,
параллелограмм				ABCD.		Тогда
→	→	→	→	→	→		А	→	D
АС = a+ b ,			DB = a− b .			Равен-		→
АС = a+ b ,			DB = a− b .			Равен-		b
ство	→	→	→	→	означает,
ство	\| а	+ b \|=\| а− b \|			означает,
что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е.									→	→
что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е.									\| АС\|=\| DB \| .

Отсюда следует, что данный параллелограмм – прямоугольник.

→ →

Следовательно, a b .

6.3. Проекция вектора на ось

Осью

странстве.

A ϕ

называется прямая U, имеющая направление в про-

Пусть в пространстве заданаось

B					→
		U и некоторый вектор AB . Спроекти-
C		руем начальную и конечную точки
C			→
		вектора	→	ось	U. Обозначим
		вектора	AB на	ось	U. Обозначим
B1	U	проекции точек		A и	B на ось через
		A1 и B1	соответственно(рис. 6).

Рис. 6						→
Рис. 6						Проекцией вектора АВ на ось
					U называется длина направленного
→						→
отрезка АВ1 1 ,	взятая со знаком «+»,					если направление АВ1 1 совпа-
						→
дает с направлением оси U, и со знаком «–», если направления АВ1 1
и U противоположны.						→
						→
Проекция вектора на ось обозначается прU AB . Из опреде-
ления проекции вектора на ось имеем
			,	если		↑↑ U ,
		A B	,	если	A B	↑↑ U ,
	=	1 1			1 1
прU AB
прU AB
	−	A1B1	,	если	A1B1	↑↓ U.

Углом φ между вектором и осью называется угол, образо-

ванный двумя лучами, один из которых направлен по вектору, а другой – по оси. Аналогично определяется угол между двумя векторами. Очевидно, 0 ≤ φ≤ π .

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами. Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению

длины	вектора на				косинус угла между		вектором		и осью:

прU AB =		AB	cos φ.
Доказательство. а) Если угол φ между вектором									→
Доказательство. а) Если угол φ между вектором									AB и осью
U является острым (см. рис. 6), то
				=		= AC = AB cos φ =
			прU AB	=	A1B1	= AC = AB cos φ =	AB	cosφ.

π − ϕ

С А

В1 А1

Рис. 7

А≡ С

А1 ≡ B1

Рис. 8

б) Если		φ	–		тупой			угол
(рис. 7), то

прU AB = −		A1B1			= − AC			=
= − AB cos(π− φ) =
= AB cos	φ =					cos φ.
= AB cos	φ =			AB		cos φ.
U						π
U
в) Если угол			φ =				(рис. 8),
в) Если угол			φ =				(рис. 8),
					2
то точки A1 и B1 совпадают.
Следовательно,

прU AB =		AB		cosφ = 0.

Следствие. Если вектор образует с осью острый (тупой) угол, то проекция вектора на ось поло-

Uжительна (отрицательна). Если же вектор перпендикулярен оси, то егопроекциянаосьравнанулю.

Свойство 2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось:


прU (a1	+ a2	+ ... + ak ) = прU a1		+ прU a2	+ ... + прU ak .

Докажите данное свойство для случая k = 2 самостоятельно. Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция

умножается на это число, т.е. прU λa = λпрU a, где λ – число. Докажите свойство самостоятельно.

6.4. Линейная зависимость векторов

→		→		→
Линейной комбинацией векторов а1	,	а2	, …,	аn	( n N ) на-
зывается выражение вида:

λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn а→n ,

где λi ( i = 1, n ) – произвольные действительные числа.

→		→		→
Векторы а1	,	а2	, …,	аn называются линейно зависимыми, если

существуют такие действительные числа λ1, λ2,…, λn, из которых хотя

	→		→		→
бы одно λi ≠ 0,	что линейная комбинация векторов а1	,	а2	, …,	аn

с указанными числами обращается в ноль, т.е. имеет место равенство:

		λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn а→n = 0.			(6.1)
→		→		→
Векторы а1	,	а2	, …,	аn называются линейно независимыми,

если равенство нулю их линейной комбинации возможно только

при λ1 = λ2 = …= λn = 0.

Докажем два утверждения о линейной зависимости векторов.

→	→	→
Утверждение 6.1. Если среди векторов а1	, а2	, …, аn хотя бы

один вектор является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

→

Доказательство. Пусть для определенности а1 = 0. Составим

→		→		→	, в которой λ1 ≠ 0,
линейную комбинацию векторов а1	,	а2	, …,	аn	, в которой λ1 ≠ 0,

λ2= λ3=…=λn = 0. Тогда равенство (6.1) выполняется и при этом

λ1 ≠ 0.			→	→	→
λ1 ≠ 0.	Следовательно, векторы а1 ,			а2 , …,	аn	являются линейно
зависимыми по определению.					→	→	→
					→	→	→
	Утверждение 6.2. Если среди векторов а1					, а2	, …, аn векто-
→	→		→				→
ры а1	, а2	, …,	аn−1 являются линейно зависимыми,				то векторы а1 ,
→	→
а2 , …, аn		тоже линейно зависимы.
	Доказательство. Из определения линейной зависимости век-
	→	→	→
торов а1 ,		а2 , …, аn−1 следует выполнение равенства
			λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn–1 а→n−1 = 0,				(6.2)

в котором хотя бы одно из чисел λi ≠ 0 ( i = 1, n − 1). Равенство (6.2)

				→
не нарушится, если к левой его части прибавить слагаемое λn аn ,
	→	→		→
где λn = 0. Тогда для векторов а1 ,		а2	, …,	аn выполняется равенст-
во (6.1) и хотя бы одно из чисел λi			≠ 0.	Следовательно, векторы
→	→
а1	,…, аn линейно зависимы по определению.
	Замечание. Утверждение 6.2 справедливо, когда линейно за-

висимыми являются любые k (k < n) векторов.

Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов.

Теорема 6.1. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство.

→ →

1). Необходимость. Пусть векторы а, b линейно зависимы.

→ →

Докажем, что а|| b .

→ →

Из линейной зависимости векторов а и b следует, что существуют такие действительные числа λ1 и λ2, из которых хотя бы

одно не равно нулю, что Пусть для определенности

→

выразим вектор а:

→а = − λ2 →b или

λ1

→ →

выполняется равенство λ1 а+λ2 b = 0. λ1 ≠ 0. Тогда из последнего уравнения

→	→		λ2
а	= k b	, где число k = −		.

			λ1

По определению операции умножения вектора на число делаем

			→	→
вывод о коллинеарности векторов а и b . Необходимость доказана.
				→ →
2) Достаточность. Пусть векторы а и b коллинеарны. До-
кажем, что эти векторы линейно зависимы.
	→	≠	→	≠ 0. Иначе линейная зависи-
Предположим, что а		≠	0 и b	≠ 0. Иначе линейная зависи-
→	→
мость а и b вытекает из утверждения 6.1. Из коллинеарности век-
→	→	→	→	где λ – действительное число,
торов а	и b следует, что	а	= λb ,	где λ – действительное число,

не равное нулю. Запишем последнее равенство в виде 1 а− λb = 0.

→ →

Таким образом, линейная комбинация векторов а и b равна нулю, при этом оба коэффициента при векторах отличны от нуля. Следо-

→ →

вательно, векторы а и b линейно зависимы по определению. Достаточность доказана.

→ →

Следствие 6.1. Если векторы а и b не коллинеарны, то они линейно независимы.

Докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов.

Теорема 6.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3 векторов является их компланарность.

Доказательство.

→ → →

1) Необходимость. Пусть векторы а, b , c линейно зависимы. Докажем, что эти векторы компланарны.

→ → →

Если векторы а, b , c линейно зависимы, то по определению линейной зависимости существуют числа λ1, λ2, λ3, из которых хотя бы одно не равно нулю, что выполняется равенство

→

λ1 а

+λ2 b + λ3 c = 0.

(6.3)

Пусть для определенности λ3 ≠ 0. Тогда из уравнения (6.3)

получим:

→

λ1

→

λ2 →

с = −

а−

или

λ3

→

с = k1 a

+ k2 b

(6.4)

где k1 = −

λ1

, k2

= −

λ2

λ3

→

Если векторы а и b

не коллинеарны (рис. 9), то

из равенства

(6.4) следует,

→

– это диагональ

что вектор c

параллелограмма,

построен-

→

ного на векторах k1 a и k2 b ,

приведенных к общему нача-

→

лу. Следовательно, векторы а,

b ,

c лежат в плоскости одного па-

раллелограмма, что означает компланарнарность этих векторов.

→

коллинеарны, то из равенства (6.4)

Если же векторы а и

→

следует, что вектор c коллинеарен этим векторам. Следовательно,

→

векторы а,

b ,

c компланарны. Необходимость доказана.

→

2) Достаточность. Пусть векторы а,

компланарны.

Докажем, что эти векторы линейно зависимы.

→

Если хотя бы один из тройки векторов а,

c является ну-

левым, то векторы линейно зависимы в силу утверждения 6.1.

→

Если хотя бы одна пара векторов из а,

c линейно зави-

сима, т.е. два вектора коллинеарны, то векторы

→

b ,

c линейно

зависимы в силу утверждения 6.2.

Рассмотрим случай,

→

≠

→

когда а

0 ,

≠ 0 , c

≠ 0 и векторы а,

→

c попарно не коллинеарны. Приведем векторы а

b ,

c к об-

щему началу О (рис. 10).

→

Через конец вектора b про-

ведем прямые, параллельные век-

→

торам а

и c . Точку пересечения

→

прямой, параллельной вектору а,

→

с прямой, на которой лежит век-

→

тор

обозначим

буквой

C ,

а точку пересечения прямой, па-

раллельной вектору

→

, с прямой,

→

на которой лежит вектор

→

обо-

а,

значим буквой A.

Рис. 10

По построению ОА||а,

ОС ||с,

значит, ОА

= λ1 а,

ОС =

λ2 с,

где λ1 ,λ2

– некоторые, не равные нулю, числа.

Тогда по правилу параллелограмма сложения векторов получим:

→

. Таким образом, составлена линей-

= ОА+ ОС или b

= λ1 а

λ2 c

ная комбинация векторов

→

с ненулевыми коэффициентами,

, b ,

→

которая равна нулю:

1 b −

λ1 a − λ2 c

= 0. Следовательно,

векторы а,

→

c линейно зависимы по определению. Достаточность доказана.

Следствие 6.2. Если векторы

→

а,

, c не компланарны, то

они линейно независимы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб46Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб49Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб72Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf