Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

y

b

−a a

0

x

−b

гиперболы. Оно эквивалентно равенствам y = ± b x , значит, гипер- a

бола вырождается в свои асимптоты.

Пример 11.3. Определить полуоси гиперболы 4x2 − 9 y2 = 25

и построить ее.

Решение. Для нахождения полуосей гиперболы приведем данное уравнение к каноническому виду. Разделим уравнение на 25:

Чтобы изобразить данную гиперболу, сначала строим основной

111

прямоугольник гиперболы, а затем через вершины (52; 0) и (− 52; 0) проводим ветви гиперболы (рис. 36).

y

Рис. 36

Пример 11.4. Установить, какая линия определяется уравне-

112

11.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до фиксированной точки, называемой фокусом параболы. Пусть точка F – фокус, а прямая d – директриса параболы. Расстояние от точки F до директрисы d назы-

произвольная точка параболы. Соединим точку M с фокусом F и проведем отрезок MB перпендикулярно директрисе d. По опре-

поэтому последнее равенство в координатной форме запишется следующим образом:

113

Возведем уравнение (11.9) в квадрат:

Уравнение (11.10) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование канонического уравнения параболы

Рассмотрим каноническое уравнение параболы (11.10).

1) Парабола y2 = 2 px симметрична относительно координатной оси Ох, так как в уравнение (11.10) переменная y входит в четной степени. Ось симметрии Ох называется осью параболы.

2)Поскольку p > 0, то из уравнения (11.10) следует, что x ≥ 0 , т.е. парабола расположена в правой полуплоскости.

3)При x = 0 имеем y = 0 . Следовательно, парабола проходит

черезначало координат. ТочкаО(0; 0) называетсявершинойпараболы. 4) Различные виды уравнений параболы.

Уравнение y2 = −2 px , где p > 0,

также определяет параболу с вершиной в начале координат, ось которой совпадает с осью Ох, но расположенную в левой полуплоскости

(рис. 39).

Уравнения x2 = 2 py и x2 = −2 py

(p > 0) определяют параболы с вершиной в начале координат, ось которых совпадает с координатной

осью Оу, причем парабола x2 = 2 py

расположена в верхней, а парабола x2 = −2 py в нижней полуплоскости (рис. 40).

114

11.4.Преобразование координат на плоскости

иприведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка

где A, B, C, D, E, F – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B, C отлично от нуля. Заметим, что коэффициенты при xy , при x и при y обозначены 2B , 2D и 2E не случайно. Это

сделано для того, чтобы формулы, в которые входят эти коэффициенты, не содержали дробных выражений.

Уравнение (11.11) определяет на плоскости xO y эллипс, ги-

перболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых). Для определения вида кривой необходимо найти такую декартову прямоугольную систему координат, в которой данная кривая будет иметь каноническое (простейшее) уравнение. Переход от одной системы координат к другой возможен путем параллельного переноса и поворота системы.

Преобразование координат при параллельном переносе осей координат

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xO y (рис. 42). Путем параллельного переноса осей ко-

ординат получена новая система x′O′y′ , начало координат которой находится в точке O′ . Пусть точка М – произвольная точка плоскости и ( x ; у) – координаты этой точки в старой системе координат xO y , а ( x′ ; у′) – координаты той же точки М в новой системе координат x′O′y′ . Начало координат системы x′O′y′ – точка O′ в старой системе координат xO y имеет координаты (x0 ; y0 ) .

Тогда связь между старыми и новыми координатами точки М определяется формулами:

116

что очевидно из рис. 43. Новые координаты выражаются через старые следующим образом:

Итак, соотношения (11.12), (11.13) являются формулами пре-

образования координат при параллельном переносе системы коорди-

нат, где ( x ; у) – координаты произвольной точки в системе xO y , ( x′ ; у′) – координаты той же точки в системе x′O′y′ , (x0 ; y0 ) – координаты нового начала координат O′ в системе xO y .

Преобразованиекоординатприповоротесистемыкоординат

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xO y (рис. 43). Выполним поворот осей координат на

угол α (угол α отсчитывается против хода часовой стрелки), в результате чего получим новую систему координат x′O y′ .

117

Проведем аналогичные преобразования, умножив равенст-

следовательно, y = x′ sin α+ y′ cos α.

Таким образом, формулы преобразования координат при по-

вороте системы координат на угол α имеют вид:

рота системы координат xOy вокруг точки O (в направлении против хода часовой стрелки).

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду рассмотрим на конкретном примере.

Пример 11.6. Пусть дано уравнение кривой:

Требуется привести данное уравнение путем параллельного переноса и поворота системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.

Решение. Уравнение (11.17) определяет в декартовой прямоугольной системе координат xOy некоторую кривую L . Известно,

119

второй степени (11.11) не меняется при переходе от одной системы координат к другой. Кроме этого, если δ > 0 , то линия, определяемая уравнением (11.11), является линией эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс, вырожденный эллипс); если δ< 0 , то линией гиперболического типа (гипербола, вырожденная гипербола); если δ = 0 , то линией параболического типа (парабола, пара параллельных прямых).

и, следовательно, L – линия гиперболического типа, т.е. центральная линия. Чтобы найти центр линии L гиперболического типа, совершим параллельный перенос исходной системы координат xOy .

Для этого воспользуемся формулами параллельного переноса:

x = x′ + x0 ,

= ′ + .

y y y0

Подставляяэтиформулывуравнение(11.17) линии L , получим:

3( x′ + x0 )2 + 10( x′ + x0 )( y′ + y0 ) + 3( y′ + y0 )2 − −2( x′ + x0 ) − 14( y′ + y0 ) − 13 = 0

или

3( x′)2 + 10x′y′ + 3( y′)2 + (6x0 + 10 y0 − 2) x′ + (10x0 + 6 y0 − 14) y′ + +3x02 + 10x0 y0 + 3y02 − 2x0 − 14 y0 − 13 = 0.

Координаты нового начала O′ (центра линии L ) найдем из условия, что коэффициенты при x′ и при y′ равны нулю:

6x0 + 10 y0 − 2 = 0,

10x0 + 6 y0 − 14 = 0.

Решая систему, получим x0 = 2, y0 = −1, т.е. O′(2; −1) . Подставив в последнее уравнение линии L вычисленные x0 и y0 , имеем:

120