Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

→

= {A, B,C} плоско-

вектором n

сти и направляющим вектором

→

S = {l, m, n} прямой (рис. 65).

Если

угол

ψ –

острый,

π

то cos ψ = cos

− φ

= sin φ,

2

Если угол

ψ

тупой,

то

π

cos ψ = cos

+ φ = − sin φ.

2

→ →

n S

Таким образом, sin φ =

cos ψ

=

или

→

→

n

S

sin φ =

A l + B m + C n

.

(15.9)

A2

+ B2 + C2

l2 + m2 + n2

Из формулы (15.9) вытекают условие параллельности прямой

и плоскости:

→

→

L || α

A l + B m + C n = 0 (прямая

может

n S

лежать в плоскости);

и условие перпендикулярности прямой и плоскости:

L α

→

→

A

=

B

=

C

n

|| S

.

l

m n

−2 3 2 1

x1 + 2x2

− x3 = 4

2x1 + x2 + x3 = 2

4 −9 −3 −1

+ 3x2 + x3 = 5

1)

; 2) 2x1 − x2

+ 2x3 = −1 ; 3) x1

.

2 −6 −1 1

x1 + x2 + 5x3 = −7

0 −3 1 9

3x1 − x2 − x3 = 3

2x

+

3x

− 3x

= 14

1

2

3

Вариант 2

1 2 7 1

x1 + x2 − 3x3

= −6

x1 + 3x2 + 2x3 = 0

1 4 15 2

2x1

− x2 + 3x3

= 0

1)

; 2)

= 4 ; 3)

.

0 2 11 3

2x1 + x2 + x3

+ 5x2 + 4x3 = 0

= −10

3x1

2 4 14 6

x1 + x2 − 5x3

x + 17x

2

+ 4x

= 0

1

3

Вариант 3

2

1

3

1

3x1 + 2x2

+ 4x3 = 19

3x1 + 2x2 + x3 + x4 = 13

4

3

10

4

1)

; 2) 3x1 + 2x2

− 2x3 = 1 ; 3) x1 − 3x2 − 7x3 + 4x4 = −14 .

2 2 8 11

−2

−1

−3

0

9x1 + x2 − 3x3 = 2

2x1 − x2 − 4x3 + 3x4 = −3

Вариант 4

1

2

1 1

3x1 + 4x2 + x3 = 6

2x1 + 3x2 − 2x3 = −1

−1 5

2 3

10x1

− 5x2 + 3x3 = 1

1)

.

−10

−3 −5

; 2) 3x1 + 5x2 + 3x3 = 10 ; 3)

+ 4x2 − 8x3 = −12

2

3x1 + 5x2 − 3x3 = 4

11x1

3 −8 −2 −3

2x − 4x

2

+ 6x = 8

1

3

1 3 3 0

2x1 + 2x2

− x3 = 7

3x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1

2 5 5 0

−5x1 + 7x2 − x3 + 8x4

= 7

1)

+ 3x2

.

−1 7 3

; 2) 4x1

− x3 = 14 ; 3)

4x2 + x3 + 3x4 = −4

5

+ 5x2

− 3x3 = 26

2x1 −

−6 0 −1 4

8x1

9x

+ x

− 5x

+ 6x =

1

1

2

3

4

Вариант 6

−2 1 2 −8

x1 + 2x2

+ 3x3 = 4

2x1 − 2x2 + x3 = −3

1)

2 0 2 15

; 2) 3x1 − 6x2 + 5x3 = 20 ; 3) 2x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = −6 .

6 −3 −5 −18

+ 2x2

+ 7x3 = 8

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 0

4 0 4 33

x1

+ 3x2 + x3 − x4 = 2

x1

Вариант 7

1

6

−2

9

7x1 + 9x2

− 4x3 = 4

3x1 + 4x2 − 6x3 −19x4 = −3

1 7 −3 10

1)

; 2) 2x1 − 2x2

+ x3 = 3 ; 3) x1 + 3x2 − 2x3 −13x4 = −1 .

−1

−6

5

−14

+ 6x2

+ 3x3 = 20

− x2 −12x3 − 2x4 = −6

2

14

−6

21

5x1

6x1

Вариант 8

3 2 −1 1

2x1 − x2 + 3x3 = −3

4x1 − 5x2 + 7x3 = 18

3 3 −3 4

+ 10x2 − 8x3 = 1 .

1)

; 2) x1 + x2 − 4x3 = 7

; 3) 17x1

−9 −6 8 −7

3x1 − 11x2 + 9x3 = 21

6 5 −4 6

3x1 + x2 − x3 = 6

− x + 3x + 5x = 9

1

2

3

Вариант 9

1

3

7

−1

2x1 + x2

+ x3 = 4

2x1 − x2 − x3 + x4 = −4

1 14 4 1

1)

; 2) x1 + 3x2

+ x3 = 5 ; 3) 3x1 − 3x2 + 6x4 = −6

.

2

6

13

2

+ x2 + 5x3 = 7

+ 4x3 + 5x4 = −2

−1

8

−9

0

x1

x1 − 5x2

Вариант 10

2

3

−7

1

2x1 − x2

− 6x3 = −3

x1 + 2x2 − 4x3 + x4 = 7

−2 −2 6

1

1)

; 2) 7x1 − 4x2 + 2x3 = 13 ; 3) 2x1 − x2 + 2x3 = 5

.

−6

−9

−20 −4

− 2x2

− 4x3 = −1

− 3x2 + x3 − x4 = −1

0

1

−1

7

x1

7x1

5

15

10

−5

x1 + x2 + 3x3 = 8

x1 + x2 + x3 − x4 = −3

−1 −2

1 −2

1)

; 2)

2x1 + 2x2 + 4x3 = 10 ; 3)

−4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = −6 .

2

5

8

−6

3

−9

−14

18

3x1 + 3x2 + 5x3 = 12

11x1 + x2 + x3 − 6x4 = −3

Вариант 12

1

−6 4 4

3x1 + 3x2 − 2x3 = −10

−2x1 + 3x2 − 8x3 = −1

8

−2 9 5

+ x2 + 5x3 = 9

1)

; 2) 2x1 + x2 + 8x3 = −15 ; 3) x1

.

6

−6 5 6

6x1 − 3x2 + 2x3 = −1

−1 1 −1 −1

3x1 − x2 + 7x3 = −15

+ x2 + x3 = 5

x1

Вариант 13

2

−1

0

2

3x1 + 6x2 + 5x3 = −2

−2x1 + x2 − 2x3 + x4 = −1

4

−2 −7 −1

1)

; 2)

x1 − 2x2 + x3 = 4

; 3) x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 2 .

−5

8

−1

0

+ 3x2 − 6x3 − x4 = 1

7

−4

2

8

3x1 − 4x2 + 3x3 = 10

−2x1

Вариант 14

1

2 15

3

9x1 + 4x2 + 2x3 = 11

2x1 + 2x2 − x3 = 3

−3 −7 −43 −10

1)

; 2) 2x1 + x2 + x3 = 4

; 3) 4x1 + 3x2 − x3 = 4 .

−2 −4 −31 −12

= 15

3x1 + 3x2 − 2x3 = 5

−1 −3 −13 −5

6x1 − 3x2 + 2x3

x + x +

5x = −4

1

2

3

Вариант 15

1

7

1 −2

x1 + 3x2 + 2x3 = 8

2x1 + 5x2 + x3 − x4 = 1

−2 −14 −5 8

+ 3x2 + 2x3 − 3x4 = 2 .

1)

; 2) 2x1 − x2 + 3x3 = 6

; 3) 4x1

3

21 8 −5

2x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 1

5

35 13 6

3x1 + 5x2 + 4x3 = 14

7x −

5x = 0

3

4

Вариант 16

−1 2 −1 1

6x1 + 3x2 − 2x3 = 7

3x1 + 4x2 + x3 = −6

−7 6 1

1)

3

; 2)

4x1 + 2x2 − x3 = 5 ; 3)

3x1 + 5x2 + 3x3 = −5 .

2

−5 4 7

6x1 + 8x2 − x3 = −15

4

−8 4 3

2x1 + x2 − 7x3 = −4

4x − x + x = −2

1

2

3

1

4

−2

1

3x1 + 3x2 − 2x3 = −10

2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

−1 −7 1 2

1)

; 2) 2x1 + x2 + 8x3 = −15 ; 3) −2x1 − x2 + x3 + x4 = −2 .

−2

−8

5

5

− x2

+ x3 − 3x4 = 1

3

12

−6

0

3x1 − x2 + 7x3 = −15

3x1

Вариант 18

1

−1 3 12

2x1 + 3x2 + x3 = 10

2x1 + 5x2 − 4x3 = −11

−2 0 1 −29

+ 3x2 + 2x3 = 6

1)

; 2) 4x1 + x2 + x3 = 6

; 3) x1

.

2

−2 8 21

2x1 + 10x2 + 9x3 = 23

1

−1 1 13

5x1 + x2 − 3x3 = 11

3x + 8x + 9x = 28

1

2

3

Вариант 19

2

3

−1

1

x1 + x2 + x3 = 1

4x1 − 3x2 − x3 − x4 = −4

−2 −5 4 6

1)

; 2) 3x1 − 2x2 + x3 = −4 ; 3) 2x1 − x2 − x3 + x4 = −2 .

4

6

−3

3

−6 −9

3

−2

5x1 + 4x2 + 3x3 = 2

3x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = −3

Вариант 20

1 2 −1 3

x1 − x2 + 2x3 = 2

2x1 + 5x2 − 8x3 = −6

−1 −3 10 −1

+ 3x2 − 9x3 = −5 .

1)

; 2) 8x1 + 6x2 + 5x3 = −9 ; 3) 4x1

2

4 1 17

2x1 + 3x2 − 5x3 = −3

−3 −6 3 −8

3x1 + 3x2 + x3 = −5

x + 8x − 7x = −6

1

2

3

Вариант 21

−1

12

1

−2

4x1 + 2x2 + 3x3 = 12

5x1 +14x2 − 2x3 − x4 = 1

2 −25 1 12

1)

; 2) 3x1 − 5x2 + x3 = 0 ; 3)

x1 + 6x2 − 2x3 + 3x4 = 1

.

1

−12

−2

1

+ 4x3 − x4 = −2

−3

36

3

−1

7x1 + 4x2 − 5x3 = 1

−7x1 − 22x2

Вариант 22

1

3

−1 2

x1 + x2 − 3x3 = −6

x1 + 2x2 + 3x3 = 8

− 5x3 = −4 .

1)

2

5

3 2

; 2) 2x1 + x2 − 2x3 = −3 ; 3) 3x1 + 6x2

−1 −3 −10 2

x1 + 2x2 + 7x3 = 16