Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

у которой det A = ≠ 0 . Для каждого элемента aij матрицы А найдем

По правилу умножения матриц и свойствам определителей имеем:

21

t12 = a11 A21 + a12 A22 + ...+ a1n A2n = 1 (a11 A21 + a12 A22 + ... + a1n A2n ) = 0;

………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

Таким образом, на главной диагонали матрицы T стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Следовательно, T – единичная матрица n -гопорядка, т.е. A B = E .

Аналогично доказывается, что B A = E . Значит, B = A−1 и существование обратной матрицы доказано.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если det A ≠ 0 . В противном случае ( det A = 0 ) матрица А называется вырожденной. Из доказанной теоремы следует, что только невырожденная матрица имеет обратную.

22

3.2. Вычисление обратной матрицы

Пусть дана невырожденная матрица А n-го порядка

Для нахождения обратной матрицы для матрицы А нужно: 1) Вычислить определитель матрицы A : det A = .

каждый элемент aij матрицы А заменим его алгебраическим дополнением Aij :

23

=12 − 2 + 0 − 0 − 8 + 3 = 5 . Следовательно, матрица А невырожденная,

идля нее существует матрица A−1 . Алгебраические дополнения эле-

24

A11 = (−1)2 3 = 3 ; A12 = (−1)3 1 = −1 ;

A21 = (−1)3 2 = −2 ; A22 = (−1)4 (−1) = −1.

25

3.3. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размерности (n × m)

Пусть число k N и удовлетворяет условию k ≤ min (n;m).

Рассмотрим элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А.

Определитель, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении любых k строк и любых k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А и обозначается Mk .

( 2 × 3 ). Для нее k ≤ 2 , т.е. для данной матрицы определены миноры 1-го и 2-го порядка. Перечислим все миноры 1-го и 2-го порядков матрицы А:

M1(1) = a11 , M1(2) = a12 , M1(3) = a13 ,

M1(4) = a21 , M1(5) = a22 , M1(6) = a23 ,

26

(верхний индекс указывает порядковый номер минора).

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее минора, отличного от нуля. Ранг матрицы А будем обозначать через

rA = rang A.

Минор (k + 1)-го порядка Mk +1 называется окаймляющим для минора Mk k-го порядка, если Mk содержится в миноре Mk +1 .

В рассмотренном примере для минора M1 = a11 окаймляющими являются миноры

Для нахождения ранга матрицы можно применять метод окаймляющих миноров. Суть этого метода состоит в следующем: если у матрицы существует минор k-го порядка Mk ≠ 0 и все окайм-

ляющие его миноры Mk +1 = 0 , торанг матрицыравен k .

27

Решение. Поскольку размерность матрицы А равна (3× 4) , то число k = 1,2,3 . Рассмотрим минор 2-го порядка, не равный ну-

Следовательно, rang A = 2 .

В общем случае ранг матрицы может быть найден с помощью

элементарных преобразований, не изменяющих ранг матрицы. Под элементарными преобразованиями матрицы понимают:

1)транспонирование матрицы;

2)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

3)отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

4)умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

5)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца).

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначается А ~ В.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы

28

Решение. Вычислим rang A, производя следующие элементарные преобразования. Поменяем первую и вторую строки местами:

Далее прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на –2. Элементы первой строки, умноженные на –1, прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

Следовательно, rang A=2.

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия

Рассмотрим систему s уравнений с n неизвестными:

ла b1,b2 ,...,bS – свободныечленысистемы.

29

Если все свободные члены системы равны нулю, то система (4.1) называется однородной.

Если хотя бы один bi ≠ 0 , то система (4.1) называется неодно-

родной.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система (4.1) называетсяквадратной.

Решением системы (4.1) называется n значений неизвестных x1 = x1 , x2 = x2 , , xn = xn , при подстановке которых в систему ка-

ждое уравнение обращается в верное равенство.

Если система (4.1) имеет хотя бы одно решение, то она назы-

вается совместной.

Если система (4.1) не имеет решений, то она называется несо-

вместной.

Совместная система (4.1), имеющая единственное решение,

называется определенной.

Совместная система (4.1), имеющая более одного решения, называется неопределенной системой.

Из приведенных определений следует, что системы делятся на несовместные и совместные. Совместные системы, в свою очередь, подразделяются на определенные и неопределенные.

Решить систему означает:

1)выяснить является она совместной или несовместной;

2)в случае, если система совместная, выяснить является она определенной или неопределенной;

3)если система определенная, то найти единственное решение системы; если система неопределенная, то найти всё множество

еерешений.

30