Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

Вариант 29

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

1. Данычетыреточки, являющиесявершинамипирамиды. Найти:

Вариант 2

1.A (1,–1,1), B (2,–1,3), C (5,–1,3), D (–1,3,–4).

2.Дан вектор a{−2,5,14} . Найти вектор b , противоположно

=

направленный с a , параллельный a , и такой что b 45 .

161

Вариант 3

Вариант 4

1.A (1,–2,3), B (2,–1,2), C (0,3,–4), D (5,1,0).

2.Даны два вектора a{1, −2, 2} , b{4,1, −8} , приложенные к одной точке. Найти вектор c , направленный по биссектрисе угла ме-

и b , длина которого c = 78 .

Вариант 5

1.A (0,–1,–2), B (–3,–1,3), C (2,3,2), D (3,3,–3).

2.Вектор x , перпендикулярный векторам a{−3,4,−1}, b{−9,8,0},

образует с осью Ox острый угол. Найти его координаты, зная, что его длина x = 51.

Вариант 6

162

Вариант 9

Вариант 10

1.A (1,2,3), B (–1,2,2), C (–1,2,–1), D (–2,–2,–1).

2.Дан вектор a{9, −6, 2} . Найти вектор b , противоположно

Вариант 14

1.A (1,–1,0), B (0,–2,3), C (–1,2,2), D (2,–2,3).

2.Найти единичный вектор, коллинеарный вектору, направленному по биссектрисе угла BAС треугольника ABC , если зада-

ны его вершины A(1,1,1) , B(3,0,1) , C(0,3,1) .

163

Вариант 15

1. A (–1,–1,3), B (1,–1,2), C (–1,–2,–3), D (–1,–3,3).

2. Найти координаты вектора d , перпендикулярного вектору

ный им с осью Oz , острый.

Вариант 16

Вариант 17

164

ный им с осью Oz , тупой.

165

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ»

Задание 1

1.Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат. Построить соответствующие системы координат и кривые по их каноническим уравнениям.

2.Привести уравнение кривой второго порядка путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому

166

виду. Построить соответствующие системы координат и кривую по

ееканоническому уравнению.

3.Построить линию по ее уравнению в полярных координатах.

4.Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Следует записать это уравнение в полярной системе координат, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

5.Решить текстовую задачу.

Вариант 1

1.а) 2x2 + 4x − y − 3 = 0 , б) 2x2 + 5y2 − 12x + 10 y − 13 = 0

2.40x2 + 36xy + 25y2 − 8x − 14 y − 1 = 0

3.ρ = 1+ sin 4φ

4.(x2 + y2 − 3y)2 = 9(x2 + y2 )

5.Построить геометрическое место точек, сумма расстояний которых до точек A(1,0) и B(0,1) равна 4.

Вариант 2

1. а) y = 3x2 − 18x + 19 , б) 4x2 + 3y2 − 8x + 12 y − 32 = 0

2.4x2 − 4xy + y2 − x − 2 y = 0

3.ρ = sin 5φ

4.(x2 + y2 )2 = a2 (x2 + 2 y2 )

5.Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой x = 4 .

Вариант 3

1.а) 2x2 + 8x − y − 5 = 0 , б) 3x2 + 5y2 + 12x − 25y − 15 = 0

2.14x2 + 24xy + 21y2 − 4x + 18y − 139 = 0

3.ρ = cos 4φ

4.(x2 + y2 )2 = y ( x + y)2

5.Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A(2,0) и B(0,2) равна

квадрату расстояний между точками A и B.

167

Вариант 4

1.а) 12 x2 − x − y − 1 = 0 , б) 2x2 − 8x + y2 − 6 y + 1 = 0

2.9x2 − 24xy + 16 y2 − 20x + 110 y − 50 = 0

3.ρ = 2cos φ+ sin φ

4.(x2 + y2 )3 = a2 x2 (4x2 + 3y2 )

5.Составить геометрическое место точек, равноудаленных от оси OX и от точки F (0,10) .

жении остается вдвое дальше от точки A(−4,5) , чем от прямой y + 4 = 0 .

Вариант 6

1.а) y + 2x2 + 4x + 1 = 0 , б) 4x2 − y2 − 8x − 2 y + 3 = 0

2.x2 − 4xy + 4 y2 + 4x − 3y − 7 = 0

3.ρ = 1+ sin 2φ

4.(x2 + y2 )2 = 2(x2 − y2 )

5.Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси OY и от точки F (4,0) .

168

Вариант 7

1.а) y = 2x2 + 4x + 3 , б) 9x2 − 16 y2 − 54x − 64 y − 127 = 0

2.7x2 − 24xy − 38x + 24 y + 175 = 0

3.ρ = sin3 φ

4.(x2 + y2 )3 = a2 x2 (4x2 + 3y2 )

5.Найти уравнение траектории точки M , которая в каждый

момент времени находится вдвое ближе к точке A(−4,5), чем к точке B(1,4) .

Вариант 8

1.а) x = − y2 + 2 y + 3 , б) 4x2 + 9 y2 − 40x + 36 y + 100 = 0

2.4x2 − 4xy + y2 − 2x − 14 y + 7 = 0

которых до точек A(−1,0) и B(4,9) есть величина 8.

Вариант 9

1.а) y + 5x2 − 10x − 3 = 0 , б) 16x2 + 25y2 − 32x + 50 y − 359 = 0

2.7x2 − 8xy + y2 − 16x − 2 y − 51 = 0

3.ρ = sin 4φ

4.(x2 + y2 )3 = a2 x4

5.Найти уравнение траектории точки, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке A(3,0) , чем

коси абсцисс.

169

Вариант 10

1.а) y + x2 − 5x − 7 = 0 , б) 4x2 + 9 y2 − 8x − 36 y + 4 = 0

2.x2 − 6xy + 9 y2 + 10x + 70 y = 0

3.ρ = cos 2φ+ sin 2φ

4.(x2 + y2 )3 = a2 (x4 + y4 )

5.Составить уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых от точек A(−1,0) и B(0,5) равна расстоянию

между точками A и B .

Вариант 11

1.а) x = 3y2 − 6 y + 4 , б) 9x2 + 4 y2 + 18x − 18y + 49 = 0

2.6xy + 8y2 − 12x − 26 y + 11 = 0

3.ρ = cos φ+ sin 2φ

4.x6 = a2 (x4 − y4 )

5.Найти уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке A(2,0) , чем к

точке B(8,0) .

4.(x2 + y2 )3 = 16x2

5.Построить геометрическое место точек, сумма расстояний

которых до точек A(1,1) и B(5,5) равна 5.

170