Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

вычисляем xn , из предпоследнего уравнения – xn−1 , и далее, поднимаясь по системе вверх, находим xn− 2 , …, x1 .

Если в ступенчатой матрице (5.7) r < n , то система, соответствующая ей, является неопределенной (имеет множество решений). В этом случае (n − r ) неизвестных xr +1 , xr + 2 , …, xn прини-

маются за свободные переменные, (т.е. они могут принимать любые значения), и обратным ходом из последнего уравнения системы вычисляется xr через свободные переменные xr +1 , xr + 2 ,…, xn , из пред-

последнего уравнения – xr −1 через xr+1 , xr + 2 ,…, xn и так далее определяются переменные xr− 2 ,..., x1 . При этом неизвестные x1, x2 , ..., xr

называются базисными.

Продемонстрируем метод Гаусса на конкретных примерах. Пример 5.3. Решить систему методом Гаусса:

x1 + x2 − x3 = 2,

−2 + + 6 = 2,

x1 x2 x3

+ 2 + = 6.

x1 x2 x3

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:

Исключаем неизвестные x1 из второго и третьего уравнений.

Для этого ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2, а к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –1. Получим:

41

(для упрощения вычислений поменяли местами второе и третье уравнения).

Исключаем неизвестные x2 из третьего уравнения. Для этого вторую строку, умноженную на –3, прибавляем к третьей строке:

(последнюю строку разделили на –2).

Полученной матрице соответствует система ступенчатого вида:

Эта система имеет единственное решение. Поднимаясь по системе снизу вверх, последовательно находим неизвестные x3 , x2 , x1 . Таким образом,

Пример 5.4. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, переставив местами первое и второе уравнения, и преобразуем ее в эквивалентную:

42

Последней строке матрицы соответствует невозможное равенство 0 = 4. Следовательно, система несовместна.

Пример 5.5. Решить систему методом Гаусса:

x + 2 y − 4z = 1,2x + y − 5z = −1,

x − y − z = −2.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Последнюю строку матрицы отбрасываем, так как соответствующее ей равенство 0=0 выполняется для любых значений неиз-

Ступенчатая система является неопределенной. Придадим z значение t, где t – произвольное число. Тогда из последнего уравнения системы y = t + 1, а из первого x = 2t − 1. Таким образом, сис-

тема имеет бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам:

x = 2t − 1,

= + 1, где – произвольное число.

y t t

z = ,

t

43

Каждое отдельное решение системы получается при какомлибо определенном значении t.

x = −1,

Например, если = 0 , то = 1, t y

z = 0,

x = 3,

если = 2 , то = 3, t y

z = 2,

x = −5,

если = −2 , то = −1, t y

z = −2.

Пример 5.6. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Последнюю строку отбрасываем и получаем систему ступенчатого вида:

x1 + x2 + x3 + x4 = 3, которая является неопределенной.

− + = 2,

x2 x3 x4

Так как в последнем уравнении три неизвестных, то x3 и x4 придадим произвольные значения t1 и t2 соответственно, и из второго уравнения найдем x2 , а из первого – x1 . Таким образом, получим:

44

Если положить, например, t1 = 1, t2 = 0 , то получим конкретное решение из бесконечного множества решений данной системы:

5.4. Решениеоднородныхсистемлинейных уравнений

Рассмотрим однородную квадратную систему линейных урав-

нений

Очевидно, что эта система всегда совместна ( rang A = rang A )

система (5.9) является определенной и имеет только тривиальное решение: x1 = x2 = ... = xn = 0 .

45

Утверждение 5.2. Если определитель = 0, то система (5.9)

является неопределенной.

Замечание. Если система (5.9) является неопределенной ( = 0 ), то бесконечное множество ее решений находится методом Гаусса.

В силу утверждения 5.2 система является неопределенной. Для нахождения ее решений применим метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы, поставив последнее уравнение первым:

x + 3y − 4z = 0

Такимобразом, имеемнеопределеннуюсистему:

−7 y + 11z = 0.

Для упрощения вычислений придадим z значение 7t , где t – любое число, и выразим из второго уравнения y , а из первого

уравнения найдем x . Получим

46

Пример 5.8. Решить однородную систему

3x1 + 2x2 + x3 = 0,2 + 3 + = 0,

x1 x2 x3

2 + + 3 = 0.

x1 x2 x3

Решение. Вычислим определитель .

Поскольку ≠ 0 , то система имеет в силу утверждения 5.1 только тривиальное решение

Замечание. Неквадратные однородные системы решаются методом Гаусса. Однако, однородную систему из двух уравнений с тремя неизвестными можно решить изложенным далее способом.

Итак, рассмотрим систему:

47

По теореме Кронекера-Капелли система (5.10) всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, так как rang A = rang A < n,

n = 3. Найти все решения системы (5.10) позволяют следующие утверждения.

48

В силу утверждения 5.3 имеем:

3x + 2 y − z = 0 . Чтобы найти все множество ее решений, двум неиз-

вестным придадим произвольные значения, а третье найдем из уравнения. Получим

49