Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdf
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
b x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
Следствие 7.1 вытекает из теоремы 7.1 и формулы (7.3). |
→ |
||||||||||||
Следствие 7.2. Угол |
φ |
между ненулевыми векторами |
|||||||||||
а= |
|||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {x1; y1; z1} и b = {x2; y2; z2} вычисляется по формуле |
|
||||||||||||
cos φ = |
|
x1x2 + y1 y2 |
+ z1z2 |
|
|
. |
|
|
(7.4) |
||||
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
x |
2 + y |
2 + z |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
||
Действительно, из формулы (7.1) |
имеем cos φ = |
a b |
, что |
||||||||||
→ → |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a | | b | |
|
||
в координатной форме и дает формулу (7.4).
→
Следствие 7.3. Проекция вектора а= {x1; y1; z1} на вектор
→
b = {x2; y2; z2} определяется равенством:
|
|
|
→ |
|
x1x2 + y1 y2 |
+ z1z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр→ a |
= |
. |
|
|
|
|
(7.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b |
|
x2 + y |
2 |
+ z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
a b |
|
||
|
В самом деле, из формулы (7.2) |
получим пр→ a = |
, что |
||||||||||
|
|
→ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в координатной форме эквивалентно равенству (7.5). |
|
|
|
|
|
||||||||
→ |
Замечание. Известную формулу вычисления длины вектора |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
= {x1; y1; z1} можно доказать с помощью скалярного квадрата |
||||||||||||
вектора. Действительно, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
а |
2 = | а |
|2, то | а|= |
a2 или |
|
| а|= x12 + y12 |
+ z12 . |
|
|
|
|
||
71
7.5. Механический смысл скалярного произведения
→
Если f – вектор, изображающий силу, точка приложения ко-
→
торой перемещается из начала в конец вектора S , то работа А этой
→
силы при перемещении S равна скалярному произведению векто-
→ |
→ |
→ |
→ |
|
ров f |
и S |
, т.е. А = f |
S . |
|
|
|
|
→ → |
, угол меж- |
|
Пример 7.1. Даны два единичных вектора m и n |
|||
ду которыми 120°. Найти: а) острый угол между диагоналями па-
|
|
→ |
→ → |
|
раллелограмма ABCD, построенного на векторах a |
= −4m+ 2 n |
(AB) |
||
→ |
→ → |
→ |
→ |
|
и b |
= m+ 3 n |
(AD); б) проекцию вектора a на вектор b . |
|
|
Решение. а) Искомый угол φ определим по формуле
где
→
= 15 m
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos φ = |
|
AC |
DB |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
DB |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|||||||||
|
AC = a |
+ b = (−4m+ 2 n) + (m+ |
3 n) = −3m+ |
5 n |
, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
||||||||||
|
DB = a |
− b = (−4m+ 2 n) − (m+ 3 n) = −5m− n . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
→ → |
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
→ → |
|
|
|
→ 2 |
→ → → 2 |
|
||||||||||||
|
AC DB = (−3m+ 5 n)(−5m− n) |
= 15m − 22m n |
− 5 n = |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
cos120° − 5 |
|
→ |
|
2 |
|
|
2 |
− 22 1 |
|
1 |
2 |
= 21. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
− 22 |
|
m |
|
|
n |
|
|
n |
|
= 15 1 |
1 − |
|
− 5 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
→ |
2 |
|
|
→ |
→ |
|
→ 2 |
|
|
→ → |
→ 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
AC |
|
|
= (−3m+ 5 n)2 = 9m − 30m n+ |
25 n = |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9 1 |
− 30 1 1 − |
|
+ 25 = 49. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
→ |
2 |
|
|
|
→ → |
|
→ → |
|
|
→ |
2 |
→ → → 2 |
|
|
|||||||||||||
|
DB |
|
|
= (a |
− b)2 |
= (−5m− n )2 |
= 25m |
+ 10 m n+ n = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 25 1 + |
10 1 1 − |
|
+ 1 = 21. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
72
|
→ |
|
|
= |
→ |
2 |
49 = 7 |
|
|
|
→ |
|
= |
→ |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
AC |
|
|
AC |
= |
|
. |
DB |
DB |
= |
21 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, cos φ = |
|
21 |
|
|
= |
3 |
и φ = arccos |
3 . |
|||||||||||||||||||
|
7 |
21 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Проекцию вектора а на вектор b найдем по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр→ a |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
→ → |
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
→ |
2 |
→ → → 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a b |
|
= (−4m+ |
2 n)(m+ |
3n) |
= −4m |
− 10m n+ |
6 n |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= −4 12 − 10 1 1 cos120° + 6 12 |
= 7. |
|
|
||||||||||||||||||
|
→ |
|
= |
→ 2 |
→ |
→ |
= |
→ |
2 |
|
|
→ → → 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b |
|
b |
= |
(m+ |
3 n)2 |
m |
+ |
6m n+ 9 n |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
12 + 6 1 1 cos120° + 9 12 = |
7. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
7 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, пр→ a |
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1. Определение векторного произведения
→ → →
Три некомпланарных вектора а, b и c , взятых в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку векторов, если кратчайший
→ |
|
→ |
с конца вектора |
→ |
поворот от вектора а к вектору |
b |
c виден против |
||
хода(походу) часовой стрелки(рис. 15). |
|
|||
→ |
→ |
→ |
образуют правую тройку векто- |
|
Например, векторы i , |
j , |
k |
||
|
|
|
→ |
→ |
ров, так как кратчайший поворот от вектора i к вектору j с конца
73
вектора |
→ |
|
||
k виден против хода часовой стрелки, а тройка векторов |
||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
j , |
i , |
k |
является левой, так как кратчайший поворот от j к |
i с |
|
|
→ |
виден по ходу часовой стрелки (рис. 16). |
|
конца k |
|
|||
Рис. 15
Рис. 16
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
Векторным произведением векторов а |
и b называется век- |
|||||
→ |
, обозначаемый |
→ → |
→ |
→ |
, удовлетворяющий следующим |
||
тор с |
a |
b |
= а |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
трем условиям:
|
→ |
→ → |
1) |
длина вектора с |
равна произведению длин векторов а и b |
на синус угла φ между ними:
74
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| с |
| = | а| |
| b |sin φ; |
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
|
→ |
|
→ → |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
2) |
вектор с ортогонален векторам а и b |
: |
с |
а |
, |
с |
b |
; |
||
|
→ |
|
|
что тройка векторов |
||||||
3) |
вектор с направлен таким образом, |
|||||||||
→ → →
а, b и с является правой.
8.2.Алгебраические свойства векторного произведения
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
|
→ |
→ |
→ |
→ |
– антиперестановочность сомножителей; |
|||||||||
1) |
а × b = |
− b |
× a |
|||||||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
× |
|
→ |
|
|
|
|
2) |
λа |
× b = λ( а |
× b ) = а |
λb , где λ – некоторое число, – со- |
||||||||||
четательность относительно числового множителя; |
|
|
|
|||||||||||
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
3) ( а+ b ) × c |
= |
а |
× c |
+ |
b |
× c (распределительность относи- |
||||||||
тельно суммы векторов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
4) |
а × а = 0 для любого вектора а. |
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим доказательство свойства 1 (рис. 17). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
Введем обозначения: а |
× b |
= с1 ; |
|||
|
c1 |
|
b |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
× a = |
с2 . Если векторы а |
и b кол- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линеарны, то с1 =0 и |
с2 =0 в |
силу |
||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
формулы(8.1), исвойство1 доказано. |
||||||
|
→ |
|
|
a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же векторы а и b не |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
коллинеарны, то согласно формуле |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
|
(8.1) | с1 |
| = | с2 |, при этом с1 |
|| с2 |
, так |
||||
|
→ |
→ |
|
|
как оба вектора с1 |
и с2 ортогональны плоскости определяемой |
|||
→ |
→ |
→ |
→ |
|
векторами а |
и b . Однако векторы с1 |
и с2 имеют противополож- |
||
|
|
|
→ → |
→ |
ные направления, |
потому что обе |
тройки векторов а, b |
, с1 |
|
75
→ → |
→ |
|
|
→ |
→ |
и b , а |
, с2 являются правыми. Следовательно, векторы с1 |
и с2 про- |
|||
|
→ |
|
→ |
|
|
тивоположны, т.е. с1 |
= |
−с2 |
, и свойство 1 доказано. |
|
|
Замечание. Перечисленные свойства позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, но при этом сохранять порядок векторных множителей либо при изменении этого порядка менять знак на противоположный.
→ →
Пример 8.1. Найти векторное произведение i × j .
→ → →
Решение. Учитывая, что базисные векторы i , j , k взаимно ортогональны и имеют единичную длину, получим
|
→ |
→ |
= |
→ |
|
→ |
sin 900 |
= 1. |
Поскольку вектор |
→ |
→ |
||||||
|
i |
× j |
i |
j |
i × j ортогонален |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
) и его длина равна единице, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
плоскости xOy ( i |
× j |
i , |
i |
× j |
j |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||
то он равен либо k , либо |
− k . Из этих двух возможных векторов |
||||||||||||||||
надо выбрать первый, так как векторы |
→ |
→ |
→ |
|
|||||||||||||
i |
, j , |
k образуют правую |
|||||||||||||||
тройку векторов (а векторы |
→ |
→ |
→ |
|
левую). |
Следовательно, |
|||||||||||
i , |
j , − k |
– |
|||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i × j = k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Заметим, что из антиперестановочности векторного произве- |
|||||||||||||||
дения следует, что |
→ |
→ |
→ |
. Аналогично вычисляются векторные |
|||||||||||||
j × i = − k |
|||||||||||||||||
произведения других возможных пар базисных векторов. Например:
→ → → → → → → → → → → →
j × k = i , k × j = − i , k × i = j , i × k = − j .
8.3. Геометрические свойства векторного произведения
Теорема 8.1. Необходимым и достаточным условием колли-
→→
неарности векторов а и b является равенство нулю их векторного
→ → → →
произведения: а|| b a × b = 0.
Доказательство теоремы предлагается провести самостоятельно.
76
Геометрический смысл векторного произведения раскрывает следующая теорема.
|
Теорема 8.2. Длина |
векторного |
|
|
|
|
→ |
→ |
равна |
||||||||||
|
произведения a × b |
||||||||||||||||||
площади S параллелограмма, |
построенного на векторах |
→ |
|
→ |
|||||||||||||||
а |
и b , |
||||||||||||||||||
приведенных к общему началу: S = |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a × b |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Доказательство теоремы вытекает из формулы вычисления |
||||||||||||||||||
площади параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Замечание. Площадь треугольника, построенного на векто- |
||||||||||||||||||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
рах а и b |
|
, равна половине длины векторного произведения a |
× b , |
||||||||||||||||
т.е. S |
= |
1 |
|
→ |
→ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
a × b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
8.4. Вычисление векторного произведения |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в координатной форме |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема8.3. Есливекторы а и b заданысвоимикоординатами: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а= {x1; y1; z1}, b = {x2; y2; z2}, то |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
× b = {y1z2 – z1y2; z1x2 – x1z2; x1y2 – y1x2} или |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a × b = |
x1 |
|
y1 |
z1 |
|
. |
|
|
(8.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Запишем разложение векторов а и b по ба- |
||||||||||||||||||
→ → →
зису i , j , k :
→ |
= x1 →i |
+ y1 →j + z1 →k , |
а |
→ |
= x2 →i |
+ y2 →j + z2 →k . |
b |
Тогда, используя алгебраические свойства векторного произведения и значения векторных произведений базисных векторов
→ → →
i , j , k , получим:
77
→ |
|
→ |
= (x1 →i + y1 →j + z1 →k ) × (x2 →i + y2 →j + z2 |
→k ) = |
|
||||||
a |
× b |
|
|||||||||
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
= x1x2 ( i |
× i |
) + x1y2 ( i |
× j |
) + x1z2 ( i |
× k |
) + y1x2 |
( j |
× i |
) + |
||
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
+ y1y2 ( j |
× j |
) + y1z2 ( j |
× k |
) + z1x2 ( k |
× i |
) + z1y2 |
( k |
× j |
) + |
||
→→ → → →
+z1z2 ( k × k ) = (y1z2 – z1y2) i + (z1x2 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2) k .
Последнее выражение – это разложение определителя, стоящего в формуле (8.2), по элементам первой строки. Таким образом, формула (8.2) доказана.
Следствие 8.1. Необходимым и достаточным условием кол-
→ |
|
|
|
|
→ |
|||
линеарности векторов а |
= {x1; y1; z1} и b = {x2; y2; z2} является про- |
|||||||
порциональность соответствующих координат: |
||||||||
→ |
→ |
x1 |
|
y1 |
|
z1 |
|
|
а |
|| b |
= |
= |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
||
Доказательство. В силу теоремы гда по теореме 8.3
|
|
|
y |
= |
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y1z2 |
− z1 y2 |
= 0, |
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|||||
|
− x1z2 |
= 0, |
z1 |
= |
|
x1 |
; |
||||||
x2 z1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
|||||||||||
|
− y1x2 |
= 0, |
z2 |
|
|
|
|
||||||
x1 y2 |
y |
= |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
||||||
|
→ |
→ |
→ |
→ |
= 0. То- |
8.1 |
а |
|| b |
a |
× b |
x1 = y1 = z1 . x2 y2 z2
Пример 8.2. Даны два вектора |
→ |
→ |
|
→ |
|
||||
а |
и b |
, |
для которых | a |= 2 , |
||||||
| b |= 6 , φ = (a , b) = 5 |
π. Найти: а) a× b , б) | (2 a+ 3b) × (a− 4 b) | . |
||||||||
→ |
→ → |
|
|
→ → |
|
|
→ → → → |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
= 2 6 |
1 |
= 6 . |
|
|
Решение: а) | a× b |
|=| a |
| | b | sin φ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
→ → |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
→ → |
|
a× b |
= 6 e , где e |
– единичный вектор направления a× b |
; |
||||||
78
б) согласно свойствам векторного произведения
→ → → → |
→ → |
→ → |
→ → |
→ → |
||
(2 a+ |
3b) × (a− 4 b) |
= 2(a× a) − 8(a× b) + 3(b× a) |
− 12(b× b) = |
|||
|
→ → |
→ → |
→ |
→ |
|
|
= −8(a× b) − 3(a× b) = −11(a× b). |
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
||
→ |
→ → |
→ |
→ |
→ |
→ → |
6 = 66 . |
| (2 a+ 3b) × (a |
− 4 b) |=| −11(a× b) |= 11 |
| a× b |= 11 |
||||
Пример 8.3. Найти площадь треугольника с вершинами
A(1;2;0) , B(3;2;1) , C(−2;1;2) .
Решение: S ABC |
= 1 |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| AB× AC | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим координаты |
|
|
|
|
→ |
и |
→ |
→ |
||||
векторов AB |
AC : |
AB = {2;0;1} , |
||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC = {−3;− 1;2} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ |
→ |
|
i |
j |
k |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AB× AC |
2 0 1 |
|
= i |
− 7 j |
− 2 k . |
|
||||||
|
|
|
−3 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, S ABC |
= 1 1+ 49 + 4 |
= |
3 |
6 |
. |
|
|||
|
2 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
8.5. Механический смысл векторного произведения |
|||||||||
|
М |
Пусть |
→ |
– сила, |
приложенная |
||||
|
f |
||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
f |
в точке М, а вектор а= ОМ соединяет |
||||||||
а |
|||||||||
|
некоторую |
точку |
пространства О |
||||||
|
|
||||||||
|
|
с точкой М. |
Тогда |
→ |
→ |
||||
|
О |
а × |
f – момент |
||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
силы f относительно точки О. |
|||||||
79
9. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
9.1. Определение смешанного произведения
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
Пусть даны три вектора а, |
b и c . |
|
|
|
|
|
||
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
Если вектор а векторно умножить на вектор b и полученный |
||||||||
→ |
→ |
|
|
→ |
, то получится число, |
|||
вектор а |
× b скалярно умножить на вектор c |
|||||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
, которое |
называемое смешанным произведением векторов а, |
b , |
c |
||||||
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
обозначается а b c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения смешанного произведения имеем: |
|
|||||||
|
→ → → |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
а b c = ( а |
× b ) |
c . |
|
|
|
(9.1) |
|
9.2. Геометрический смысл смешанного произведения
Геометрический смысл смешанного произведения раскрывает следующая теорема.
→ → →
Теорема 9.1. Смешанное произведение а b c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах а, |
b , |
c , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов |
||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
а, |
b , |
c – правая, и со знаком |
«минус», если тройка а |
, |
b , |
c – ле- |
||||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
→ → → |
|
|
|
вая; если же векторы а, |
b , |
c компланарны, то а b c равно нулю: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vпар-да , |
если |
a, b, c − правая; |
|
|
|
||
|
|
|
→ → → |
|
|
|
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
а b c |
= −Vпар-да , |
если |
a, b, c − левая; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
a, b, c − компланарны |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → →
Доказательство. Построим на векторах а, b , c , приведенных к общему началу О, параллелепипед (рис. 18).
80