Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Нормальное уравнение плоскости

Рассмотрим			некоторую
плоскость α. На плоскость α
опустим	перпендикуляр ОР из
начала координат (рис. 60).
На		возьмем единич-
На	OP	возьмем единич-
ный вектор n		, направление ко-
торого совпадает с направлением

OP (если плоскость α проходит
через начало		координат, то на-

правление вектора n выбирается
произвольно). Введем обозначения:					OP	= p , направляющие коси-

				cosβ,			cos γ. Составим уравне-
нусы вектора n обозначим cos α,				cosβ,			cos γ. Составим уравне-
ние плоскости α.			Возьмем любую точку				M ( x; y; z) , лежащую на

плоскости, и соединим ее с началом координат.

					→
			OM		n
M ( x; y; z) α пр→ OM = p		или	OM		n	= p .
M ( x; y; z) α пр→ OM = p		или		→		= p .
n				→
n				n
				n
	→
	→
В силу того, что OM = {x; y; z} ,	n	= 1 и n = {cos α; cosβ; cos γ} ,

последнее уравнение в координатной форме примет вид
x cos α+ y cosβ+ z cos γ− p = 0 .					(14.7)

Уравнение(14.7) называетсянормальнымуравнениемплоскости.

В нормальном уравнении плоскости сумма квадратов коэффициентов при x, y, z равна единице (тождество для направляющих

косинусов) и коэффициент p ≥ 0 (так как p – расстояние от начала

координат до плоскости).

Для приведения общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду его следует умножить на нормирующий множи-

141

тель	μ = ±		1		, при этом знак μ выбирается противопо-

			+ B2
		A2		+ C2

ложным знаку свободного члена нормируемого уравнения, т.е. коэффициента D.

14.4. Расстояние от точки до плоскости

Пусть заданы точка M * (x* ; y* ; z* ) и плоскость α своим об-

щим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки M * до плоскости α вычисляется по формуле

	d =	A x*	+ B y* + C z* + D	.	(14.8)

			A2 + B2 + C2
			A2 + B2 + C2
Вывод формулы (14.8) та-
кой же, как вывод формулы рас-
стояния от точки M * (x* ; y* )			до
прямой Ax + By + C = 0 . Предла-
гается	доказательство формулы
(14.8) провести самостоятельно.
Если же плоскость α			за-
дана	нормальным уравнением

x cos α+ y cosβ+ z cos γ− p = 0 , то			расстояние		d	от точки
M * (x* ; y* ; z* )	до плоскости вычисляется по формуле
	d =	x* cos α+ y* cosβ+ z* cos γ− p		.		(14.9)
	d =	x* cos α+ y* cosβ+ z* cos γ− p		.		(14.9)
Пример 14.2. Вычислить расстояние от точки P(−1;1;− 2) до
плоскости α,	проходящей через		точки M1 (1; −1;1),			M2 (−2;1;3),
M3 (4;−5; −2).
Решение. Составим уравнение плоскости α ,					используя фор-
мулу (14.6):

142

x − 1	y + 1	z − 1
x − 1	y + 1	z − 1
−3	2	2	= 0 .
3	−4	−3

Раскроем определитель по первой строке

(x − 1)(−6 + 8) − ( y + 1)(9 − 6) + (z − 1)(12 − 6) = 0 .

Упростив уравнение, получим общее уравнение плоскости α : 2x − 3y + 6z − 11 = 0 .

Вычислим расстояние от точки Р до плоскости α по форму-

ле (14.8):

d =		2 (−1) − 3 1 + 6 (−2) − 11	=	28	= 4 .


	4 + 9 + 36			7

14.5. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две непараллельные плоскости

α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,

α2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

Пересекаясь, две плос-
кости образуют четыре дву-
гранных	угла,	которые		по-		n 2
парно равны.		Один из		дву-		n 2
парно равны.		Один из		дву-	A
гранных углов φ равен углу					α 2
гранных углов φ равен углу
между	двумя		нормальны-				n1
между	двумя		нормальны-				n1
ми векторами			= {A1 , B1	,C1}
ми векторами		n1	= {A1 , B1	,C1}		B	C
и n2 = {A2 , B2 ,C2 }			плоскостей				α 1
α1 и α2 (рис. 62).							α 1
α1 и α2 (рис. 62).
						Рис. 62

143

Поэтому cos φ =

или

cos φ =

A1 A2 + B1 B2 + C1 C2

(14.10)

2 + B 2

+ C 2

2 + B

2 + C

Из формулы (14.10) вытекают условия параллельности и пер-

пендикулярности двух плоскостей:

α1 || α2 n1

|| n2

;

α1 α2 n1

A1 A2 + B1 B2

+ C1 C2 = 0 .

15. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

15.1. Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение

двух поверхностей. Если F1 ( x; y; z) = 0 и F2 ( x; y; z) = 0		– уравнения
двух поверхностей, пересечением которых является линия L , то эту
линию задают системой
F	( x; y; z) = 0,
1		(15.1)
F	( x; y; z) = 0.	(15.1)
2

Замечание. Данную линию L можно представить двумя уравнениями бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии L .

Существует и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному

144

закону. Этот подход приводит к параметрическому представлению

линии в пространстве. При этом координаты x, y,	z любой точки
линии L задаются как три функции:
x = φ(t ),
	(15.2)
y = ψ(t),	(15.2)

z = χ(t ),

определенные и непрерывные в некотором промежутке изменения параметра t .

15.2.Различные виды уравнений прямой

впространстве

Канонические уравнения прямой

Всякий ненулевой вектор S = {l, m, n} , параллельный прямой,

называется направляющим вектором этой прямой. Если известна точка М0 (x0 , y0 , z0 ) прямой и направляющий вектор S = {l, m, n} , то прямая определяется уравнениями вида

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(15.3)
l		m
				n

Уравнения (15.3) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки

Прямая, проходящая через две точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M2 ( x2 , y2 , z2 ) , определяется уравнениями

		x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.	(15.4)
		x2 − x1		y2 − y1
						z2 − z1
Параметрические уравнения прямой
Прямая, проходящая через точку М0 (x0 , y0 , z0 )								в направлении
	= {l, m, n} , определяется параметрическими уравнениями
вектора S

145

x	= l t + x0 ,
	= m t + y0 ,		(15.5)
y
	= n t + z0 .
z
Областью изменения параметра t		является вся ось: −∞ < t < +∞ .
При изменении t величины	x, y,	z меняются так,	что точка

М (x, y, z ) движется по прямой.

Вывести уравнения прямой в пространстве (15.3), (15.4), (15.5) читателю предлагается самостоятельно (доказательство аналогичных формул уравнений прямой на плоскости представлено в п. 10.3).

Общие уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана пересечением двух не параллельных плоскостей. Пусть даны две плоскости:

α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,

α2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,

причем эти плоскости не параллельны, т.е. хотя бы одна из пропор-

ций	A1	=	B1	=	C1	нарушается (в противном случае α1 \|\| α2 ). Тогда
ций	A2	=	B2	=	C2	нарушается (в противном случае α1 \|\| α2 ). Тогда
	A2		B2		C2
система уравнений						A1 x + B1 y + C1 z + D1	= 0,	(15.6)
система уравнений								(15.6)
						A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

определяет прямую линию, по которой плоскости α1 и α2 пересе-

каются. Уравнения (15.6) называются общими уравнениями прямой. Рассмотрим вопрос приведения прямой, заданной общими

уравнениями (15.6), к каноническому виду (15.3).				= {l, m, n}

Для этого достаточно найти направляющий вектор S
прямой и хотя бы одну точку M0 ( x0 , y0 , z0 ) , лежащую на прямой.
Заметим (рис. 63), что вектор	S	ортогонален каждому из

нормальных векторов n1 = {A1 , B1 ,C1}	и	n2 = {A2 , B2	,C2 }	плоско-

стей α1 и α2 .

146

Поэтому вектор S можно

искать как векторное произведе-

ние векторов n1			и n2	,
			→	→	→
			→	→	→
→	→	→	i	j	k
→	→	→
т.е. S	= n1× n2 =		A1	B1	C1	.
			A2	B2	C2

	Для	нахождения			точки

M0 ( x0 , y0 , z0 ) , принадлежащей

прямой L , найдем одно из решений системы (15.6). Пусть для оп-

ределенности

≠

. Тогда,

взяв вместо z произвольное чис-

ло z0 (например,

z0 = 0 ) и подставив его в систему (15.6), найдем

соответствующие этому z0

значения x0 и y0 ( x0 , y0 – единственное

решение системы, так как

≠

). Таким образом, получим точку

M0 ( x0 , y0 , z0 ) , лежащую на прямой.

Зная точку M0 ( x0 , y0 , z0 )

и направляющий вектор S прямой,

записываем уравнение прямой в каноническом виде:

x − x0

y − y0

z − z0

Замечание

15.1. Если

≠

С1

, то произвольное значение

С2

придается переменной y ; если

≠

С1

, то переменной x .

С2

Замечание 15.2. Канонические уравнения прямой можно получить, определив какие-либо две точки на ней и применив форму-

лу (15.4).

147

Пример 15.1. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:

L :

x − 2 y + 3z − 4 = 0,

3x + 2 y − 5z − 4 = 0.

Решение. Найдем направляющий вектор прямой L :

→

→ →

→

−2 3

= n1× n2 =

= (10 − 6) i − (−5

− 9) j

+ (2 + 6) k

= 4 i +

14 j

+ 8k .

−5

→

{4;14; 8}.

Таким образом, S

Поскольку

≠

, то возьмем z0 = 0 и решим систему

x − 2 y = 4,

y0 = −1 . Таким образом, M0 (2; − 1;0) –

3x + 2 y = 4. получим x0 = 2 ,

точка, лежащая на прямой L. Следовательно, канонические урав-

нения прямой имеют вид

x − 2

y + 1

или

x − 2

y + 1

15.3. Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть две прямые

L1 и L2 заданы каноническими уравне-

ниями:

L1 :

x − x1

y − y1

z − z1

L2 :

x − x2

y − y2

z − z2

148

Один из углов φ между этими

прямымиравенуглу между ихнаправ-

→

{l1 , m1 , n1}

ляющими

векторами

S1 =

→

, n2 } (рис. 64).

и S 2 = {l2

, m2

Поэтому по известной форму-

→

ле cos φ =

S1 S 2

получаем

→

l1 l2

+ m1 m2 + n1 n2

cos φ =

(15.7)

l12

+ m12

+ n12

l22 + m22 + n22

Из формулы (15.7) вытекают условия параллельности и пер-

пендикулярности прямых:

→

L1 || L2

S1 ||

S 2

l2 m2

→

l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0 .

L1 L2

S1 S2

15.4. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пересечение прямой с плоскостью

Пусть требуется найти точку пересечения прямой L:

x − x0

y − y0

z − z0

с плоскостью

α:

Ax + By + Cz + D = 0 .

Для этого, очевидно, следует решить систему уравнений:

Ax + By + Cz + D = 0,

y − y0

z − z0

x − x0

149

Проще всего это сделать, записав уравнения прямой L в параметрическом виде:

Ax + By +Cz + D = 0,

x = l t + x0 ,

y = m t + y0	,

z = n t + z0 .

Решая полученную систему подстановкой выражений x, y, z

через параметр t в первое уравнение системы, получим:
	A(l t + x0 ) + B(m t + y0 ) + C (n t + z0 ) + D = 0 или
	t ( A l + B m + C n) + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .	(15.8)
Из	уравнения (15.8) следует: если A l + B m + C n ≠ 0 , то
прямая	L пересекает плоскость α в точке, координаты которой

легко найти, вычислив сначала из уравнения (15.8) значение параметра t этой точки;

если A l + B m + C n = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 , то прямая L параллельна плоскости α ;

если A l + B m + C n = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , то прямая L лежит в плоскости α .

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности

прямой и плоскости

Пусть заданы плоскость α:

и прямая L :	x − x0	=	y − y0
	l		m

Ax + By + Cz + D = 0

= z − z0 . n

Спроектируем прямую L на плоскость α . Углом между прямой и плоскостью является угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через φ острый угол между

прямой L и плоскостью α , а через ψ – угол между нормальным

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб46Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб49Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб72Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf