Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

81

.

Следствие 9.1. Необходимым и достаточным условием ком-

планарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

Следствие 9.2. При круговой перестановке перемножаемых векторов смешанное произведение не меняется:

при перестановке любых двух перемножаемых векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный:

→а объем треугольной пирамиды (рис. 21), по-

82

пользуя формулы вычисления векторного и скалярного произведений в координатной форме:

Последнее равенство – разложение определителя по элементам третьей строки.

83

Следствие 9.4. Необходимым и достаточным условием ком-

84

РАЗДЕЛ 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

10.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

10.1.Уравнение линии на плоскости

Предположим на плоскости α заданы декартова прямоугольная система координат xOy и некоторая линия L .

Рассмотрим уравнение, связывающее две переменные x и y :

тельно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L ,

и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей

на линии L .

Согласно данному определению линия L – это геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (10.1). Переменные x и y в уравнении линии (10.1) на-

зываются текущими координатами точек линии.

Например, уравнение x2 + y2 − 1 = 0 определяет окружность

радиуса R = 1 с центром в начале координат.

Заметим, что уравнение вида (10.1) может и не иметь геометрического образа или иметь геометрический образ, не соответст-

вующий понятию линии. Так, уравнению x2 + y2 = 0 удовлетворяет только одна точка (0; 0), а уравнение x2 + y2 + 1 = 0 вообще не имеет

геометрического образа.

Уравнение (10.1) называется алгебраическим уравнением n-й степени, если функция F ( x; y) представляет собой сумму конечного числа слагаемых вида аij xi yj, где i, j – целые неотрица-

85

тельные числа, причем i + j ≤ n ; аij – некоторые постоянные, причем хотя бы для одной пары чисел i, j , удовлетворяющих равен-

Утверждение 10.1. Если линия L в некоторой декартовой прямоугольной системе координат xOy определяется алгебраиче-

ским уравнением n-й степени, то в любой другой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Заметим, что линия на плоскости может быть задана уравнением в полярной системе координат. Этот способ задания линии рассматривается в §13. Иногда линия на плоскости записывается в параметрическом виде, о чем излагается в § 12.

10.2. Прямая линия на плоскости

Теорема 10.1. Если на плоскости α заданы декартова прямоугольная система координат и прямая L , то в этой системе координат прямая L определяется алгебраическим уравнением I степени:

Доказательство

Для доказательства достаточно показать, что прямая L определяется уравнением первой степени относительно специально выбранной системы координатxOy . Систему координат выберем сле-

дующим образом: ось Ox направим вдоль прямой L , а ось Oy –

перпендикулярно к ней. Тогда прямая L относительно выбранной системы координат xOy определяется уравнением y = 0 , т.е. алгеб-

раическим уравнением первой степени. Следовательно, в силу утверждения (10.1) прямая L в любой другой декартовой прямо-

86

угольной системе координат определяется алгебраическим уравнением первой степени, т.е. уравнением (10.2). Теорема доказана.

Теорема 10.2. Если на плоскости α задана декартова прямоугольная система координат, то всякое уравнение первой степени

Ax + By + C = 0

(хотя бы одно из чисел A, B не равно нулю) определяет относитель-

но этой системы координат прямую линию.

Доказательство

Уравнение (10.2) имеет бесконечное множество решений. Найдем одно из них. Обозначим его ( x0 , y0 ) , т.е. точка М0 ( x0 ; y0 ) – точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (10.2), а именно

уравнение эквивалентное уравнению (10.2). Покажем, что уравнение

гональны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

87

выполняется. Таким образом, уравнение (10.2), эквивалентное уравнению (10.4), определяет прямую L . Теорема доказана.

Уравнение (10.4) называется уравнением прямой, проходящей

→

через точку М0 ( x0 ; y0 ) перпендикулярно вектору n = {A; B}.

10.3. Различные виды уравнения прямой на плоскости

Уравнение (10.2), в котором хотя бы один из коэффициентов А или В не равен нулю, называется общим уравнением прямой.

→

Вектор n = {A; B}, перпендикулярный данной прямой, называется

нормальным вектором прямой (или нормалью).

Общее уравнение прямой (10.2) называется полным, если все его коэффициенты A, B и С отличны от нуля.

Если хотя бы один из коэффициентов А, B, C равен нулю, то уравнение (10.2) называется неполным.

Неполные уравнения прямой

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений прямой:

1.Если С = 0 , то уравнение (10.2) принимает вид Ax + By = 0

иопределяет прямую, проходящую через точку (0; 0).

2. Если А= 0 , то уравнение (10.2) принимает вид By + C = 0

иопределяет прямую, параллельную оси Ox .

3.Если В = 0 , то уравнение (10.2) принимает вид Ax + C = 0

иопределяет прямую, параллельную оси Oy .

4.Если А= С = 0 , то уравнение (10.2) принимает вид By = 0 (или y = 0 ) и определяет саму ось Ox .

5.Если В = С = 0 , то уравнение (10.2) принимает вид Ax = 0 (или x = 0 ) и определяет саму ось Oy .

88

к уравнению в отрезках и построить данную прямую.

Решение. Приведем уравнение прямой к уравнению в отрезках: 2x − 3y = −6 : (−6) ;

x + y = 1.

−3 2

89

y

Следовательно, а = −3 ,

Рис. 23

Каноническое уравнение прямой

→

Любой ненулевой вектор S = {l ; m}, параллельный прямой,

называется направляющим вектором этой прямой.

Рассмотрим задачу: составить уравнение прямой L , прохо-

Уравнение (10.6) – искомое уравнение прямой L , которое на-

зывается каноническим уравнением прямой.

Замечание. В уравнении (10.6) один из знаменателей может равняться нулю (одна из координат направляющего вектора нуле-

→

вая). Например, если S = {0; m} , где m ≠ 0, то уравнение прямой

90