Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

валентна уравнению x1 + 3x2 = 7 и поэтому имеет множество решений: x1 = 7 − 3λ, x2 = λ , где λ – любое число.

4.2. Матричная запись системы линейных уравнений

Пусть дана система

Систему линейных алгебраических уравнений (4.1) можно записать в матричном виде:

31

Формула (4.2) называется матричной записью системы (4.1).

4.3.Исследование системы s линейных уравнений

сn неизвестными

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвест-

ными (4.1).

Пусть А – основная матрица системы (4.1). Матрицу А, дополненную столбцом свободных членов, будем называть расширенной матрицей системы и обозначать A , т.е.

Теорема Кронекера–Капелли является необходимым и дос-

таточным условием совместности системы (4.1). Сформулируем эту теорему.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда rang A = rang A .

Из теоремы Кронекера–Капелли вытекают важные утверждения, которые позволяют выяснить, сколько решений имеет рассматриваемая система, но не позволяют найти эти решения.

Утверждение4.1. Еслисистема(4.1) совместна ( rang A = rang A ) и rang A = n , то система (4.1) является определенной.

32

Утверждение4.2. Еслисистема(4.1) совместна( rang A = rang A ) и rang A < n , тосистема(4.1) являетсянеопределенной.

Утверждение 4.3. Если rang A ≠ rang A , то система (4.1) не-

совместна.

Пример 4.1. Исследовать систему на совместность.

5x1 − x2 + 2x3 + x4 = 7,2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = 1,x1 − 3x2 − 6x3 + 5x4 = 0.

33

то rang A = 3 .

Таким образом, rang A ≠ rang A , следовательно, система несовместна.

Пример 4.2. Исследовать систему на совместность.

7x1 + 3x2 = 2,

x1 − 2x2 = −3,

4x1 + 9x2 = 11.

Решение. Определим ранги основной и расширенной матриц системы.

rang A = n является определенной.

34

5.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1.Матричный способ решения системы линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений, определительосновной матрицы которойотличенотнуля.

Нахождение решения системы (5.1) по формуле (5.3) и назы-

вается матричным способом решения системы.

Пример 5.1. Решить матричным способом систему

35

Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы

2

Следовательно, решение системы X = 1 .

0

5.2. Правило Крамера

Пусть дана квадратная система линейных уравнений

a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1,a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,

..............................

an1x1 + an2 x2 + + ann xn = bn .

36

система (5.1) не имеет решений, либо система (5.1) имеет множество решений.

Замечание. Квадратная система 2-го порядка в случае 3), когда = 1 = 2 = 0 , является совместной ( rang A = rang A ), поэто-

му всегда имеет множество решений.

Пример 5.2. Решить методом определителей систему

2x1 + x2 − x3 = 5,

x1 − 2x2 + 3x3 = −3,

7x1 + x2 − x3 = 10.

37

Решение. Вычислим определители , 1, 2 , 3 :

Поскольку ≠ 0 , находим единственное решение системы по формулам Крамера: x1 = 55 = 1; x2 = 255 = 5 ; x3 = 105 = 2 .

5.3. Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным, так как применим для решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода состоит в приведении системы к равносильной системе ступенчатого вида, которая решается достаточно просто.

Две системы называются равносильными, если они обе несовместны или обе совместны и имеют одно и то же множество решений.

Рассмотрим систему s уравнений с n неизвестными

38

Процесс решения системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:

Первый шаг прямого хода. Будем считать, что элемент а11 ≠ 0 (если а11 = 0 , то первым запишем в системе уравнение, в котором коэффициент при неизвестном х1 отличен от нуля). Выполняя элементарные преобразования со строками расширенной матрицы (5.5), неизвестное х1 исключим из всех уравнений, кроме первого. Для это-

го умножим элементы первой строки матрицы на коэффициент − а21

а11

и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем ум-

с соответствующими элементами третьей строки матрицы. Продолжая этот процесс, получим матрицу

39

вестное х2 из всех уравнений системы (5.6), кроме первого и второго.

Следующие шаги прямого хода осуществляются аналогично. Если в ходе элементарных преобразований матрицы получилась строка, в которой все элементы равны нулю, то ее отбрасывают (так

как соответствующее этойстрокеуравнение являетсятождеством). Если в результате преобразований матрицы получилась стро-

ка, соответствующая уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то делают вывод, что система (5.4) несовместна.

Не более, чем через s шагов прямого хода исходная расширенная матрица (5.5) преобразуется в эквивалентную матрицу так называемого ступенчатого вида:

и является определенной. Единственное решение системы (5.8) находим обратным ходом метода Гаусса: из последнего уравнения

40