Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

ρ2 − аρcos φ = 0 ;

ρ= аcos φ.

Следовательно, уравнение ρ = аcos φ определяет окружность

Пример 13.2. Построить линию ρ = cos φ+ 1.

Решение. Для построения данной линии составим таблицу

131

В полярной системе координат строим точки с координатами (ρ;φ). Соединив последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (рис. 53).

x

Рис. 53

Замечание. Построенная линия является частным случаем линии ρ = a cos φ+ l, которая называется улиткой Паскаля. Форма по-

следней линии зависит от соотношения между числами a и l. Если a = l , то имеем уже известную кардиоиду,

если a > l , то – улитку Паскаля с самопересечением,

если a < l , то – улитку Паскаля без самопересечения (рис. 54).

132

Пример 13.3. Построить линии: а) ρ = 5sin 2φ; б) ρ = 2sin 5φ. Решение. а) Линию ρ = 5sin 2φ можно построить по точкам,

но целесообразнее воспользоваться вспомогательной функцией y = 5sin 2x. График этой функции изображен на рис. 55.

5

0

и т.д. Изображая эту зависимость между ρ и φ на полярной сис-

теме координат, получим замкнутую линию, состоящую из четырех лепестков. Эта линия называется четырехлепестковой розой

(рис. 56).

б) Аналогично построим линию ρ = 2sin 5φ, воспользовавшись вспомогательной функцией y = 2sin 5x. Линия ρ = 2sin 5φ

называется пятилепестковая роза (рис. 57).

133

РАЗДЕЛ 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВПРОСТРАНСТВЕ

14.ПЛОСКОСТЬ

14.1.Уравнение поверхности в пространстве

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Если поверхность определена чисто геометрически, исследование поверхности начинают с вывода ее уравнения.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве по-

зволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z – их координатами.

Свойство, общее для всех точек поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением поверхности в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz называют такое уравнение

которому удовлетворяют координаты точек, лежащих на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на

этой поверхности.

Заметим, что уравнение (14.1) может определять не поверхность, а точку, или вовсе не иметь геометрического образа. Напри-

мер, уравнение ( x − 1)2 + y2 + z2 − 1 = 0 определяет сферу с центром в точке O '(1;0;0) радиуса R = 1; уравнению ( x − 1)2 + y2 + z2 = 0 удовлетворяет только одна точка (1;0;0) ; а уравнение

( x − 1)2 + y2 + z2 + 1 = 0 вообще не имеет геометрического образа. Если F(x, y, z) – многочлен n-й степени, то уравнение (14.1)

называется алгебраическим уравнением степени n с тремя неизвестными.

135

Утверждение 14.1. Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

14.2. Плоскость

Простейшей поверхностью является плоскость.

Теорема 14.1. Каждая плоскость α в пространстве Oxyz оп-

ределяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными:

Доказательство.

Для доказательства достаточно показать, что плоскость α определяется алгебраическим уравнением первой степени относительно специально выбранной декартовой прямоугольной системы координат.

Систему координат выберем следующим образом: оси Ox и Oy расположим в плоскости α , а ось Oz направим перпендикулярно плоскости α . Тогда уравнением плоскости α относительно выбранной системы координат будет алгебраическое уравнение первой степени z = 0 , так как этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на плоскости, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости.

Следовательно, в силу утверждения 14.1 относительно любой другой декартовой прямоугольной системы координат плоскость α будет определяться алгебраическим уравнением первой степени. Теорема доказана.

Теорема 14. 2. Всякое уравнение первой степени (14.2), где хотя бы одно из чисел А, B, C отлично от нуля, определяет плоскость

в пространстве.

Доказательство.

Найдем точку M0 (x0 , y0 , z0 ), координаты которой удовлетворяют уравнению (14.2):

136

(14.4), определяет плоскость α. Теорема доказана.

Уравнение (14.4) называется уравнением плоскости, проходящейчерезточку M0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярновектору n = {A, B,C}.

14.3. Различные виды уравнения плоскости

Уравнение (14.2), в котором хотя бы один из коэффициентов

A, B,C отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Вектор n = {A, B,C}, перпендикулярный плоскости, называет-

ся нормальным вектором плоскости или нормалью.

137

Общее уравнение плоскости (14.2) называется полным, если все коэффициенты A, B,C, D не равны нулю.

Если хотя бы один из коэффициентов A, B,C, D равен нулю, то уравнение (14.2) называется неполным.

Неполные уравнения плоскости

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений плоскости:

1) Если D = 0 , то уравнение принимает вид Ax + By + Cz = 0 ,

в этом случае плоскость проходит через начало координат, так как точка O(0;0;0) удовлетворяет этому уравнению.

2) Если A = 0 , то уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох.

3)Если B = 0 , то уравнение Ax + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оу.

4)Если C = 0 , то уравнение Ax + By + D = 0 определяет плос-

кость, параллельную оси Оz.

5) Если A = D = 0 , то уравнение By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Ox.

6)Если B = D = 0 , то уравнение Ax + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Oy.

7)Если C = D = 0 , то уравнение Ax + By = 0 определяет плос-

кость, проходящую через ось Oz.

8)Если A = B = 0 , то плоскость Cz + D = 0 проходит параллельно плоскости хОу.

9)Если A = C = 0 , то плоскость By + D = 0 проходит парал-

лельно плоскости хОz.

10)Если B = C = 0 , то плоскость Ax + D = 0 проходит параллельно плоскости yОz.

11)Если A = B = D = 0 , то уравнение Cz = 0 (или z = 0 ) оп-

ределяет плоскость хОу.

12) Если A = C = D = 0 , то уравнение By = 0 (или y = 0 ) оп-

ределяет плоскость хОz.

13) Если B = C = D = 0 , то уравнение Ax = 0 (или x = 0 ) определяет плоскость yОz.

138

Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим полное уравнение плоскости (14.2). Покажем, что

a, b, c – отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей Оx, Oy, Oz соответственно, т.е. точки (a; 0; 0) , (0; b; 0) , (0; 0; c) –

точки пересечения плоскости с осями координат. Уравнение (14.5) используется для построения плоскости.

139

Для построения плоскости отметим точки (6; 0; 0) , (0; 3; 0) , (0; 0; 2) и проведем через них плоскость (рис. 59).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

венную плоскость.

Возьмем на плоскости произвольную точку M ( x, y, z) и составим векторы:

M1M = {x − x1; y − y1; z − z1} ,

следовательно, они компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:

M1M M1M 2 M1M 3 = 0 .

Запишем последнее равенство в координатном виде:

Уравнение (14.6) называется уравнением плоскости, проходящей через три точки.

Заметим, что в определителе равенства (14.6) вторая и третья строки будут числовыми, поэтому, раскрыв определитель по первой строке, получим алгебраическое уравнение первой степени вида (14.2).

140