Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

6.5. Координаты вектора

→ → →

Три линейно независимых вектора а, b , c образуют базис

→

впространстве, если любой вектор d можно представить в виде

→→ →

,b , c , т.е. существу-

ют такие числа λ1, λ2 и λ3 , что

						→	=λ1	→а+λ2	→b + λ3	→c .	(6.5)
						d	=λ1	→а+λ2	→b + λ3	→c .	(6.5)
				Выражение (6.5)						→	по базису
				Выражение (6.5)		называется разложением вектора d					по базису
→		→		→						→
а	,	b	,	c	, ачисла λ1, λ2, λ3 – координатами вектора d вэтомбазисе.

Справедливы следующие фундаментальные утверждения: Утверждение 6.3. Любые три некомпланарных вектора обра-

зуют базис в пространстве.

→	→		→		→
Утверждении 6.4. Разложение вектора d	по базису а	,	b	,	c
единственно.

Доказательство (методом «от противного»). Предположим,

что наряду с разложением (6.5) справедливо другое разложение

→	→		→		→
вектора d по базису а		,	b		, c	:
			→		=μ1	→а+ μ2	→b + μ3	→c .	(6.6)
			d		=μ1	→а+ μ2	→b + μ3	→c .	(6.6)
Вычтем из равенства (6.5) равенство (6.6), получим соотно-
шение
			→				→		→
(λ1 – μ1)			а	+ (λ2 – μ2)			b + (λ3 – μ3)		c = 0.
→	→	→		образуют базис в пространстве, следова-
Векторы а,	b ,	c		образуют базис в пространстве, следова-

тельно, они линейно независимы. Тогда по определению линейно независимых векторов имеем: λ1 – μ1= 0; λ2 – μ2 = 0; λ3 – μ3 = 0 или λ1 = μ1; λ2 = μ2; λ3 = μ3. Таким образом, единственность разложения

→	→		→		→
вектора d	по базису а	,	b	,	c доказана.

Будем рассматривать в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Ее образуют три взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy, Oz,

имеющие общее начало O и одинаковую масштабную единицу.

Базис в декартовой прямоуголь-

		ной системе принято обозначать								→	→
		ной системе принято обозначать								i	, j ,
		→		→			→		→
		k	, при этом i		↑↑ Ox , \| i			\|=1;	j ↑↑ Oy ,
		→		→		→
		\| j	\|=1;	k ↑↑ Oz , \| k \|=1 (рис. 11).
В силу	определения	базиса		любой	вектор		→	может		быть
В силу	определения	базиса		любой	вектор		d	может		быть
представлен единственным образом в виде:					→	→		→	→
представлен единственным образом в виде:					d	= x i	+ y j + z k , где x,
y, z – числа,	называемые	прямоугольными координатами векто-

→

ра d . Обозначаются прямоугольные координаты вектора следую-

→

щим образом: d ={ x; y; z }.

Геометрический смысл прямоугольных координат вектора раскрывает следующее утверждение.

Утверждение 6.5. Прямоугольные координаты x, y, z векто-

→

ра d есть проекции этого вектора на координатные оси Ox, Oy, Oz

соответственно.

→

Из этого утверждения следует, что вектор d является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

→	→	→
x i	, y j	, z k . Поскольку квадрат диагонали прямоугольного парал-
						→
лелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то длина вектора d
определяется формулой
		→	\|= x2	+ y2	+ z2 .
		\| d	\|= x2	+ y2	+ z2 .	(6.7)

Углы, которые образует вектор

→

d с осями координат Ox, Oy, Oz ,

обозначим буквами α, β, γ (рис. 12). Тогда в силу утверждения 6.5:

→	→
x = прOx d	=\| d	\| cosα	,
→	→
y = прOy d	=\| d	\| cosβ,	(6.8)
→	→
z = прOz d	=\| d	\| cos γ .

Числа cos α, cos β и cos γ называют направляющими косину-

→

сами вектора d .

Утверждение 6.6. Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Доказательство. Из формул (6.8) имеем:

α =

cos α =

cos

→ 2

→

| d |

Тогда

cosβ =

cos2 β =

(6.9)

→

| d |

cos γ =

→

| d |

cos

γ =

→ 2 .

Складывая равенства (6.9), получим:

cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ = 12 (x2 + y2 + z2 ) = 1. d

Последнее равенство имеет место в силу формулы (6.7). Таким образом, утверждение доказано.

Значение базисных векторов пространства состоит в том, что они позволяют линейные операции над векторами сводить к линейным операциям над координатами этих векторов.

Например, если

		→	= {x1; y1; z1}	→	→	→	→
		а	= {x1; y1; z1}	а	= x1 i + y1 j + z1 k			,
	→		→		→	→	→
	b	= {x2; y2; z2} b		= x2 i + y2 j + z2 k , то
→		→	→		→		→
а	+ b		= (x1+ x2) i + (y1+ y2) j + (z1+ z2) k

→ →

а+ b = {x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2},

т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются;

→		→			→		→			→
а	–	b	= (x1	– x2)	i	+ (y1 – y2)	j	+ (z1	– z2)	k

→ →

а– b = {x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2},

т.е. при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются;

→

при умножении вектора а на число λ каждая координата вектора умножается на λ:

→	→		→		→		→
λa	= λx1 i	+ λy1 j		+	λz1 k		λ а= { λ x1; λ y1; λ z1}.
Если векторы			→		→
Если векторы			а и		b заданы в координатной форме, то век-
торное равенство		→	→	эквивалентно равенству соответствующих
торное равенство		а	= b	эквивалентно равенству соответствующих
координат этих векторов, т.е.
						x1 = x2 ,
				→	→
				а	= b	y1 = y2 ,
							z = z	2	.
							1	2

→→

Если векторы а и b коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны и наоборот, так как

λ =

= λx1

→ →

b = λa

= λy1

λ =

= λz1

λ =

Замечание. В знаменателях последних равенств могут стоять

нули,

поэтому любую пропорцию

будем понимать в смысле

выполнения равенства

ad = bc . Тогда равенство нулю какой-либо

→

означает, что соответствующая координата

координаты вектора а

→

вектора b тоже равна нулю.

Например, векторы { − 2; 0; 3 }

и { 4; 0; − 6 } коллинеарны

( λ = −2 ); а векторы { − 2; 0; 5 } и { 5; 0; − 2 }

не коллинеарны.

Введем для вектора понятие орта (единичного вектора) (рис. 13).

→

Ортом вектора d

называется вектор d0 , удовлетворяющий услови-

→

ям: d0

|| d

, d0

↑↑ d

, | d0

|=1.

→

Если d ={x; y; z},

→

то d0

;

→

| d | | d

| | d

Рис. 13

→

Из данного определения следует, что векторы i

j ,

k явля-

ются ортами декартовой прямоугольной системы координат. При

→		→		→
этом i	= {1; 0; 0},	j	= {0; 1; 0},	k	={0; 0; 1}.

Если M – любая точка пространства, то координаты вектора OM , точка приложения которого совпадает с началом коор-

динат O , равны координатам конечной его точки

M и,

наобо-

рот,

M (x ; y ; z)

= {x ; y ; z}.

Вектор

называется

радиус-вектором точки M .

z M1

Если

известны

координаты

точек М1(x1;

y1;

z1) и М2(x2;

y2;

z2),

→

то координаты вектора M1M2 опре-

деляются

следующим

образом:

→

{x2 − x1; y2 − y1; z2

− z1}. Это

М1М2 =

следует

из

соотношения

M1M 2

= OM 2 − OM 1 , где OM 1

, OM 2

–

радиус-векторы

точек

Рис. 14

(рис. 14).

Пример 6.3. Даны три последовательные вершины паралле-

лограмма: A(1;− 2;3), B(3;2;1), C(6;4;4) . Найти его четвертую вер-

шину D.

Решение. Обозначим координаты вершины D через x, y, z,

т.е. D (x, y, z). Поскольку ABCD – параллелограмм,

то

→

BC = AD .

→→

Находим координаты векторов BC и AD :

→	− 3;4 − 2;4 −	→	= {3;2;3} ,
BC = {6	− 3;4 − 2;4 −	1}, т.е. BC	= {3;2;3} ,		AD = (x − 1; y + 2; z − 3).
Из			→	→	следует,	что	x − 1 = 3,
Из	равенства векторов BC и AD				следует,	что	x − 1 = 3,
y + 2 = 2,	z − 3 = 3 . Отсюдаполучим: x = 4,			y = 0, z = 6 . Итак, D (4; 0; 6).
Пример 6.4.		Разложить	вектор		→	по	векторам
Пример 6.4.		Разложить	вектор		c = {9;4}	по	векторам
→	→
a = {1;2}	и b = {2;− 3} .
					→	→	→	→
Решение. Требуется представить вектор c в виде c = λ1 a+								λ2 b ,
где λ1 и λ2 – некоторые числа. Найдем λ1				и λ2 из определения равен-
ствавекторов. Имеем:

→	→	→ →	→	→ →	→	→
c = 9 i + 4		j , a	= i	+ 2 j , b	= 2 i − 3 j .
Тогда
→	→	→	→		→	→
9 i	+ 4 j =	λ1 ( i + 2 j ) + λ2 ( 2 i − 3 j ) ,
	→	→		→			→
т.е. 9 i + 4		j = (	λ1 + 2λ2 ) i		+ ( 2λ1 − 3λ2 ) j .
Отсюда следует
9 = λ1 + 2λ2 ,			Решая систему, получим λ1 = 5, λ2
4 = 2λ1 − 3λ2 .			Решая систему, получим λ1 = 5, λ2
			→	→	→
Следовательно, c				= 5 a+ 2 b .
Пример 6.5. Дан вектор силы						→	{4;4;	− 4 2}.
Пример 6.5. Дан вектор силы						F =	{4;4;	− 4 2}.

= 2 .

Найти вели-

→

чину и направление силы F .

→

Решение. Величину силы F находим, используя формулу (6.7):

→

42 + 42 + (−4 2 )

→

= 8 . Направление вектора F определяется

cosα =

= 1 ;

cosβ = 4

= 1 ;

направляющими

косинусами:

cos γ =

−4 2

−

2 .

→

Итак, сила F величины 8 действует в направлении вектора,

образующего

координатными

осями

углы

α = 60°, β = 60°,

γ = 135°.

7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

7.1. Определение скалярного произведения

→ →

Скалярным произведением векторов а и b называется чис-

ло (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними.

→ →

→

Скалярноепроизведениеобозначаетсясимволом a

b или a

b .

Согласно определению

→ →

→

a b

cosφ.

(7.1)

→

формулу

Учитывая, что | a

| cosφ = пр→ a и

| b | cosφ = пр→ b

(7.1) можно написать в виде:

→ →

→

→ →

→

а b

= | b

| пр→ a или а b

= | a

| пр→ b .

(7.2)

7.2. Алгебраические свойства скалярногопроизведения

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

→ → → →

1)а b = b а (перестановочность сомножителей);

	→	→ →		→ →	→ →	(распределительность		относительно
2)	(a	+ b) c		= a c	+ b c	(распределительность		относительно
суммы векторов);
	→	→		→ →
3)	а (λb ) = λ ( а b ), где λ – число (сочетательность относи-
тельно числового множителя);						→ →	→
		→				→ →	→	→
4)	если а		–	ненулевой вектор, то a a			= a 2 >0;	если а – нуле-
		→	2 = 0.
вой вектор, то а			2 = 0.

Свойство 1 вытекает непосредственно из формулы (7.1).

Для доказательства свойства 2 воспользуемся формулой (7.2) и свойством проекции суммы векторов на ось:

→	→ →	→		→	→	→		→	→
( а	+ b ) с	=\| с	\| пр→ (a		+ b) =\| с		\| (пр→ a		+ пр→ b) =
				с				с	с
	→		→	→	→		→ →	→ →
	=\| с	\| пр→ a		+\| с \|	пр→ b	=	с а	+ с b .

сс

Свойство 3 докажите самостоятельно, используя формулу

→

(7.2) и свойство проекции вектора λb на ось.

Доказательство свойства 4 вытекает из очевидного утвержде-

				→	2 вектора	→
ния: скалярный квадрат а					2 вектора	а равен квадрату длины этого
вектора, т.е.	→	2	→	\|2.
вектора, т.е.	а	2	= \| а	\|2.

7.3. Геометрические свойства скалярного произведения

Сформулируем геометрические свойства скалярного произведения в виде двух теорем, доказательство которых предлагается провести самостоятельно.

Теорема 7.1. Необходимым и достаточным условием орто-

гональности векторов		→	→	является равенство нулю их скаляр-
гональности векторов		а	и b	является равенство нулю их скаляр-
ного произведения:	→	→		→	→
ного произведения:	а b			а	b	= 0.
						→ →		→	попарно ортогональ-
Замечание. Базисные векторы i , j							,	k	попарно ортогональ-
→ →	→ →			→ →		= 0 .
ны, значит, i j = 0 ,	i	k = 0 ,		j	k	= 0 .
								→	→
Теорема 7.2. Два ненулевых вектора а									и b составляют ост-

рый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно):

φ – острый угол	→	→
φ – острый угол	а	b	> 0;
φ – тупой угол	→	→
φ – тупой угол	а	b	< 0.

Замечание. Из алгебраических свойств скалярного произведения следует, что векторные многочлены скалярно перемножаются по тем же законам, что и алгебраические многочлены.

Например,

→ →		→ →		→ → → → → → → →
( а	+2 b ) ( с		– d ) =	а с	+2 b с – а d	– 2 b d	;
		→	→ 2	→ 2	→ → → 2
	a− 3b = a − 6 a b+ 9 b .

7.4. Вычисление скалярного произведения в координатной форме

→→

Теорема 7.3. Если векторы а и b заданы своими координатами

→

= {x1; y1; z1}, b = {x2; y2; z2},

то а

b = x1x2 + y1y2 + z1z2.

→ →

Доказательство. Запишем разложение векторов а и b по ба-

→

зису i ,

, k

→

= x1 i

+ y1 j + z1 k ;

= x2 i

+ y2 j

+ z2 k .

Согласно свойствам скалярного произведения получим:

→

b = (x1 i

+ y1 j

+ z1 k ) (x2 i

+ y2 j

+ z2 k ) =

→ →

= x1x2 ( i i ) + x1y2 ( i j) + x1z2 ( i k ) + y1x2 ( j i ) +

→ →

+y1y2 ( j j) + y1z2 ( j k ) + z1x2 (k i ) + +z1y2 (k j) +

→→

+z1z2 (k k ) = x1x2 + 0 + 0 + 0 + y1y2 + 0 + 0 + 0 + z1z2,

т.е.	→	→
т.е.	а b		= x1x2 + y1y2 + z1z2.	(7.3)
	Следствие 7.1. Необходимым и достаточным условием ор-
тогональности векторов		→	→
тогональности векторов		а	= {x1; y1; z1} и b	= {x2; y2; z2} является

равенство: x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0, т.е.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии..pdf
#
15.11.2022884.42 Кб32Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб15Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб46Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб49Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб72Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf