Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

Замечание. Если прямая L задана нормальным уравнением x cos α+ y sin α− p = 0 , то расстояние от точки M * до прямой вычисляется по формуле

d = x* cos α+ y* sin α− p .

Пример 10.4. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

L1 : x + y − 5 = 0 , L2 : 7x − y − 19 = 0 .

Решение. Напомним, что биссектрисы АВ и СD углов, образованных двумя прямыми L1 и L2 , являются множеством точек, равноудаленных от этих прямых (рис. 28).

Рис. 28

Возьмем любую точку M * (x* ; y* ) , лежащую на одной из бис-

101

Приравняем d1 и d2 :

= 7x − y − 19 ,

т.е. 5x + 5y − 25 = ± (7x − y − 19).

Таким образом, уравнение одной биссектрисы записывается в виде

5x + 5y − 25 = 7x − y − 19 или x − 3y + 3 = 0 ;

уравнение другой биссектрисы –

5x + 5 y − 25 = −7x + y + 19 или 3x + y − 11 = 0 .

11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, которая в декартовых координатах определяется алгебраическим уравнением второй степени:

Коэффициенты уравнения (11.1) – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся следующие линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

102

11.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим F1 и F2 – фокусы эллипса, расстояние между ними F1F2 = 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. a > c .

Для вывода канонического (простейшего) уравнения эллипса декартову прямоугольную систему координат выберем следующим

Приведем уравнение (11.3) к более простому виду. Для этого возводим его дважды в квадрат.

103

( x + c)2 + y2 = 2a − ( x − c)2 + y2 ,

( x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a ( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 , 4a ( x − c)2 + y2 = 4a2 − 4cx ,

a ( x − c)2 + y2 = a2 − cx ,

a2 (( x − c)2 + y2 ) = a4 − 2a2cx + c2 x2 , a2 x2 + a2c2 + a2 y2 = a4 + c2 x2 , a2 x2 + a2 y2 − c2 x2 = a4 − a2c2 ,

(a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ) .

Поскольку a > c , то a2 − c2 > 0 . Поэтомуобозначим a2 − c2 = b2 , изчегоочевидно, что a > b . Тогдапоследнееуравнениеприметвид

Как известно, при возведении уравнения в квадрат можно приобрести посторонние точки. В нашем случае уравнение (11.4) является равносильным уравнению (11.3), и оно называется канони-

ческим уравнением эллипса.

Исследование канонического уравнения эллипса

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса x2 + y2 = 1 . a2 b2

1) Поскольку в уравнении (11.4) переменные x и y содержатся в квадратах, то эллипс симметричен относительно осей Oх и

104

Oу, т.е. если точка ( x , y ) удовлетворяет уравнению (11.4), то ему

чит, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограни-

x = ±a и y = ±b , и вписать в него овальную замкнутую линию.

5) Различные формы эллипса. Форма эллипса зависит от соотношения между a и b . Если в уравнении (11.4) a > b , то фокусы эл-

липса F1 и F2 расположенынаоси Oх( c2 = a2 − b2 ). Если же a < b , то фокусы эллипса F1 и F2 расположены на оси Oу ( c2 = b2 − a2 ). Если

называется уравнением вырожденного эллипса. Данный эллипс выро-

105

нием мнимогоэллипса, поскольку не имеетгеометрического образа.

ловину эллипса, расположенную в левой полуплоскости. Уравнения

ложенных в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.

106

нение является следствием исходного и представляет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 1 , b = 3 . Поскольку

x ≤ 0 , то оно определяет левую половину указанного эллипса (рис. 32).

11.2. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим F1 и F2 – фокусы гиперболы, расстояние между ними F1 F2 = 2с, а абсолютную величину

разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов – через 2а. По определению гиперболы

2a < 2c , т.е. a < c .

Для вывода канонического уравнения гиперболы декартову прямоугольную систему координат выберем так же, как и при выводе уравнения эллипса. Тогда фокусы имеют координаты F1 (−c;0) , F2 (c;0) (рис. 33).

Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы. Тогда по определению гиперболы

107

В координатной форме уравнение (11.5) запишется следующим образом:

эквивалентным уравнению (11.6). Уравнение (11.7) и называют ка-

ноническим уравнением гиперболы.

Исследование канонического уравнения гиперболы

Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы x2 − y2 = 1. a2 b2

1)Гипербола симметрична относительно координатных осей Ох

иОу, так как уравнение (11.7) содержит x и y в квадратах. Начало

координатО(0; 0) является центром симметриигиперболы(рис. 34).

108

Диагонали основного прямоугольника y = ± b x являются асим- a

птотами гиперболы, т.е. при неограниченном удалении точки гиперболы от начала координат расстояние от этой точки до асимптоты стремится к нулю.

5)Для построения гиперболы (11.7) необходимо построить основной прямоугольник гиперболы, затем провести прямые через противоположные вершины этого прямоугольника, т.е. асимптоты гиперболы, отметить вершины гиперболы на действительной оси

ичерез вершины провести две неограниченные ветви, стремящиеся на бесконечности к асимптотам.

6)Различные формы гиперболы. В каноническом уравнении гиперболы (11.7) действительная и мнимая полуоси могут быть связаны любым из соотношений: a < b , a = b , a > b . В случае a = b

гипербола имеет уравнение x2 − y2 = 1 и называется равносторон- a2 a2

ней. Для нее основной прямоугольник является квадратом, и, следовательно, асимптоты взаимно перпендикулярны.

7) Различные виды уравнений гиперболы.

определяет гиперболу, для которой действительная ось расположена на оси Оу, а мнимая – на оси Ох, т.е. она пересекает ось Оу.

Гипербола (11.8) имеет те же асимптоты y = ± b x , что и гипер-

110