1. УЧЕБНЫЙ БЛОК «МАГНИТНОЕ ПОЛЕ»

Введение

Все электрические и магнитные явления взаимосвязаны и взаимозависимы, так как являются различными формами проявления единого электромагнитного поля. Магнитное поле может создаваться как током, так и намагниченными телами. Движение электрического заряда сопровождается перемещением присущего заряду электрического силового поля. Изменение во времени электрического поля проявляется в форме возникающего вихревого магнитного поля.

Магнитное поле проявляется через неконтактное силовое действие тела, являющегося источником магнитного поля, на движущиеся электрические заряды и тела, обладающие магнитным моментом.

При изученииданногоблокастудентыдолжны

иметьпредставление:

–о принципе суперпозиции полей;

–об основных законах, теоремах и уравнениях электростатики;

–о вращающем механическом моменте

обладатьнавыками:

–определения характеристик электростатического поля;

–дифференциального и интегрального исчисления;

–математических действий с векторными величинами

Учебная программа блока

98

Цели обучения

1.1. Краткое содержание теоретического материала

Экспериментально было обнаружено, что существуют тела, которые, не будучи заряженными, взаимодействуют на расстоянии с большей силой, чем сила тяготения. Это означало, что такие тела создают в пространстве поле, отличающееся по своей природе от гравитационного и электрического. Это поле было названо магнитным, а тела, его создающие, магнитными.

В 19 веке было установлено, что проводники с током взаимодействуют подобно магнитным телам. Основываясь на этом и других фактах, Ампер сформулировал гипотезу, что источником магнитного поля является электрический ток, а магнетизм тел обусловлен токами в молекулах тел. Эта гипотеза получила подтверждение только почти через 100 лет, однако она была использована для изучения магнитных полей. Если проводник с током создает магнитное поле, то его силовые характеристики могут быть определены другим проводником с током, который должен быть достаточно маленьким (пробным проводником). Таким пробным элементом для изучения магнитного поля в конечном варианте оказался маленький замкнутый контур с током, который своим магнитным полем не искажает исследуемое поле. Пробный контур, помещенный в магнитное поле, испытывает действие вращающего

99

момента M . Эксперименты показали, что для одной и той же точки

магнитного поля максимальный вращающий момент M пропорционален произведению силы тока I в контуре на его площадь S. Величину IS назвали магнитным моментом контура рт. Было также установлено, что пробный контур вследствие вращающего момента ориентируется в пространстве определенным образом, зависящим от направлений токов. Поэтому моменту pm ISn контура приписали определенное направление:

вектор pm совпадает с направлением положительной нормали к плоскости контура, причем положительное направление совпадает с направлением перемещения буравчика (правого винта), вращаемого в направлении тока

(рис. 1.1). Было также установлено, что отношение Mmax для некоторой pm

точки поля, создаваемого проводником с постоянным током, не зависит от величины рт пробного контура, т.е. выполняется равенство

Величина B (коэффициент пропорциональности между и pm ) была названа магнитной индукцией.

Магнитная индукция (векторная величина) по физической сути является силовой характеристикой в данной точке магнитного поля. Единицей ее измерения всистеме СИявляется тесла (Тл).

Подобно тому, как электрические поля графически отображаются с помощью линий напряженностей (силовых линий), магнитные поля также отображаются с помощью линий магнитной индукции (силовых линий) –

линии, касательные к которым в данной точке совпадают по направлению с вектором B в данной точке поля. Направление вектора B (силовых линий) магнитного поля, создаваемого проводником с током, определяется по правилу правого винта (буравчика): если буравчик ввинчивать по направлению тока (элемента тока), создающего магнитное поле, то направление вращения рукоятки буравчика будет совпадать с направлением линий магнитной индукции.

100

Из экспериментов следует, что линии магнитной индукции прямого проводника с током представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной току, и центр этих окружностей находится на оси проводника.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводник с током. Это отличает магнитное поле от электростатического поля точечного заряда. Замкнутость линий магнитной индукции говорит о том, что у источников магнитного поля всегда существует как бы два разноименных полюса, в отличие от зарядов, т.е. в природе не существует раздельных «магнитных зарядов», из которых бы эти линии только исходили или в которые только входили бы. Такие поля называют

вихревыми (соленоидными).

Циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру не равна нулю:

B dl 0 ,

тогда как для электрического поля, которое является потенциальным

индукции B .

При рассмотрении магнитных явлений используется, по аналогии с электрическим полем, понятие потока вектора магнитной индукции

(магнитного потока). Пусть в некоторой области пространства существует магнитное поле с индукцией B (рис. 1.2). Если в этом пространстве выделить некоторую поверхность S и ее проекцию S на плоскость,

перпендикулярную линиям индукции B , то, по определению, магнитным

101

потоком через поверхность S является величина Ф, которая в случае однородного поля равна

В случае неоднородного магнитного поля или не плоской поверхности S (произвольной формы) выражение (2) будет справедливым только для бесконечно малой площадки dS, в пределах которой поле можно считать однородным (Bn = const) и поверхность плоской. Поэтому в общем случае выражение (2) преобразуется к виду

dФ BndS ,

где Bn – проекция вектора индукции магнитного поля на нормаль n к

площади dS , причем в общем случае Bn является функцией S.

Если поверхность в области магнитного поля взять замкнутой, то,

так как сколько силовых линий B будет входить внутрь объема, ограниченного замкнутой поверхностью, столько и будет выходить из него. В этом суть

теоремы Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю. Физическая сущность теоремы заключается в следующем: хотя намагниченные тела имеют (условно) положительный и отрицательный («северный» и «южный») полюса, каждый из полюсов отдельно существовать не может и, как бы не дробилось намагниченное тело, «магнитные полюса» всегда существуют парами.

Ампером было установлено, что на проводник с током в однородном магнитном поле, индукция которого B , действует сила (закон Ампера)

102

где I – сила тока, l – длина проводника, – угол между направлением вектора плотности тока и вектором индукции магнитного поля.

Эта формула справедлива для прямолинейного проводника и однородного поля.

Если проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно, то выражение (5) принимает вид

модуль силы, действующей на любой участок dl проводника, можно определить силу, действующую на весь проводник длиной l , если проводник жесткий, т.е. не изменяет своей конфигурации. Для этого определяется векторная сумма сил dF , действующих на все элементарные участки проводника:

l

F dF .

0

При этом часто удобно использовать разложение dF на компоненты по координатам x, y, z. Если проводник гибкий, т.е. может изменить свою конфигурацию, то в магнитном поле он проибретает форму, при которой результирующая элементарных сил равна нулю.

Закон Ампера в учении о магнетизме играет такую же роль, как и закон Кулона в электростатике.

Пусть рамка с током, имеющая стороны a и l, помещена в пространство с магнитным полем (рис. 1.4). На каждую сторону контура

103

В векторной форме соотношение (8) соответствует (1)

M pm B .

Опыт показал, что если магнитное поле создается в различных средах, то магнитная индукция зависит от характеристик вещества, в котором возбуждается магнитное поле.

Величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в данной среде отличается от величины магнитной индукции в вакууме

(воздухе), называется относительной магнитной проницаемостью среды (или короче магнитной проницаемостью):

B .

B0

Относительная магнитная проницаемость – безразмерная величина.

104

напряженность поля, создаваемого всем проводником, применяется принцип суперпозиции полей, т.е. выполняется сложение векторов напряженности

Hi от каждого элемента тока

n

где n – общее число участков, на которые разделен проводник с током. Или в интегральной форме, если число n

105

Чтобы найти Н, надо просуммировать все dH, т.е. проинтегрировать функцию (13) по углу . Пределы интегрирования определяем из следующих соображений. Проводник конечной длины l из точки C виден под углами 1 (снизу) и 2 (сверху), причем оба угла отсчитываются в одном направлении (на рис. 1.6 против часовой стрелки). Таким образом

106

Так как все элементы тока создают поле, напряженность которого dH направлена одинаково, то, переходя от векторного сложения к скалярному, получаем напряженность поля вцентре кругового проводника:

Напряженность магнитного поля движущегося заряда также можно определить, используя закон Био – Савара – Лапласа. Для этого ток в выражении (12) необходимо выразить через заряд. Силу тока можно определить через плотность тока j и площадь S поперечного сечения проводника (I = jS), а плотность тока j – через концентрацию n движущихся носителей и скорость их направленного движения (j = nq , где q – заряд частицы). Таким образом

Idl jSdl nq Sdl nqdV Nq ,

где dV – объем элемента проводника dl, N – полное число свободных носителей заряда в отрезке dl проводника.

Согласно (12)

dH Nq sin , 4 r2

107

а напряженность поля, создаваемого одной заряженной частицей в момент времени, соответствующий расстоянию r между зарядом и точкой С (см. рис. 1.6) вскалярнойформе

противоположное направление (относительно правила буравчика)

поскольку направление вектора элемента тока Idl совпадает с направлением движения положительного заряда и, соответственно, противоположно движению электронов.

Вихревой характер магнитного поля проявляется также при определении циркуляции вектора напряженности поля.

где Hl – проекция вектора напряженности H в некоторой точке контура на элемент dl; dl – вектор элемента длины выбранного контура циркуляции, направленный в направлении обхода контура.

Hl H cos ,

где – угол между векторами H и dl .

В электрическом поле (потенциальном) циркуляция вектора E вдоль замкнутого контура равна нулю (признак потенциального характера электрического поля):

E dl 0 .

L

Если в магнитном поле контур L выбрать вдоль силовой линии, то,

учитывая вихревой характер поля, можно утверждать, что Hldl 0 .

L

Например, силовые линии бесконечно длинного прямолинейного проводника представляют собой концентрические окружности радиуса r , охватывающие

108

Используя закон Ампера, рассмотрим взаимодействие параллельных проводников с током (рис. 1.8). Предположим, что в изотропной среде с магнитной проницаемостью на расстоянии d друг от друга расположены два проводника. Пусть по одному из них течет ток I1, по второму – I2 и направление токов совпадает. Выделим на проводнике 2 элемент dl2. На этот элемент будет действовать сила Ампера dF12 B1I2dl2 sin , причем модуль вектора магнитной индукции B1, созданный проводником с током

I1 , в месте расположения проводника с током I2 определяется выражением

B1 0 I1 .

2 d

Вектор B направлен перпендикулярно току I, поэтому sin 1. Учитывая это, находим

dF12 0I1 I2dl2 . 2 d

Применяя правило левой руки, определяем направление этой силы (см. рис. 1.8). Чтобы определить силу F12 , т.е. силу, действующую со стороны проводника 1 на проводник 2, нужно просуммировать все элементарные силы dF12 :

110

Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, которую «заметает» проводник при его движении.

Проводник К вначале закреплен на расстоянии r1 от проводника М (на рис. 1.10 показано сечение проводников). После освобождения проводника К, он перемещается до расстояния r2 . Индукция B поля прямого длинного проводника определяется по формуле

B 0 I2 , 2 r

т.е. убывает обратно пропорционально расстоянию r. На подвижный проводник К действует сила

F(r) 0 I1I2 l . 2 r

Поэтому элементарная работа переменной силы на пути dr равна

dA F r dr .

Работа сил поля при перемещении проводника К от r1 до r2

Силу действия магнитного поля на движущийся заряд можно найти исходя из закона Ампера. Пусть по проводнику длиной dl за промежуток времени dt проходит заряд dQ , образованный dN зарядами величиной q ,

сила которого I dQ qdN . dt dt

Согласно закону Ампера, на dN зарядов будет действовать сила

111

dF BIdl sin B qdN dl sin . dt

Сила, с которой поле действует на каждый заряд, равна

где dl – скорость движения заряда; – угол между вектором скорости dt

и вектором магнитной индукции B .

Сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на

Сила Лоренца перпендикулярна векторам и B . Ее направление определяется согласно правилу левой руки: если пальцы направить вдоль вектора скорости положительного заряда, а вектор B входит в ладонь, большой палец показывает направление силы (рис. 1.11 а). С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное (рис. 1.11 б).

R

R

FЛ

Из (23) можно сделать выводы:

–если скорость заряда равна нулю ( = 0), то FЛ = 0, т.е. магнитное поле не действует на неподвижную заряженную частицу;

–если = 0, sin = 0, то FЛ = 0, т.е. если частица движется так, что

вектор скорости частицы параллелен вектору магнитной индукции B , то магнитное поле на движение заряда не влияет.

112

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости отдельно движущейся частицы, то она не изменяет величину скорости, а изменяет лишь направление ее движения, т.е. по физической сути является центростремительной силой. Действие этой силы не приводит к изменению энергии заряженной частицы, т.е. сила Лоренца не

поскольку траектория такой частицы в магнитном

Если частица движется под углом к линиям B , то траекторией ее движения является винтовая линия (спираль) (рис. 1.12). Радиус спирали, согласно (24), определяется в этом случае компонентой скорости ,

перпендикулярной вектору B , т.е.

sin

113

Если заряд движется в области, где одновременно действуют электрическое и магнитное поля, то результирующая сила, действующая на частицу, равна

F q B qE ,

т.е. сила имеет две составляющие: обусловленные действием магнитного (первое слагаемое) и электрического (второе слагаемое) полей. Между этими составляющими имеется принципиальная разница. Электрическое поле изменяет величину скорости и кинетическую энергию частицы, а однородное магнитное поле изменяет только направление движения.

Совместное действие на заряженные частицы электрического и магнитного полей используется для определения удельного заряда q/m частицы в приборах, называемых масс-спектрометрами. Измерение q/m для ионов является важнейшим и наиболее точным методом определения атомных масс химических элементов и широко применяется в современной физике.

Еще одним важным примером проявления силы Лоренца является эффект, который обнаружил американский ученый Э. Холл – в проводнике, помещенном в магнитное поле, возникает разность потенциалов в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции B и плотности тока j , вследствие действия силы Лоренца на заряды, движущиеся в этом проводнике. Опыты показали, что разность потенциалов U определяется равенством

114

остается нескомпенсированный положительный заряд атомов кристаллической решетки, и между плоскостями S1 и S2 возникает разность потенциалов U . Электрическое поле напряженностью Е, возникающее в проводнике между плоскостями S1 и S2 , действует на электроны с силой Fe eE . Условие Fe FЛ обеспечивает постоянство разности потенциалов U, равной U Eb . С учетом равновесия сил FЛ и Fe

можно записать: U Bb . Скорость электронов можно выразить через плотность тока j. Так как j en , получим

U 1 jBb .

ne

Сравнивая это выражение с (25), получаем

1 . ne

Таким образом, постоянная Холла зависит от концентрации свободных электронов в проводнике. Следовательно, определив экспериментально постоянную Холла, можно найти концентрацию электронов проводимости в проводнике.

115