3. УЧЕБНЫЙ БЛОК «ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА»

Введение

Учебно-методический блок содержит краткие базовые сведения об

обобщенной теории электромагнетизма Максвелла, построенной на основе системы уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла являются основными законами классической макроскопической электродинамики. Как и основные законы любых физических теорий, они не выводятся, а постулируются на основе обобщения экспериментальных данных. В учении об электричестве и магнетизме эти данные формулировались первоначально в виде частных законов: закона полного тока, теорем Остроградского-Гаусса для электрических и магнитных полей, закона электромагнитной индукции. Максвеллом эти частные законы были обобщены так, что они стали выражать в компактной форме все содержание классической макроскопической электродинамики.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике.

Содержание блока рассматривается как основа для более глубокого теоретического изучения теории электромагнитных явлений.

При изучении материала данного блока студенты должны:

иметь представление:

–о вихревых и индукционных токах;

–об основных законах магнетизма;

–об основных законах электростатики;

–о криволинейных и поверхностных интегралах;

–о дифференциальных уравнениях в частных производных.

обладать навыками:

–применения законов электромагнитной индукции, теоремы Остроградского – Гаусса, законе полного тока;

–использования интегральных и дифференциальных характеристик векторных полей: потока вектора, циркуляции вектора, градиента, дивергенции и ротора.

167

2. всякое переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Исследования явления электромагнитной индукции показали, что переменное магнитное поле порождает в проводниках индуцированные ЭДС и токи. Если магнитное поле постоянно, то индуцированных токов и ЭДС не возникает. Отсюда следует, что заряды в проводниках и сами проводники не являются обязательным условием возникновения индуцированного электрического поля, как в случае электростатического поля. Силовые линии индуцированного электрического поля не начинаются и не заканчиваются на зарядах, а замкнуты сами на себя, подобно силовым линиям магнитного поля. Это означает, что

индуцированное электрическое поле, подобно магнитному, является вихревым.

Если неподвижный проводник поместить в переменное магнитное поле, то в нем индуцируется ЭДС. Электроны приводятся в направленное движение электрическим полем, индуцированным переменным магнитным полем, возникает индуцированный электрический ток. В этом случае проводник является лишь индикатором индуцированного электрического поля. Индуцированное электрическое поле приводит в движение свободные электроны в проводнике и тем самым обнаруживает себя. Максвелл выдвинул гипотезу, что индуцированное электрическое поле возникает в области переменного магнитного поля и в отсутствии вещественных зарядоносителей.

Согласно этой гипотезе сущность явления электромагнитной индукции заключается не столько в появлении индуцированного тока, сколько в возникновении вихревого электрического поля. Эта фундаментальная гипотеза электродинамики сформулирована Максвеллом как обобщение законов электромагнитной индукцииФарадея.

В отличие от электростатического поля индуцированное электрическое поле не является потенциальным, так как работа, совершаемая в индуцированном электрическом поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру, равна ЭДС индукции, а не нулю.

Направление вектора напряженности вихревого электрического поля устанавливается в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея и правилом Ленца

dФ , dt

169

Sплощадь S, ограниченную рассматриваемым контуром L

(рис.3.1).

где Eк – вектор напряженности электростатического (потенциального)

поля, E – вектор результирующего поля.

Уравнение (1) выражает количественную связь между изменяющимся

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру (правая часть (1)) пропорциональна скорости приращения магнитного потока сквозь любую поверхность, ограниченную данным контуром.

При этом циркуляция электрического поля и скорость приращения магнитного потока имеют противоположные знаки

Уравнение (2) отображает в интегральной и более детализированной форме уравнение (1) и является первым уравнением Максвелла.

Его физический смысл состоит в том, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле.

При рассмотрении постоянного и переменного токов в проводнике имеют место физические эффекты, которые, как правило, отличаются друг от друга. Например, когда по проводнику проходит постоянный ток, то линии тока всегда замкнуты. Обратимся к процессу прохождения переменного тока по цепи, содержащей конденсатор.

Заряды в конденсаторе не могут перемещаться с одной пластины на другую. Это приводит к тому, что линии тока обрываются у поверхности пластин конденсатора, в результате чего ток проводимости, текущий по проводнику, соединяющему обкладки конденсатора, оказывается

170

разомкнутым. До сих пор мы исходили из представления, что электрические токи представляют собой движение электрических зарядов по проводникам и что плотность силы тока определяется электропроводимостью проводника. В

dt

Ток данной плотности течет от обкладки N конденсатора. Обратимся теперь к тому, что происходит в это время между обкладками конденсатора. Как известно, электрическое смещение (индукция) поля связано с напряженностью соотношением

а напряженность поля внутри конденсатора

0

Объединяя формулы (4) и (5), мы получаем, что электрическая индукция между обкладками конденсатора определяется выражением

При разрядке конденсатора со временем изменяется поверхностная плотность заряда пластин конденсатора. В соответствии с формулой (6)

171

Так как вектор электрического смещения поля направлен от положительно заряженной пластины N к отрицательно заряженной пластине M, то при разрядке конденсатора быстрота изменения электрической индукции отрицательна и направлена в сторону,

противоположную вектору D .

Из сказанного следует, что направление вектора D совпадает с

t

направлением тока в цепи, в которую включен конденсатор. Как видно из

уравнений (3) и (7), плотность электрического тока j и величина D равны

t

между собой.

Максвелл назвал величину D плотностью тока смещения:

t

D jсм t .

Таким образом, ток смещения – это скорость изменения электрического смещения, определяемого по формуле

D 0E P ,

где E – напряженность электрического поля; Р – поляризованность диэлектрика в конденсаторе.

Плотность тока смещения можно записать в виде

поляризации, т.е. упорядоченного движения электрических зарядов в диэлектрике.

Так как в силу непрерывности тока числовые значения плотности тока смещения jсм и плотности тока проводимости j равны, то линии плотности тока проводимости внутри проводника (естественно, включая и пластины конденсатора) непрерывно переходят в линии плотности тока смещения между обкладками конденсатора. Чтобы ток был замкнут, вводится понятие полного тока, который включает в себя сумму тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока равна:

172

Таким образом, ток смещения (по сути – переменное электрическое поле) подобно току проводимости, порождает магнитное поле, силовые линии которого замкнуты.

проекция вектора jполн на нормаль к площадке dS ) и вводя в правую часть кроме тока проводимости также ток смещения, записал уравнение,

получившее название второе уравнение Максвелла

где Hl – проекция вектора H на направление вектора dl , Dn и jn –

проекция векторов D и j на нормаль к dS .

Это обобщенная теорема о циркуляции вектора H , физический смысл которой состоит в том, что магнитное поле создается не только токами проводимости (например, ток в проводнике), но и переменным электрическим полем.

Таким образом, переменное электрическое поле создает магнитное поле, а переменное магнитное поле создает электрическое поле. Такая система неразрывно друг с другом связанных и непрерывно друг друга порождающих переменных электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем. В общем случае электрическое и магнитное поля уже не являются самостоятельными полями, а выступают как взаимосвязанные и взаимообусловленные компоненты единого электромагнитного поля. Рассмотренные уравнения Максвелла выражая законы взаимного создания полей, тем самым отражают физическую структуру электромагнитного поля.

В систему уравнений Максвелла, кроме двух описанных выше, входят также теоремы Гаусса для электрического и магнитного полей.

Теорема Гаусса для электрического поля с индукцией D имеет вид:

Теорема Гаусса для магнитного поля с индукцией B имеет вид

173

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме - это система фундаментальных уравнений электродинамики в покоящихся средах в отсутствие диэлектриков и магнетиков. Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическим зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральном виде:

Обычно к системе уравнений Максвелла присоединяют три уравнения

(их называют материальные соотношения), выражающие связь между E

- соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, - удельная проводимость вещества.

Для того, чтобы система уравнений (12) совместно с (13) была разрешима, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями, которым должны удовлетворять магнитные и электрические поля на границах раздела сред.

Из уравнений Максвелла следует, что

источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,

магнитные поля могут возбуждаться либо движущимисяэлектрическим зарядами (электрическими токами), либо переменными магнитными полями,

переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и

174

магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Для стационарных полей ( E const и B const ) уравнения Максвелла имеют вид

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поле (что дается в разделах электростатика и магнитостатика).

Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса

и Гаусса

A dl rot AndS ,

L S

A dl div AdV .

S V

По определению дивергенцией и ротором векторного поля A в данной точке M называют следующие производные по объему

векторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S , которая окружает данную точку M , охватывая область с объемом V .

Дивергенция есть мера источников поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то векторное поле этой области свободно от источников. Те источники поля в которых дивергенция положительна, называются источниками поля, а в которых отрицательна – стоками векторного поля.

Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полную

систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме

(характеризующих поле в каждой точке пространства):

t

175

div B 0

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Так, например, уравнение div D явно демонстрирует, что источниками электричесокго поля являются положительные электрические заряды, а стоками – отрицательные электрические заряды. Уравнение div B 0 отражает тот факт, что не существует источников и стоков магнитного поля – «магнитных зарядов».

В случае, если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнения Максвелла – интегральная и дифференциальная – эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

176